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    统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练3命题及其关系充分条件与必要条件理

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    这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练3命题及其关系充分条件与必要条件理,共6页。

    [基础强化]
    1.[2023·陕西省高三四模]“a>b>0”是“ eq \f(a,b)>1”的( )
    A.充要条件
    B.充分不必要条件
    C.必要不充分条件
    D.既不充分也不必要条件
    2.[2023·四川省二诊(理)]设x、y都是实数,则“x>2且y>3”是“x+y>5且xy>6”的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    3.命题“a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0”的逆否命题是( )
    A.a,b∈R,若a≠b≠0,则a2+b2=0
    B.a,b∈R,若a=b≠0,则a2+b2≠0
    C.a,b∈R,若a≠0且b≠0,则a2+b2≠0
    D.a,b∈R,若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0
    4.若p是q的充分不必要条件,则下列判断正确的是( )
    A.¬p是q的必要不充分条件
    B.¬q是p的必要不充分条件
    C.¬p是¬q的必要不充分条件
    D.¬q是¬p的必要不充分条件
    5.[2022·北京卷,6] 设{an}是公差不为0的无穷等差数列,则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0,当n>N0时,an>0”的( )
    A.充分而不必要条件
    B.必要而不充分条件
    C.充分必要条件
    D.既不充分也不必要条件
    6.[2021·全国甲卷]等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则( )
    A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
    B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
    C.甲是乙的充要条件
    D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
    7.[2023·安徽省十校一模]“0<λ<4”是“双曲线 eq \f(x2,4)- eq \f(y2,λ)=1的焦点在x轴上”的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    8.设p:|x-a|>3,q:(x+1)(2x-1)≥0,若¬p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是( )
    A. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-4,\f(7,2)))
    B.(-∞,-4]∪[ eq \f(7,2),+∞)
    C.(-4, eq \f(7,2))
    D.(-∞,-4)∪( eq \f(7,2),+∞)
    9.[2023·江西省八校联考]“0<θ<π”是“方程 eq \f(x2,3)+ eq \f(y2,4sin θ)=1表示椭圆”的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    二、填空题
    10.关于函数f(x)=sin x+ eq \f(1,sin x)有如下四个命题:
    ①f(x)的图像关于y轴对称.
    ②f(x)的图像关于原点对称.
    ③f(x)的图像关于直线x= eq \f(π,2)对称.
    ④f(x)的最小值为2.
    其中所有真命题的序号是________.
    11.记不等式x2+x-6<0的解集为集合A,函数y=lg (x-a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数a的取值范围为________.
    12.已知p: eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1-\f(x-1,3)))≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若p是q的充分而不必要条件,则m的取值范围为________.
    [能力提升]
    13.[2023·四川绵阳一模]“(a+1) eq \s\up6(\f(1,2))<(3-2a) eq \s\up6(\f(1,2))”是“-2A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    14.[2023·江西省高三二模]已知p:-1A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    15.[2023·全国甲卷(理)]设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sinα+cs β=0,则( )
    A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
    B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
    C.甲是乙的充要条件
    D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
    16.下列四个结论中正确的是________(填序号).
    ①“x2+x-2>0”是“x>1”的充分不必要条件;
    ②命题:“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∃x0∈R,sin x0>1”;
    ③“若x= eq \f(π,4),则tan x=1”的逆命题为真命题;
    ④若f(x)是R上的奇函数,则f(lg32)+f(lg23)=0.
    专练3 命题及其关系、充分条件与必要条件
    1.B 由a>b>0,得 eq \f(a,b)>1,反之不成立,如a=-2,b=-1,满足 eq \f(a,b)>1,但是不满足a>b>0,故“a>b>0”是“ eq \f(a,b)>1”的充分不必要条件.
    2.A 由题意,若x>2且y>3,由不等式的性质可得x+y>5且xy>6,故充分性成立;反之取x=1,y=10满足x+y>5且xy>6,但x>2且y>3不成立,故必要性不成立;故“x>2且y>3”是“x+y>5且xy>6”的充分不必要条件.
    3.D a=b=0的否定为a≠0或b≠0;a2+b2=0的否定为a2+b2≠0,故选D.
    4.C 由p是q的充分不必要条件可知p⇒q,qp,由互为逆否命题的两命题等价可得¬q⇒¬p,¬p¬q,
    ∴¬p是¬q的必要不充分条件.选C.
    5.C 设等差数列{an}的公差为d.因为{an}为递增数列,所以d>0.当n>1- eq \f(a1,d),且n∈N*时,an=a1+(n-1)d>a1+(1- eq \f(a1,d)-1)d=0,故存在正整数N0≥1- eq \f(a1,d),当n>N0时,an>0,即充分性成立.若存在正整数N0,当n>N0时,an>0,则当n>N0≥1时,a1+(n-1)d>0.当a1≤0时,n-1>0,所以d>- eq \f(a1,n-1)≥0,即{an}为递增数列;当a1>0时,由题意得当n>N0时,an>0恒成立,即a1+(n-1)d>0恒成立,所以d>- eq \f(a1,n-1)恒成立,所以d>(- eq \f(a1,n-1))max.因为- eq \f(a1,n-1)随着n的增大而增大,且- eq \f(a1,n-1)恒为负值,所以d≥0,所以d>0,即{an}为递增数列,即必要性成立.故选C.
    6.B 当a1<0,q>1时,an=a1qn-1<0,此时数列{Sn}递减,所以甲不是乙的充分条件.当数列{Sn}递增时,有Sn+1-Sn=an+1=a1qn>0,若a1>0,则qn>0(n∈N*),即q>0;若a1<0,则qn<0(n∈N*),不存在.所以甲是乙的必要条件.
    7.A 由双曲线 eq \f(x2,4)- eq \f(y2,λ)=1的焦点在x轴上可知,λ>0.于是“0<λ<4”是“双曲线 eq \f(x2,4)- eq \f(y2,λ)=1的焦点在x轴上”的充分不必要条件.
    8.B p:xa+3,q:x≤-1或x≥ eq \f(1,2),
    ¬p:a-3≤x≤a+3.
    因为¬p是q的充分不必要条件,
    所以a+3≤-1或a-3≥ eq \f(1,2),
    得a∈(-∞,-4]∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2),+∞)).
    9.D 由0<θ<π,可得0当sin θ= eq \f(3,4)时,方程可化为x2+y2=3,此时方程表示圆,所以充分性不成立;
    反之:方程 eq \f(x2,3)+ eq \f(y2,4sin θ)=1表示椭圆,则满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4sin θ>0,4sin θ≠3)),即sin θ>0且sin θ≠ eq \f(3,4),所以0<θ<π不成立,即必要性不成立,
    所以“0<θ<π”是“方程 eq \f(x2,3)+ eq \f(y2,4sin θ)=1表示椭圆”的既不充分也不必要条件.
    10.②③
    解析:要使函数f(x)=sin x+ eq \f(1,sin x)有意义,则有sin x≠0,∴x≠kπ,k∈Z,∴定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},定义域关于原点对称.
    又∵f(-x)=sin (-x)+ eq \f(1,sin (-x))=-sin x- eq \f(1,sin x)=- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x+\f(1,sin x)))=-f(x),∴f(x)为奇函数.
    ∴f(x)的图像关于原点对称,
    ∴①是假命题,②是真命题.
    对于③,要证f(x)的图像关于直线x= eq \f(π,2)对称,只需证f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-x))=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+x)).
    ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-x))=sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-x))+ eq \f(1,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-x)))=cs x+ eq \f(1,cs x),
    f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+x))=sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+x))+ eq \f(1,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+x)))=cs x+ eq \f(1,cs x),
    ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-x))=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+x)),∴③是真命题.
    令sin x=t,-1≤t≤1且t≠0,∴g(t)=t+ eq \f(1,t),-1≤t≤1且t≠0,此函数图像如图所示(对勾函数图像的一部分),∴函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),
    ∴函数的最小值不为2,即f(x)的最小值不为2.∴④是假命题.
    综上所述,所有真命题的序号是②③.
    11.(-∞,-3]
    解析:由x2+x-6<0得-3即A=(-3,2),
    由x-a>0,得x>a,即B=(a,+∞),
    由题意得(-3,2)⊆(a,+∞),∴a≤-3.
    12.[9,+∞)
    解析:由 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1-\f(x-1,3)))≤2,得-2≤x≤10,由x2-2x+1-m2≤0得1-m≤x≤1+m,
    设p,q表示的范围为集合P,Q,则
    P={x|-2≤x≤10},
    Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.
    因为p是q的充分而不必要条件,所以PQ.
    所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m>0,,1-m≤-2,,1+m≥10,))解得m≥9.
    13.A 因为y=x eq \s\up6(\f(1,2))定义域为[0,+∞),且为增函数,又(a+1) eq \s\up6(\f(1,2))<(3-2a) eq \s\up6(\f(1,2)),所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a+1<3-2a,a+1≥0,3-2a≥0)),解得-1≤a< eq \f(2,3),因为-1≤a< eq \f(2,3)⇒-214.B 对于不等式2x+1由图像可知,不等式2x+1因为{x|-115.B 甲等价于sin2α=1-sin2β=cs2β,等价于sinα=±cs β,所以由甲不能推导出sin α+cs β=0,所以甲不是乙的充分条件;由sin α+cs β=0,得sin α=-cs β,平方可得sin2α=cs2β=1-sin2β,即sin2α+sin2β=1,所以由乙可以推导出甲,则甲是乙的必要条件.综上,选B.
    16.②
    解析:①中“x2+x-2>0”是“x>1”的必要不充分条件,故①错误;
    对于②,命题:“∀x∈R,sinx≤1”的否定是“∃x0∈R,sin x0>1”,故②正确;
    对于③,“若x= eq \f(π,4),则tan x=1”的逆命题为“若tan x=1,则x= eq \f(π,4)”,其为假命题,故③错误;
    对于④,若f(x)是R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0,
    ∵lg32= eq \f(1,lg23)≠-lg23;
    ∴lg32与lg23不互为相反数,故④错误.
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