备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）7-1 空间几何中的平行（精讲）（基础版）（解析版）

这是一份备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）7-1 空间几何中的平行（精讲）（基础版）（解析版），共17页。试卷主要包含了三角形中位线，构造平行四边形，等比例，线面平行的性质，面面平行的性质，线面垂直的性质等内容，欢迎下载使用。
7.1 空间几何中的平行（精讲）（基础版）考点一 三角形中位线【例1】（2022·浙江）已知四棱锥的底面是菱形，为的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】连接交于，连接,是菱形，是中点，又是中点面,面面 【一隅三反】1．（2022·广东珠海）如图，在三棱柱中，点是的中点，求证：平面【答案】证明见解析；【解析】连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面.2．（2022·山东）如图，在三棱柱中，点M为的中点，证明：平面【答案】证明见解析【解析】连接与交于点O，则O为的中点，连接OM，因为点M为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；3．（2022·山东滨州）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点，求证：平面EAC【答案】证明见解析【解析】证明：连结BD交AC于点O，连接EO.显然，O为BD的中点，又因为E为PB的中点，所以.又因为面EAC，面EAC，所以平面EAC；考点二 构造平行四边形【例2】（2022·重庆巴蜀中学）如图，在多面体中，四边形是一个矩形，，求证：平面【答案】证明见解析【解析】（1）设，连接，由于，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面平面，所以平面. 【一隅三反】1．（2022·河南·商丘市第一高级中学）在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】证明：在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，取的中点，连接，，如图，则且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面；2．（2022·河北保定）如图，已知多面体，平面平面，且，证明：平面【答案】证明见解析【解析】证明：因为平面平面，所以.因为，所以四边形为平行四边形，则.又平面平面，所以平面.3．（2022·辽宁营口）如图，三棱柱中，E为中点，F为中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】证明：取BC中点为D,连接ED,AD, 因为E为中点,故 ,又 ,F为中点,故 ,所以四边形EDAF为平行四边形，故 ,因为平面，平面,故平面；考点三 等比例【例3】（2022·云南·弥勒市一中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，且．点在棱上，点为中点，证明：若，则直线平面【答案】证明见解析【解析】在上取一点，使得，连接，，，又平面，平面，平面；，，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；，平面，平面平面，平面，平面.【一隅三反】1．（2022·广东）如图所示，是所在平面外的一点，、、分别是、、的重心，求证：平面平面【答案】证明见解析【解析】连接、、，∵、、分别是、、的重心，∴、、分别为、、的中点，且，∴， ，平面，平面，所以平面，平面，平面，所以平面，且，∴平面平面. 2（2022·江苏宿迁）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，，证明：平面【答案】见解析【解析】过点作，交于点，连接，由题意得，故，，而平面，平面，平面，同理得平面，而，平面平面，平面3．（2022·湖南·长沙一中）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=BB1=3，G为AB的中点，E，F分别在线段A1C1，AC上，且，求证：平面BB1F【答案】证明见解析【解析】取的中点，连接，故为的中位线，得，而平面，平面，从而平面，①又，结合长方体的对称性知，即四边形为平行四边形，故，又，所以，而平面，平面，从而平面，②，结合①②知，平面平面，从而平面.考点四 线面平行的性质【例4】（2022·北京海淀）如图，在四棱锥中，平面PAD，，E，F，H，G分别是棱PA，PB，PC，PD的中点，求证：【答案】证明见解析；【解析】因为平面，平面，平面平面，所以.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱中，是边的中点，过作截面交于点．求证：；【答案】证明见解析【解析】证明：如图，在直三棱锥中，因为平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.2．（2022·辽宁葫芦岛）如图，在四面体中，，，点是的中点，，且直线面，直线直线【答案】证明见解析【解析】直线平面，，平面平面，．3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）.求证：；【答案】证明见解析【解析】证明：在梯形中，，平面，平面，平面.又平面，平面平面，所以. 考点五 面面平行的性质【例5】（2022·甘肃酒泉）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】如图，取中点，连，，∵为中位线，∴，又平面，平面，∴平面，同理，在梯形中，，又平面，平面，∴平面，且平面，平面，，∴平面平面，又平面，所以平面．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形为菱形，，求证：平面【答案】证明见解析【解析】证明：因为四边形为菱形，则，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，所以，平面平面，因为平面，平面.2．（2022·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱中M，N，P，D分别为，BC，，的中点，求证：面【答案】证明见解析【解析】∵P，D分别为，的中点，∴，且平面，平面，∴平面，∵D，N分别为，BC的中点，∴，且平面，平面，∴平面，又，∴平面平面，又∵平面PDN，∴平面.3．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）如图，四棱锥中，F，M，N分别为的中点，求证：∥平面【答案】证明见解析【解析】取的中点G，连接，则由M，G分别为的中点易得∥平面，平面∴∥平面同理：∥平面又，所以平面∥平面，所以∥平面考点六 线面垂直的性质 【例6】（2022·新疆·三模（文））多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点，求证：平面ECD【答案】证明见解析【解析】证明：取CD的中点G，连接EG∵△CDE为腰长为的等腰三角形，∴又∵平面CDE⊥平面BCD，平面ECD，平面平面,∴EG⊥平面BCD，同理可得，AF⊥平面BCD∴又∵平面ECD，平面CDE，∴平面CDE【一隅三反】1．（2022·江苏·高一课时练习）在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．【答案】证明见解析【解析】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC．因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因为l⊥平面PCD，所以l∥AE．2．（2022·山西临汾）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：【答案】证明见解析【解析】证明：在中，，所以，，在中，，，，由余弦定理得，所以，所以，同理可得，在中，，且，在中，，所以，因为，，平面，所以平面，在中，，在中，，则，因为，所以平面，所以；3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形是菱形，平面，平面，且，分别是的中点，证明：平面平面【答案】证明见解析【解析】因分别是的中点，则有，又平面，平面，于是得平面，连接AC交BD于点O，连接FO，如图，因四边形ABCD为菱形，则O为AC中点，而F为AB1中点，于是得，因平面，平面，因此，平面，又平面，平面，则有，而，于是得四边形是平行四边形，则有，又，平面，所以平面平面.