2022-2023学年河南省信阳市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省信阳市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D. 且

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  菱形具有而矩形不一定具有的特征是(    )

A. 对角相等 B. 对角线互相平分
C. 一组对边平行，另一组对边相等 D. 对角线互相垂直

4.  若点在正比例函数的图象上，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若的三边，，满足，则是(    )

A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

6.  如图，在菱形中，，，分别是边和的中点，于点，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  已知一次函数经过哪几个象限(    )

A. 一、二、三 B. 一、三、四 C. 一、二、四 D. 二、三、四

8.  如图，是内一点，，，，，、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边与轴平行，对角线交点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为(    )

A.  ， B.  ，  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

10.  计算： ______ ．

11.  若点和点都在一次函数的图象上，则______填“”、“”、“”

12.  矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线长为，则矩形的面积为______ ．

13.  如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，其中，，则直线的函数表达式为______．

14.  如图，菱形周长为，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是______．

 

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
解下列各题：
；
．

16.  本小题分
在▱中，过点作于点，点 在边上，，连接，．
求证：四边形是矩形；
若，，，求证：平分．

17.  本小题分
在四边形中，，，，四边形周长为，求和的长度．

18.  本小题分
如图，在四边形中，，过对角线的中点作，分别交边，于点，，连接，．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．

19.  本小题分
如图，直线在平面直角坐标系中与轴交于点，点也在直线上，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，点也在直线上．

求点的坐标和直线的解析式；
已知直线：经过点，与轴交于点，求的面积．

20.  本小题分
一辆货车从地运货到的地，卸货后返回地，如图中实线是货车离地的路程关于出发后的时间之间的函数图象货车出发时，正有一个自行车骑行团在之间，距地处，以每小时的速度奔向地．
货车去地的速度是______ ，卸货用了______ 小时，返回的速度是______ ；
求出自行车骑行团距地的路程关于的函数关系式，并在此坐标系中画出它的图象；
求自行车骑行团与货车迎面相遇，是货车出发后几小时后，自行车骑行团还有多远到达地．

21.  本小题分

某工厂现有甲种原料千克，乙种原料千克，计划利用这两种原料生产、两种产品共件．已知生产一件种产品需用甲种原料千克、乙种原料千克，可获利润元；生产一件种产品需用甲种原料千克、乙种原料千克，可获利润元．设生产种产品的件数为件，生产、两种产品所获总利润为元

试写出与之间的函数关系式；

求出自变量的取值范围；

利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

22.  本小题分
感知：如图，四边形、均为正方形，试猜想线段和的数量关系为______ ．
探究：如图，四边形、均为菱形，且求证：．
应用：如图，四边形、均为菱形，点在边上，点在的延长线上，若，，的面积为，则菱形的面积为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件：有意义的条件为，也考查了分式有意义的条件即分母不为零．
根据题意得到且，即可得到答案．
【解答】
解：在实数范围内有意义，
且，
且．
故选D．  

2.【答案】 

【解析】解：，所以选项不符合题意；
B.与不能合并，所以选项不符合题意；
C.与不能合并，所以选项不符合题意；
D.，所以选项符合题意．
故选：．
根据二次根式的乘法法则对选项进行判断；根据二次根式的加法运算对选项进行判断；根据二次根式的减法运算对选项进行判断；根据二次根式的除法法则对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：菱形的性质有：对角相等、对角线互相平分、一组对边平行，另一组对边相等、对角线互相垂直，
矩形的性质有：对角相等、对角线互相平分、一组对边平行，另一组对边相等、对角线相等；
即菱形具有而矩形不一定具有的特征是对角线互相垂直，
故选：．
根据矩形、菱形的性质逐个判断即可．
本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记矩形、菱形的性质是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：点在正比例函数的图象上，
，
故选：．
利用待定系数法代入正比例函数可得的值．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必满足解析式．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
或，
分情况讨论：
当，即，
为等腰三角形，
，即，
为直角三角形，
综上所述：为等腰三角形或等腰三角形，故A、、C错误，
故选：．
根据分情况讨论得出或，找到、、之间得关系即可．
本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理得逆定理，正确根据题目已知条件找到、、之间得关系即可判断三角形的形状是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，属于较难题．
延长交的延长线于点根据已知可得≌，可得到，从而不难求得的度数．
【解答】
解：延长交的延长线于点，如图．

由题意，在菱形中，，，分别是边和的中点，
可得：在与中，
，
≌，
，
为中点．
又由题可知，，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
，
，
，
，
，即，
四边形为菱形，
，，
，分别为，的中点，
，，
则．
故选D．  

7.【答案】 

【解析】解：因为解析式中，，，图象过一、三、四象限，
故选B．
根据一次函数的性质容易得出结论．
本题考查了一次函数的图象与性质，在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，
，
、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长．
故选：．
利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图：设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，

四边形是正方形，
，
由题意得：，，，，
轴，
，
在中，，
由题意得：轴，，
，
的坐标为，
故选：．
设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，根据正方形的性质可得，再根据题意可得：，，，，然后利用平行线的性质可得，从而在中，利用勾股定可求出的长，再根据题意可得：轴，，从而可求出的长，即可解答．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
根据完全平方公式，将题目中的式子展开，然后合并同类项和同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而减小，
又点和点都在一次函数的图象上，且，
．
故答案为：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：矩形的两条对角线的夹角为：，
矩形对角线相等且互相平分，
为等边三角形，
，
在直角中，，，
，
故矩形的面积为：．
故答案为：．
根据矩形的两条对角线的夹角为，可以判定为等边三角形，即可求得，在直角中，已知，，根据勾股定理即可计算的长，进而计算矩形的周长即可解题．
此题主要考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，等边三角形的判定，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算的长是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，过作轴于点，
，
，
，
在和中
，
≌，
，，
，，
，
设直线解析式为，
，解得，
直线解析式为，
故答案为：．
过作轴于点，则可证得≌，可求得和的长，可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式．
本题主要考查待定系数法及全等三角形的判定和性质，构造全等三角形求得点坐标是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质与最短路线的确定方法找出点的位置是解题的关键．连接，根据菱形的对角线平分一组对角线可得，然后判断出是等边三角形，连接，根据轴对称确定最短路线问题，与的交点即为所求的点，的最小值，然后根据等边三角形的性质求出即可得解．
【解答】解：如图，连接，

四边形是菱形，
，
菱形的邻边相等，
是等边三角形，
连接，
、关于对角线对称，
与的交点即为所求的点，的最小值，
是的中点，
，
菱形周长为，
，
．
故答案为：．  

15.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
 

16.【答案】证明：四边形是平行四边形，
．
，，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形；
四边形是平行四边形，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
，
，
，
即平分． 

【解析】根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
根据平行线的性质，可得，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据角平分线的定义，可得答案．
本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出是解题关键．
 

17.【答案】解：如图，连接．
，．
是等边三角形，
，．
又，
．
设，则，
由勾股定理得：，
解得，，
所以，． 

【解析】如图，连接，构建等边、直角利用等边三角形的性质求得；然后利用勾股定理来求线段、的长度．
本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质．根据已知条件推知是等边三角形是解题的解题关键．
 

18.【答案】证明：方法，，
．
在和中，
，
≌．
，
又，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．

方法：证≌同方法，
，
，
四边形是平行四边形．
，，
是的垂直平分线，
，
四边形是菱形．

解：四边形是菱形，，
．
又在中，
由勾股定理得到：，
．
． 

【解析】运用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”判定，已知，，只需要证明即可，用全等三角形得出；
菱形的面积可以用对角线积的一半来表示，由已知条件，解直角三角形可求、的长度．
本题主要考查三角形全等的判定及性质、菱形的判定、面积计算等知识，考查推理论证的能力．
 

19.【答案】解：由平移法则得：点坐标为，即．
设直线的解析式为，
则
解得：
直线的解析式为．
把点坐标代入得，
，解得：，
．
在直线中，当时，，
点的坐标为．
在直线中，当时，，
点坐标为，
，
的面积为． 

【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、坐标与图形变化中的平移以及三角形的面积，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
根据平移的法则即可得出点的坐标，设直线的解析式为，根据点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式；
由点的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出点、的坐标，根据三角形的面积公式即可求出的面积．
 

20.【答案】     

【解析】解：货车去地的速度，
观察图象可知卸货用了小时，
返回的速度，
故答案为，，．

由题意 ，函数图象如图所示，


货车返回时，关于的函数解析式是： 
解方程组，解得，
答：自行车骑行团与货车迎面相遇，是货车出发后小时后，自行车骑行团还有到达地．
根据速度，以及函数图象中的信息即可解决问题；
由题意 ，画出函数图象即可；
利用方程组求交点坐标即可；
本题考查一次函数的应用、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：设生产种产品件，则生产种产品件，
由题意得：，
即与之间的函数关系式为；
由题意得，
解得．
为整数，
整数，或；
，，
随的增大而减小，
，或，
当时，有最大值为．
即生产种产品件，种产品件时，总利润最大，最大利润是元． 

【解析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用及最大利润问题；得到两种原料的关系式及总利润的等量关系是解决本题的关键．
由于用这两种原料生产、两种产品共件，设生产种产品件，那么生产种产品件．由产品每件获利元，产品每件获利元，根据总利润种产品数量种产品数量即可得到与之间的函数关系式；
关系式为：种产品需要甲种原料数量种产品需要甲种原料数量；种产品需要乙种原料数量种产品需要乙种原料数量，把相关数值代入得到不等式组，解不等式组即可得到自变量的取值范围；
根据中所求的与之间的函数关系式，利用一次函数的增减性和得到的取值范围即可求得最大利润．
 

22.【答案】   

【解析】解：结论：．
理由：四边形、四边形均为正方形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
．
故答案为：；

证明：四边形、四边形均为菱形，
，，，，
，
，
，
即，
≌，
；

解：四边形是菱形，，
，
，
，
，，
≌，
，
，
菱形的面积，
故答案为：．
想办法证明≌即可解决问题；
证明方法类似；
由四边形是菱形，，推出，由，推出，可得，，由≌，推出，根据菱形的面积即可解决问题；
本题属于四边形综合题，考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质解决问题，灵活运用条件解决问题，属于中考常考题型．