2023衢州高二下学期期末数学试题含答案

衢州市2023年6月高二年级教学质量检测试卷

数学

命题：陈旭、林美琳、陈君    审题：江浩丰

考生须知：

1.全卷分试卷和答题卷，考试结束后，将答题卷上交。

2.试卷共4页，有4大题，22小题。满分150分，考试时间120分钟。

3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.设（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知直线，和平面，，则使平面平面成立的充分条件是（    ）

A.，  B.，

C.，， D.，

4.已知，则（    ）

A. B. C. D.

5.函数的单调递增区间为（    ）

A.  B.

C.和  D.和

6.已知等差数列的前项和为，且，若，数列的前项积为，则使的最大整数为（    ）

A.20 B.21 C.22 D.23

7.已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法错误的有（    ）

A.  B.

C.  D.若，则周期为6

8.衣柜里有5副不同颜色的手套，从中随机选4只，在取出两只是同一副的条件下，取出另外两只不是同一副的概率为（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.给出下列命题，其中正确的命题为（    ）

A.若样本数据的期望为3、方差为6，则数据的期望为5、方差为11

B.假设经验回归方程为，则当时，的预测值为

C.随机变量服从正态分布，若，则

D.甲同学所在的某校高三共有5000人，按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本.则甲被抽到的概率为

10.已知椭圆的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（    ）

A.当椭圆的离心率的取值范围是

B.当椭圆的离心率为时，的取值范围是

C.对任意点都有

D.的最小值为2

11.已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A.若函数有四个零点，则实数的取值范围是

B.关于的方程有8个不同的解

C.对于实数，不等式恒成立

D.当时，函数的图象与轴围成图形的面积为6

12.如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，点在棱上且，点是所在平面内的动点，点是所在平面内的动点，且点到直线的距离与到点的距离相等，则（    ）

A.平面

B.若二面角的余弦值为，则点到平面的距离为

C.若，则动点的轨迹长度为

D.若，则的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在的展开式中，各项系数的和是______.

14.88键钢琴从左到右各键音的频率组成一个递增的等比数列.若中音（左起第49个键）的频率为，钢琴上最低音的频率为，则左起第61个键的音的频率为______.

15.设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.若，，与相交于点，且，则的面积为______.

16.原有一块棱长为的正四面体石材，在搬运的过程有所损伤，剩下了一块所有棱长均为的八面体石材（如图），现将此八面体石材切削、打磨、加工成球，则加工后球的最大表面积与该八面体石材外接球的表面积之比为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题10分）近期衢州市文化艺术中心进行了多次文艺演出，为了解观众对演出的喜爱程度，现随机调查了、两地区的200名观众，得到如下所示的2×2列联表.

若用分层抽样的方法在被调查的200名观众中随机抽取20名，则应从区且喜爱程度为“非常喜欢”的观众中抽取8名.

（1）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.

（2）若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为，求的数学期望.

附：，其中.

18.（本题12分）已知数列满足：，对任意且时，其中表示不超过的最大整数

（1）求；

（2）设，求数列的前项.

19.（本题12分）在中，角，，所对的边为，，，已知.

（1）求；

（2）若，，求.

20.（本题12分）如图，在正三棱台中，，，过棱的截面与棱，分别交于、.

（1）记几何体和正三棱台的体积分别为，，若，求的长度；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

21.（本题12分）已知函数

（1）若过点作函数的切线有且仅有两条，求的值；

（2）若对于任意，直线与曲线都有唯一交点，求实数的取值范围.

22.（本题12分）已知双曲线，过点作直线交双曲线的两支分别于，两点，

（1）若点恰为的中点，求直线的斜率；

（2）记双曲线的右焦点为，直线，分别交双曲线于，两点，求的取值范围.

衢州市2023年6月高二年级数学质量检测答案

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.1   14.880   15.   16.3:11

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.解析：表格补充完整如下

………………………………2分

零假设为：观众的喜爱程度与所在地区无关.

所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．………………………5分

（2）从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率……6分

从A地区随机抽取3人，则，…………………………8分

X的所有可能取值为0，1，2，3，

则，，

，，

所以的分布列为

方法1：．

方法2：.…………………………………………10分

18.解：（1）当为偶数时，

故……6分

（2）由题可得，故，………………………………………………………8分

………………………………………………10分

故，…………………………………………………………………………12分

19．解：（1）由题可得………………………………………1分

所以

所以……………………………………2分

那么……………………………………………………………4分

所以，又因为故………………………………6分

（2）由及可得，………………8分

由正弦定理可得：，

故………………………………………………10分

所以，

故，或者，………………………………12分

20.解（1）∵三棱台是正三棱台，

∴平面

∵平面，平面平面

∴

∴几何体是三棱台………………………………………………2分

记，，

∵，∴，∴………………………………6分

（2）如图，延长，，交于点，作中点，连接，

∵，∴平面

∴即直线与平面所成的角……………………8分

∵，，

∴在中根据余弦定理求得………………11分

∴直线与平面所成角的正弦值为.……………12分

（其它解法请酌情给分）

21解：（1）设过点作函数切线的切点为，

因为，所以切线方程为，即…………2分

又因为切线过点，所以………………………………3分

令，则，所以，，递减；

，，递增；，，递减.

结合，；，，所以……………………6分

（2）由题可得有唯一解，即有唯一解.

令，若，则与题设，矛盾…………8分

故

又因为，；，，，结合题设唯一解得要求，可得在上单调递增，即，…………………………10分

所以结合（1）可得，所以…………12分

22.解（1）设，

由，得，即，所以，又，故；

（2）设，，，

由

得，又，故，

从而，同理有，

另一方面，，

设，由得，

故，带入上式有

，

由直线交双曲线于两支可知，令，

故，即