2023年福建省福州市部分校联考中考数学最后一卷（含解析）

2023年福建省福州市部分校联考中考数学最后一卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，车标图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列立体图形中，主视图是三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是甲、乙两位同学五次体育测试成绩的折线统计图，下列说法正确的是(    )

A. 甲同学成绩的众数是 B. 乙同学成绩的中位数是
C. 甲同学成绩的方差更大 D. 乙同学成绩的平均数更大

7.  如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上若线段，则线段的长是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  习近平总书记近日对深化东西部协作和定点帮扶工作作出重要指示，指出全党要弘扬脱贫攻坚精神，乘势而上，继续奋斗，加快推进农业农村现代化，全面推进乡村振兴．某农村加工厂准备加工个零件，在加工了个零件后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的倍，结果共用天完成了任务．若设该厂原来每天加工个零件，则由题意可列出方程(    )

A.  B.  C.  D.

9.  二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，为的直径，点、在上若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：____________．

12.  如图，，直线平分，，则 ______ 度

13.  不等式组的解集是______ ．

14.  第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”，“琮琮”和“莲莲”将三张正面分别印有以上个吉祥物图案的卡片卡片的形状，大小，质地都相同背面朝上，洗匀，若从中任意抽取张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是______ ．

 

15.  若，是方程的两个实数根，则的值______ ．

16.  如图，在中，，，∽，连接，，延长与交于点，连接，若，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程组：．

18.  本小题分
如图，已知，，，求证：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来年月，鄂州市教育局发布了“义务教育学校教育质量评价指标”为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如下统计图：

______ ， ______ ，请将条形统计图补充完整；
若该校学生总人数为人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动次及以上的学生人数；
在此次调查活动中，九班有，两个学生一周劳动次数次及以下，九班有，两个学生一周劳动次数次及以下现从这个学生中任选个学生参加学校组织的劳动教育宣传活动，用列表法或画树状图的方法求选出的人来自同一班级的概率．

21.  本小题分
在正方形中，是边上的点．
尺规作图：在图中求作，使得与、均相切；保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，设与相切于点，连接，求的度数．

22.  本小题分
党的二十大报告中指出，推动能源清洁低碳高效利用，推进工业、建筑、交通等领域清洁低碳转型，深入推进能源革命某市交通管理局决定购买一批电动公交车取代燃油公交车根据调查发现购买型电动公交车辆、型电动公交车辆，共需资金万元；购买型电动公交车辆、型电动公交车辆，共需资金万元．
求、两种型号的电动公交车的单价分别是多少万元．
该交通管理局计划出资万元，准备购买这两种电动公交车共辆，其中型电动公交车的数量不多于辆，请你设计出最省钱的购买方案．

23.  本小题分
如图，在，，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且是的切线．
求证：；
若的半径为，，求的长．

24.  本小题分
如图，在矩形中，，是对角线，的交点，点是线段上的动点，直线交直线于点，交于点，连接，在直线上取点，使点不与点重合．
当点是线段的中点时，求的值．
若点与点重合时，，求的长．
已知在点的移动过程中，是否存在某一位置，使得与的某一边平行？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

直接写出抛物线的解析式；
如图，有一定度为的直尺平行于轴在点，之间平行移动，直尺两长边被线段和抛物线截得两线段，设点的横坐标为，且，试比较线段与的大小；
如图，将抛物线平移得到顶点为原点的抛物线，是轴正半轴上一动点，经过点的直接交抛物线于，两点当点运动到某一个位置时，存在唯一的一条直线，使，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，故本选项符合题意；
B.圆柱的主视图的矩形，故本选项不符合题意；
C.长方体的主视图是矩形，故本选项不符合题意；
D.球的主视图是圆，故本选项不符合题意．
故选：．
根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体三视图的形状是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和外角，熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：甲同学成绩的众数是和，故本选项不合题意；
B.乙同学成绩的中位数是，故本选项不合题意；
C.甲同学成绩成绩波动较小，即方差比乙小，故本选项不合题意；
D.乙同学成绩的平均数更大，说法正确，故本选项符合题意；
故选：．
根据折线统计图，可得甲次的成绩，乙次的成绩，根据众数、中位数，方差以及平均数的定义可得答案．
本题考查了折线统计图，利用折线统计图获得有效信息是解题关键，又利用了众数、中位数的定义．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，

则，即，
解得：，
．
故选：．
过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设该厂原来每天加工个零件，
根据题意得：．
故选：．
根据共用天完成任务，等量关系为：用老机器加工个零件用的时间用新机器加工套用的时间即可列出方程．
此题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：、根据抛物线开口向下可得，所以双曲线在第二、四象限，故A选项不符合题意；
B、由于抛物线与轴交于正半轴，故B选项不符合题意；
C、根据抛物线开口向上可得，所以双曲线在第一、三象限，故C选项不符合题意；
D、根据抛物线开口向上可得，所以双曲线在第一、三象限，故D选项符合题意．
故选：．
由二次函数的图象可求得的符号，据此判断出双曲线的位置，即可得到结论．
本题主要考查反比例函数、二次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数、二次函数的图象与性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

为的直径，
，
，
，
，
故选：．
连接，结合已知条件，利用圆周角定理及直角三角形性质求得的度数，继而求得的度数．
本题考查圆周角定理及直角三角形性质，结合已知条件求得的度数是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．
观察原式，找到公因式，提出后再对括号内运用平方差公式分解即可得出答案．
【解答】
解：

．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：如图：

，
，
，
直线平分，
，
，
，
故答案为：．
先由平行线的性质和邻补角性质得的度数，由角平分线定义得出的度数，再根据两直线平行，同位角相等可得结果．
此题主要考查了平行线的性质，能够熟练运用两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为：，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
从中任意抽取张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是，
故答案为：．
根据题意，可以直接写出从中任意抽取张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的概率．
 

15.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
，
故答案为：．
根据根与系数关系可得，，然后即可求得答案．
本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是求出，，此题难度不大．
 

16.【答案】 

【解析】解：∽，，
，，
，
，
，，，
≌，
，
，，
，
，
，
、、、四点共圆，
如图，过作交于，记与的交点为，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，即，
解得，，
，
，，
，，
∽，
，即，
解得，
设，则，，，
，，
∽，
，
解得，
，
，
，
又，
∽，
，即，
解得，舍去，
，
故答案为：．
由∽，可得，，则，证明≌，则，由，，可得，，则、、、四点共圆，如图，过作交于，记与的交点为，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由，可得，则，，证明∽，则，即，解得，，由，可得，，证明∽，则，即，解得，设，则，，，证明∽，则，解得，，证明∽，则，即，求出满足要求的，进而可求的值．
本题考查了全等三角形的判定与性质，四点共圆，三角形内角和定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等角对等边，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
 

17.【答案】解：，
由得：，
解得：，
把代入中得：，
解得：，
该方程组的解为． 

【解析】先把与中的系数化为相同，通过加减消元法用可消去，解出的值，再把的值代入即可求出的值．
本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟练运用加减消元解二元一次方程组的方法．
 

18.【答案】证明：

在和中，

≌                      
，
． 

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题中考常考题型．
欲证明只要证明，即只要证明≌ 即可．
 

19.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先计算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：一周劳动次及以下有人，占，
抽查的总人数为：人，
，
，
，
故答案为：，，
一周劳动次的人数为：人，
补充条形统计图如下：

人，
估计该校一周劳动次及以上的学生人数约为人．
画树状图如下：

一共有种等可能等结果，其中人来自同一班级有中可能的结果，
选出的人来自同一班级．
先求出抽查的总人数，再根据一周劳动次所占百分比即可求出，用减去另外三个所占百分比，即可确定的值，求出一周劳动次的人数，再补全条形统计图即可；
用该校学生总人数乘以一周劳动次及以上的百分比即可作出估计；
用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出人来自同一班级的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法和树状图法求等可能事件的概率，熟悉相关统计图的意义，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图：即为所求；

在正方形中，平分，
，
与、均相切，
，
． 

【解析】作的平分线与的交点即为点；
根据切线长定理及等边对等角求解．
本题考查了复杂作图，掌握角平分线的性质及切线长定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：设型电动公交车的单价为万元，型电动公交车的单价为万元．
依题意，得，
解得；
答：型电动公交车的单价是万元，型电动公交车的单价是万元．
设购买型电动公交车辆，则购买型电动公交车辆．
依题意得，解得．
又，
．
设购买这两种电动公交车共辆的总费用为万元，
依题意，得．
，
随的增大而减小．
当时，取得最小值．此时．
最省钱的购买方案为：购买型电动公交车辆，型电动公交车辆． 

【解析】设型电动公交车的单价为万元，型电动公交车的单价为万元．根据购买型电动公交车辆、型电动公交车辆，共需资金万元；购买型电动公交车辆、型电动公交车辆，共需资金万元，列出方程组进行求解即可；
设购买型电动公交车辆，则购买型电动公交车辆，根据题意列出不等式，求出的取值范围，设购买这两种电动公交车共辆的总费用为万元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质进行求解即可．
本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组和一次函数解析式，是解题的关键．
 

23.【答案】如图，证明；连接，
为的直径，
，
，
，
是的切线，
，
；

解：如图，连接，
，
，
，
，
，
设，则，
是的直径，
，
，
，
解得：，
． 

【解析】连接，根据圆周角的性质求得，根据等腰三角形的性质三效合一的性质得出，然后根据弦切角定理得出；
连接，由的半径为，解出，根据勾股定理求出，在根据勾股定理列方程求解．
本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理弦切角定理，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形．
 

24.【答案】解：四边形是矩形，是对角线，的交点，
，，
，，
≌，
，
点是线段的中点时，
，
，
∽，
，
；

，，
，
，
，
同理可得∽，
，，
，
；


设，则，
如图所示，当时，则，

，
，
是等腰直角三角形，
，
同理可得∽，
，即，
解得，
经检验是原方程的解，
；
如图所示，当时，过点作交延长线于，

，
在中，，，
，
又，
∽，
，即，
，，
，
，，
，
∽，
，即，
，
同理可得∽，
，即，
解得，
经检验是原方程的解，
；

如图所示，当时，
同理可得是等腰直角三角形，
，
，
，
∽，
，即，
解得，
经检验是原方程的解，
；

如图所示，当时，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
同理可得∽，
，即，
，
同理可得∽，
，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
；

如图所示，当点与点重合时，此时点、点都与点重合，此时满足，
；
综上所述，的长为或或或或．
 

【解析】先由矩形的性质得到，，再证明≌，得到，又点是线段的中点时，得到，证明∽，得到，则；
先根据题意得到，则，利用勾股定理得到，同理可得∽，利用相似三角形的性质得到，则；
分图，图，图，图，图，五种情况讨论求解即可．
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
 

25.【答案】解：与轴交于，，
，
，
抛物线的解析式为：；
点的横坐标为，
点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，
由得：抛物线的解析式为，
把代入得：，
把代入得：，
点的坐标为，点的坐标为，
由的：抛物线的解析式为，
点的坐标为，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
把代入得：，把代入得：，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
当时，时，，
当时，即时，
，
时，，
当，即时，
，
时，；
过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，如图所示，
，
由可得抛物线的解析式为：，
将抛物线平移得到顶点为原点的抛物线，
的解析式为，
设点，，
点，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
是轴正半轴上一动点，
设点，直线的解析式为，
把代入可得：，
，
直线的解析式为：，
联立直线与可得：，即，
由根与系数的关系可得：，，
，
代入可得：，即，
当时，即时，符合条件，
当时，，不符合题意，
综上，，
点的坐标为． 

【解析】将，代入解析式可得，解方程即可得到答案；
用分别表示出、、、的坐标，然后求出，最后分三种情况讨论：当时，时，当时，分别进行计算即可得到答案；
过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，证明∽，再联立直线与得到，由韦达定理即可得到答案．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、韦达定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质、韦达定理，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解题的关键．