2023年山东省聊城市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年山东省聊城市中考数学试卷（含答案解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省聊城市中考数学试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）（﹣2023）0的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣
2．（3分）如图所示几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）4月15日是全民国家安全教育日．某校为了摸清该校1500名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（　　）
A．1500名师生的国家安全知识掌握情况
B．150
C．从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况
D．从中抽取的150名师生
4．（3分）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
5．（3分）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（　　）

A．65° B．75° C．85° D．95°
6．（3分）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（　　）

A．15° B．17.5° C．20° D．25°
7．（3分）若关于x的分式方程+1＝的解为非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤1且m≠﹣1 B．m≥﹣1且m≠1 C．m＜1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠1
8．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（　　）

A．（1，5） B．（1，3） C．（5，3） D．（5，5）
10．（3分）甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（　　）

A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①3a+c＞0；②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0．其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）如图，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AB＝，点C是矩形ECGF与△ABC的公共顶点，且CE＝1，CG＝3；点D是CB延长线上一点，且CD＝2．连接BG，DF，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则的值为（　　）

A．2 B．3 C． D．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分。只要求填写最后结果）
13．（3分）计算：（﹣3）÷＝　 　．
14．（3分）若不等式组的解集为x≥m，则m的取值范围是 　 　．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为 　 　．

16．（3分）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，0，2，π的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 　 　．
17．（3分）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：　 　．

三、解答题（本题共8个小题，共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（7分）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝+2．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．
（1）求证：∠EAD＝∠EDA；
（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．

20．（8分）某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措．为了调查活动开展情况，需要了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间x（h）分为5组：①1≤x＜2；②2≤x＜3；③3≤x＜4；④4≤x＜5；⑤5≤x＜6，并将调查结果用如图所示的统计图描述．根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第 　 　组和第 　 　组（填序号）；一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为 　 　；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有 　 　人；
（2）若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？
（3）若把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比超过40%，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议．

21．（8分）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见如表：
票的种类
A
B
C
购票人数/人
1～50
51～100
100以上
票价/元
50
45
40
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团）．在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．
（1）求两个旅游团各有多少人？
（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？
22．（8分）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离（结果精确到1m）
（参考数据：sin68，2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）

23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点p（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值．

24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CD＝12，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．

25．（12分）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．


2023年山东省聊城市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）（﹣2023）0的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣
【分析】a0＝1（a≠0），据此即可得出答案．
【解答】解：（﹣2023）0＝1，
故选：B．
【点评】本题考查零指数幂，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（3分）如图所示几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据简单几何体的三视图得出结论即可．
【解答】解：由题意知，该几何体的主视图为，
故选：A．
【点评】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键．
3．（3分）4月15日是全民国家安全教育日．某校为了摸清该校1500名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（　　）
A．1500名师生的国家安全知识掌握情况
B．150
C．从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况
D．从中抽取的150名师生
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，据此即可判断．
【解答】解：样本是所抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况．
故选：C．
【点评】本题考查了样本的定义，熟练掌握样本的定义是解答本题的关键．
4．（3分）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，特别注意二次项系数不能为0．
5．（3分）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（　　）

A．65° B．75° C．85° D．95°
【分析】由平行线的性质可求∠ADC得度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
【解答】解：∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠EBC＝80°，
∵∠CAD+∠ADC+∠ACB＝180°，∠CAD＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣25°﹣80°＝75°，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质及三角形内角和定理是解题的关键．
6．（3分）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（　　）

A．15° B．17.5° C．20° D．25°
【分析】连接IC，IB，OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴，
故选：C．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
7．（3分）若关于x的分式方程+1＝的解为非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤1且m≠﹣1 B．m≥﹣1且m≠1 C．m＜1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠1
【分析】解含参的分式方程，然后结合已知条件及分式有意义的条件列得不等式并计算即可．
【解答】解：+1＝，
两边同乘（x﹣1），去分母得：x+x﹣1＝﹣m，
移项，合并同类项得：2x＝1﹣m，
系数化为1得：x＝，
∵原分式方程的解为非负数，
∴≥0，且≠1
解得：m≤1且m≠﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，结合已知条件解含参分式方程求得x＝是解题的关键．
8．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（　　）

A．（1，5） B．（1，3） C．（5，3） D．（5，5）
【分析】先根据轴对称的性质求出A1，B1，C1的坐标，根据平移的性质即可求出A2的坐标．
【解答】解：∵A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）关于x轴对称的点的坐标为A1（﹣2，﹣1），B1（﹣1，﹣3），C1（﹣4，﹣4），
又∵B2（2，1），
∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，
∴点A2坐标为（﹣2+3，﹣1+4），即（1，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质．
10．（3分）甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（　　）

A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35
【分析】设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，因为小亮、小莹乘车行驶的速度分别是a千米/时，2a千米/时，即可得到方程：ax+2a（x﹣）＝a，求出x的值，即可解决问题．
【解答】解：设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，
∵小亮、小莹乘车行驶完全程用的时间分别是小时，小时，
∴小亮、小莹乘车行驶的速度分别是a千米/时，2a千米/时，
由题意得：ax+2a（x﹣）＝a，
∴x＝，
小时＝28分钟，
∴小亮与小莹相遇的时刻为8：28．
故选：A．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是由题意列出方程：ax+2a（x﹣）＝a．
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①3a+c＞0；②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0．其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由对称轴为直线x＝﹣1可得b＝2a，再将x＝1代入可判断①，找出（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1对称的点，再根据二次函数的性质可判断②，方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看做抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1的交点，找出交点个数可判断③，不等式ax2+bx+c＞2的解集可看做抛物线y＝ax2+bx+c的图象在直线y＝2上方的部分，可判断④．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣1．
∴b＝2a，
∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故①错误，
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1对称的点为（2，y1），
又∵2＜3，
∴y1＞y2，故②正确，
方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看做抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1的交点，
由图象可知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故③错误，
不等式ax2+bx+c＞2的解集可看做抛物线y＝ax2+bx+c的图象在直线y＝2上方的部分，
∵（0，2）关于直线x＝﹣1对称的点为（﹣2，2），
∴x的取值范围为﹣2＜x＜0，故④正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．
12．（3分）如图，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AB＝，点C是矩形ECGF与△ABC的公共顶点，且CE＝1，CG＝3；点D是CB延长线上一点，且CD＝2．连接BG，DF，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则的值为（　　）

A．2 B．3 C． D．
【分析】当点G在线段BC的延长线时时，GB有最大值，由勾股定理可求此时GF的长，当点G在线段CB的延长线上时，GB有最小值，由勾股定理可求此时GF的长，即可求解．
【解答】解：在等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AB＝，
∴AC＝BC＝1，
在△BCG中，CG﹣BC＜BG＜CG+BC，
即2＜BG＜4，
如图，当点G在线段BC的延长线时时，GB有最大值，

∴DG＝DC+CG＝5，GF＝1，
∴DF＝＝＝＝m，
当点G在线段CB的延长线上时，GB有最小值，

∴DG＝CG﹣DC＝1，FG＝1，
∴DF＝＝＝＝n，
∴＝，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，勾股定理等知识，确定BG最长和最短时的位置是解题的关键．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分。只要求填写最后结果）
13．（3分）计算：（﹣3）÷＝　3　．
【分析】直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝（4﹣3×）÷
＝（4﹣）÷
＝3÷
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
14．（3分）若不等式组的解集为x≥m，则m的取值范围是 　m≥﹣1　．
【分析】解出不等式，根据不等式解的性质判断m的取值范围．
【解答】解：∵不等式组，解得，
∵x≥m，
∴m≥﹣1．
故答案为：m≥﹣1．
【点评】本题以不等式为背景考查了不等式解集的性质，解决问题的关键是明确解出不等式是同大取大的性质．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为 　24　．

【分析】先根据平行四边形的性质得出AD＝BC＝8，再由EF是线段BC的垂直平分线得出EF⊥BC，OB＝OC＝BC＝4，根据勾股定理求出OE的长，再由CF∥BE可得出∠OCF＝OBE，故可得出△OCF≌△OBE，OE＝OF，利用S四边形BFCE＝S△BCE+S△BFC即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8，
∴AD＝BC＝8，
∵由EF是线段BC的垂直平分线，
∴EF⊥BC，OB＝OC＝BC＝4，
∵CE＝5，
∴OE＝＝＝3．
∵CF∥BE，
∴∠OCF＝∠OBE，
在△OCF与△OBE中，
，
∴△OCF≌△OBE（ASA），
∴OE＝OF＝4，
∴S四边形BFCE＝S△BCE+S△BFC
＝BC•OE+BC•OF
＝×8×3+×8×2
＝12+12
＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质，三角形的面积及线段垂直平分线的性质，根据题意得出OE＝OF是解题的关键．
16．（3分）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，0，2，π的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 　　．
【分析】画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意列树状图如下：

共有20个等可能的结果，两球上的数字之积恰好是有理数有8种，
∴两球上的数字之积恰好是有理数的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（3分）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：　（n2+n+1，n2+2n+2）　．

【分析】根据题意把每一个数对中的第一个数字和第二个数字按顺序排列起来，可发现第n个数对的第一个数为n（n+1）+1，第n个数对的第二个数为（n2+1）+1，于是得到结论．
【解答】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，．．．，
即1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，5×6+1，..．，
则第n个数对的第一个数为n2+n+1，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，..．，
即22+1，32+1，42+1，52+1，．．．，
则第n个数对的第二个数为（n+1）2+1＝n2+2n+2，
∴第n个数对为（n2+n+1，n2+2n+2）．
故答案为：（n2+n+1，n2+2n+2）．
【点评】本题考查了数字的变化规律，找出数字的排列规律，利用拐弯处数字的差的规律求得结果是解题的关键．
三、解答题（本题共8个小题，共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（7分）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝+2．
【分析】首先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝•
＝，
当a＝+2时，
原式＝＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．
（1）求证：∠EAD＝∠EDA；
（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．

【分析】（1）利用AAS证明∴△ABE≌△ECD，即可证明结论；
（2）先证明△AED为等边三角形，可得AE＝AD＝ED＝4，过A点作AF⊥ED于F，利用等边三角形的性质可得EF＝2，再根据勾股定理求得AF的长，利用三角形的面积公式可求解．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AED+∠CED，
∴∠BAE＝∠CED，
在△ABE和△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴AE＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，
∴△AED为等边三角形，
∴AE＝AD＝ED＝4，
过A点作AF⊥ED于F，
∴EF＝ED＝2，
∴AF＝，
∴S△AED＝ED•AF＝．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识的综合运用，证明△ABE≌△ECD是解题的关键．
20．（8分）某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措．为了调查活动开展情况，需要了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间x（h）分为5组：①1≤x＜2；②2≤x＜3；③3≤x＜4；④4≤x＜5；⑤5≤x＜6，并将调查结果用如图所示的统计图描述．根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第 　③　组和第 　③　组（填序号）；一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为 　28%　；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有 　560　人；
（2）若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？
（3）若把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比超过40%，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议．

【分析】（1）根据众数、中位数的定义以及用样本估计总体的方法求解即可；
（2）先求出每组的平均阅读时间，再由算术平均数的定义列式计算即可；
（3）把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数的百分比与40%进行比较即可得出结论，再提出合理化的建议．
【解答】解：（1）∵第③组的人数最多，
∴一周课外经典阅读的平均时间的众数落在第③组；
∵抽取100名进行调查，第50名、51名学生均在第③组，
∴一周课外经典阅读的平均时间的中位数落在第③组；
由题意得：（20+8）÷100×100%＝28%，
∴一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为28%；
2000×28%＝560（人），
即估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有560人；
故答案为：③，③，28%，560；
（2）由题意可知，每组的平均阅读时间分别为1.5小时，2.5小时，3.5小时，4.5小时，5.5小时，
∴＝3.4（小时），
答：估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间为3.4小时；
（3）一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生的人数的百分比为28%，
∵28%＜40%，
∴此次开展活动不成功；
建议：①学校多举办经典阅读活动；
②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣（答案不唯一）．
【点评】本题考查了频数分布直方图、众数、中位数以及用样本估计总体等知识，从统计图获取有用信息是解题的关键．
21．（8分）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见如表：
票的种类
A
B
C
购票人数/人
1～50
51～100
100以上
票价/元
50
45
40
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团）．在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．
（1）求两个旅游团各有多少人？
（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？
【分析】（1）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，根据“甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设游客人数为m人，根据购买B种门票比购买A种门票节省，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，
根据题意得：，
解得：．
答：甲旅游团有58人，乙旅游团有44人；
（2）设游客人数为m人，
根据题意得：50m＞45×51，
解得：m＞45.9，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为46．
答：当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（8分）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离（结果精确到1m）
（参考数据：sin68，2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）

【分析】过P作PE⊥BC于E，过A作AD⊥PE于D，根据矩形的性质得到DE＝AB＝520m，设PD＝xm，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过P作PE⊥BC于E，过A作AD⊥PE于D，
则四边形ADEB是矩形，
∴DE＝AB＝520m，
设PD＝xm，
在Rt△APD中，∵∠PAD＝68.2°，
∴AD＝≈m，
∴BE＝AD＝m，
∴PE＝PD+DE＝（x+520）m，CE＝BC﹣BE＝（1200﹣）m，
在Rt△PCE中，tanC＝tan56.31°＝，
解得x＝800，
∴PD＝800m，
∴PE＝PD+DE＝800+520＝1320（m），
答：明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，
23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点p（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值．

【分析】（1）根据反比例函数过A（﹣1，4），B（a，﹣1），求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的表达式；
（2）证得四边形APQB是平行四边形，根据平移的思想得到Q点的坐标，代入反比例函数解析式即可求得n的值．
【解答】解：（1）反比例函数y＝的图象过A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点，
∴m＝﹣1×4＝a•（﹣1），
∴m＝﹣4，a＝4，
∴反比例函数为y＝﹣，B（4，﹣1），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数为y＝﹣x+3；
（2）∵A（﹣1，4），B（4，﹣1），P（n，0），BQ∥AP，BQ＝AP，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴点A向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到P，
∴点B（4，﹣1）向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到Q（5+n，﹣5），
∵点Q在y＝﹣上，
∴5+n＝，
解得n＝﹣，
∴Q（，﹣5），
连接AQ，交x轴于点C，
设直线AQ为y＝k′x+b′，
则，解得，
∴直线AQ为y＝﹣5x﹣1，
令y＝0，则x＝﹣，
∴C（﹣，0），
∴PC＝﹣+＝4，
∴S△APQ＝S△APC+S△QPC＝×4×（4+5）＝18，
∴四边形APQB的面积为36，
故n＝﹣符合题意．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，平行四边形的性质，不是出Q点的坐标是解题的关键．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CD＝12，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OE，由题意得到OD＝OE，根据等腰三角形的性质得到∠OED＝∠ODE，求得∠OED＝∠CDE，根据平行线的判定定理得到OE∥CD，根据∠ACB＝90°，得到OE⊥AC，于是得到结论；
（2）过D作DF⊥AB，根据角平分线的小知道的CD＝DF，根据勾股定理得到BD＝＝20，求得AC＝BC•tan∠ABC＝24，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OE，∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ODE，
∴∠OED＝∠CDE，
∴OE∥CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过D作DF⊥AB，
∵AD平分∠A＝BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CD＝DF，
∵CD＝12，tan∠ABC＝，
∴BF＝＝16，
∴BD＝＝20，
∴BC＝CD+BD＝32，
∴AC＝BC•tan∠ABC＝24，
∴＝12，
∵OE∥CD，
∴△AEO∽△ACD，
∴，
∴，
解得EO＝15﹣3，
∴⊙O的半径为15﹣3．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
25．（12分）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．

【分析】（1）可将抛物线的表达式设为交点式，代入点C坐标，进一步求得结果；
（2）点Q的纵坐标为±9，代入求得其横坐标，进而求得结果；
（3）根据三角函数定义和相似三角形的性质分别表示出PD和PE，进而表示出△PDE的面积的函数表达式，进一步求得结果．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣6），
∴﹣9＝a•3×（﹣6），
∴a＝，
∴y＝（x+3）（x﹣6）＝；
（2）如图1，

抛物线的对称轴为：直线x＝＝，
由对称性可得Q1（3，﹣9），
当y＝9时，
＝9，
∴x＝，
∴Q2（，9），Q3（，9），
综上所述：Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；
（3）设△PED的面积为S，
由题意得：AP＝m+3，BP＝6﹣m，OB＝6，OC＝9，AB＝9．
∴BC＝＝3，
∵sin∠PBD＝，
∴，
∴PD＝，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，∠EPD＝∠PDB＝90°，
∴，
∴，
∴PE＝，
∴S＝PE•PD＝（m+3）（6﹣m）＝﹣，
∴当m＝时，S最大＝，
∴当m＝时，△PDE的面积最大值为：．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数及其图象的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
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