第三章　§3.3　导数与函数的极值、最值-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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§3.3　导数与函数的极值、最值
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.函数的极值(1)函数的极大值若函数y＝f(x)在区间(a，x0)上 ，在区间(x0，b)上 ，则x0是极大值点，f(x0)是极大值.(2)函数的极小值若函数y＝f(x)在区间(a，x0)上 ，在区间(x0，b)上 ，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.(3)极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 .
2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的 ；②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
端点处的函数值f(a)，f(b)
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.(　　)(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.(　　)(3)函数的极小值一定是函数的最小值.(　　)(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.(　　)
2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为A.1 　　　　B.2 　　C.3 　　D.4
由导函数f′(x)的图象知，在x＝－2处，f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，所以x＝－2是f(x)的极大值点；在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，所以x＝－1是f(x)的极小值点；在x＝2处，f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，所以x＝2是f(x)的极大值点.综上，f(x)的极小值点的个数为1.
3.若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有两个极值点，则实数a的取值范围是_________________________.
f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有两个变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，
f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝－2(舍去).当x∈[0,2)时，f′(x)0，f(x)单调递增.
又由于f(0)＝4，f(3)＝1，
题型一　利用导数求解函数的极值问题
命题点1　根据函数图象判断极值例1　(多选)(2023·连云港模拟)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，下列说法正确的是A.f(1)为函数f(x)的极大值B.当x＝－1时，f(x)取得极小值C.f(x)在(－1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减D.当x＝3时，f(x)取得极小值
由图象知，当x∈(－2，－1)时，f′(x)0，即f(x)在(－1,2)上单调递增，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，故A错误，B正确；当x∈(2,4)时，f′(x)0，当x>a时，g′(x)>0，当0