2023年江苏省常州外国语学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省常州外国语学校中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. −7的倒数是( )
A. −17B. 7C. 17D. −7
2. 若二次根式 x−3有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≠3B. x≥3C. x≤3D. x=3
3. 根据世卫组织实时统计数据，截至欧洲中部时间6月28日18时30分全球新冠肺炎确诊病例超54218万例，其中54218万例用科学记数法表示是例．( )
A. 5.4218×108B. 5.4218×107C. 54.218×107D. 54.218×108
4. 下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. −6a2÷3a=−2a
C. (−3pq)2=−6p2q2D. (b−a)2=b2−a2
5. “春蕾计划”是在全国妇联领导下，中国儿童少年基金会发起的一项社会公益活动，旨在帮助困境女童顺利完成学业.某中学广大教师为此积极捐款献爱心，该校50名教师的捐款情况统计如图所示，则他们捐款金额的众数和中位数分别是( )
A. 200元，100元B. 100元，200元C. 200元，150元D. 100元，150元
6. 如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC/​/BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为( )
A. 83
B. 73
C. 2
D. 53
7. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=35°，则∠C的度数是( )
A. 35°
B. 45°
C. 65°
D. 55°
8. 函数y=−x2(x−4)和y=kx(x>0)的图象如图所示.若x=a，x=b分别为方程−x2(x−4)=−1和kx=−1的一个解，则根据图象可知a、b的大小关系为( )
A. a≥bB. a≤bC. a>bD. a二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
9. 3−27= ______ ．
10. 计算：(a+b)2−2ab= ______ ．
11. 分解因式：2x2−8x=____．
12. 点(4,2)关于y轴的对称点的坐标为______ ．
13. 已知扇形的圆心角为80°，半径为3cm，则这个扇形的面积是______ cm2．
14. 如图，AB/​/CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数是 ．
15. 如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，延长BC到点E，CM平分∠DCE，过点D作DF⊥CM，垂足为F.若DF=1，则对角线BD的长是______．
16. 对于平面直角坐标系xOy中的点M(a,b)，若N的坐标为(ka,b+k)，其中k为常数，且k≠0，则M、N互为“k系关联点”，比如：M(2,3)的“2系关联点”为N(2×2,3+2)，即：N(4,5).若点P(m,−2)的“−1系关联点”为Q(x,y)，且满足x+y=−9，则m的值为______ ．
17. 在锐角△ABC中，sinA=3 1010,csB=45，若AB=15，则AC= ______ ．
18. 如图，将抛物线y=2(x+1)2+1绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线，新曲线与直线y=x交于点M，则点M的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算： 4−|−14|+( 3−2)0+2−2．
20. (本小题8.0分)
(1)解方程：3−xx−4+14−x=1；
(2)解不等式组：3x<5x+6x+16≥x−1．
21. (本小题8.0分)
为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“垃圾分类，从我做起”的活动，志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其3月份垃圾分类投放次数进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
信息1：垃圾分类投放次数分布表信息
信息2：垃圾分类投放次数占比统计图
信息3：C组包含的数据：12，12，10，12，13，10，11，13，12，11，13．
请结合以上信息完成下列问题：
(1)统计表中的a= ______ ，e= ______ ．
(2)统计图中B组对应扇形的圆心角为______ 度；
(3)根据调查结果，请你估计该社区2000名居民中3月份垃圾分类投放次数不少于15次的人数．
22. (本小题8.0分)
近年来，常州的文艺创作迎来井喷状态，被誉为舞台艺术“常州现象”.如音乐类；《昔我往矣)、《教我如何不想你》；电影类：《秋之白华》、《桂香街》等精品佳作，处处彰显着常州文化的韵味.现有四张不透明的卡片，它们的背面完全一样，正面分别写有：昔我往矣、教我如何不想你、秋之白华、桂香街，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上．

(1)从中随机抽取一张，抽到“秋之白华”的概率为______ ；
(2)从中随机抽取一张(不放回)，接着再随机抽取一张.请通过画树状图或列表的方法，求抽到的两张卡片所写的都属于音乐类作品的概率．
23. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠AOB：∠ODC=6：7，求∠ADO的度数．
24. (本小题8.0分)
已知购买1千克甲种水果和3千克乙种水果共需52元，购买2千克甲种水果和1千克乙种水果共需44元．
(1)求每千克甲种水果和每千克乙种水果的售价；
(2)如果购买甲、乙两种水果共20千克，且甲种水果的重量不少于乙种水果的重量.则购买多少千克甲种水果，总费用最少，最少总费用是多少？
25. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B.点C为线段AO上的一个动点(点C不与A、O重合)，点D为第一象限内一点，且同时满足∠DBC=∠OBA，BD：BC=3；5．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)是否存在满足条件的点D在函数y=34x(x>0)的图象上？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
26. (本小题10.0分)
操作：我们知道等腰三角形是轴对称图形，至少有一条对称轴.如图，在等腰△ABC中，AB=AC≠BC，用尺规在图3中作出△ABC的对称轴(方法与图1、图2不同，保留作图痕迹，不写作法)．

探究1：如图4，在等腰△ABC中，AB=AC=8，BD⊥AC于点D，BD=4 2，点E为边AB上一点，BE=10−4 2，求CE的长．
探究2：在等腰△ABC中，AB=AC=8，点D，点E分别为边AC、AB上一点，BD=CE，若CD=1，BE=3，求CE的长．
27. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A(−1,0)、C(4,0)两点，与y轴交于点B．
(1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标；
(2)若点D是抛物线上的一个动点，满足△ABD与△BCD的面积相等.求出点D的坐标；
(3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作EF⊥x轴于点F，交BC于点P，且满足△BFP与△CEP相似，求出点E的横坐标．
28. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系xOy中，有不重合的两个点P(x1,y1)与Q(x2,y2)，若P，Q为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x轴或y轴平行(或重合)，则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点P与点Q之间的“折距”，记作LPQ或LQP.特别地，当PQ与某条坐标轴平行(或重合)时，线段PQ的长即是点P与点Q之间的“折距”.例如，如图，点P(2,4)，点Q(4,1)，此时LPQ=5，已知O为坐标原点，解答下列问题：
(1)①若点P(3,2)，则LOP= ______ ；
②若点Q是以O为圆心，2为半径的⊙O上任意一点，则LOQ的最大值是______ ；
(2)若一次函数y=x+2的图象分别交x轴、y轴于点A、B，点P是线段AB上一点，求LOP的值；
(3)已知点M(2,1)，若r为半径的⊙O上有且只有两个点到点M的折距为3，直接写出r的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：设−7的倒数是x，则
−7x=1，
解得x=−17．
故选：A．
根据倒数的定义解答．
主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可知：x−3≥0，
∴x≥3．
故选：B．
根据二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数可求出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义，被开方数是非负数是关键．
3.【答案】A
【解析】解：54218万=542180000=5.4218×108．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】解：a2与a3不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；
−6a2÷3a=−2a，故B正确，符合题意；
(−3pq)2=9p2q2，故C错误，不符合题意；
(b−a)2=b2−2ab+a2，故D错误，不符合题意；
故选：B．
由同类项概念，单项式除法法则，积的乘方与幂的乘方公式，完全平方公式逐项判断即可．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
5.【答案】B
【解析】解：由条形统计图知，100出现次数最多，
所以这组数据的众数为100，
这组数据的第25、26个数据均为200，
所以这组数据的中位数为200+2002=200，
故选：B．
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数、中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
6.【答案】A
【解析】解：∵EF是△ODB的中位线，
∴DB=2EF=2×2=4，
∵AC/​/BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴AC：BD=OC：OD，
即AC4=23，
解得AC=83．
故选：A．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DB，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：连接OB，如图，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=35°，
∴∠AOB=180°−35°−35°=110°，
∴∠C=12∠AOB=55°．
故选：D．
连接OB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB=110°，然后根据圆周角的定理求∠C的度数．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
8.【答案】C
【解析】解：∵方程−x2(x−4)=−1的解为函数y=−x2(x−4)图象与直线y=−1的交点的横坐标，
kx=−1的一个解为函数y=kx(x>0)的图象与直线y=−1交点的横坐标，
如图所示：

由图象可知：a>b．
故选：C．
根据方程的解是函数图象交点的横坐标，结合图象得出结论．
本题考查了反比例函数的应用，函数图象与方程的解之间的关系，关键是利用数形结合，把方程的解转化为函数图象之间的关系．
9.【答案】−3
【解析】解：∵(−3)3=−27，
∴3−27=−3．
根据立方根的定义即可求解．
此题主要考查了立方根的定义，注意：一个数的立方根只有一个．
10.【答案】a2+b2
【解析】解：(a+b)2−2ab
=a2+2ab+b2−2ab
=a2+b2．
故答案为：a2+b2．
先进行完全平方运算，再合并同类项即可．
本题主要考查完全平方公式，解答的关键是熟记完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
11.【答案】2x(x−4)
【解析】解：原式=2x(x−4)．
故答案为：2x(x−4)．
直接提取公因式2x，进而得出答案．
此题主要考查了提公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12.【答案】(−4,2)
【解析】解：点(4,2)关于y轴的对称点的坐标为(−4,2)，
故答案为：(−4,2)．
根据关于y轴的对称点的坐标是横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得到答案．
本题考查了关于y轴的对称点的坐标，熟练掌握关于y轴的对称点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，是解题的关键．
13.【答案】2π
【解析】解：扇形的面积=80π×32360=2πcm2．
故答案是：2π．
根据扇形的面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键．
14.【答案】40°
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质以及三角形内角和为180°，解题的关键是求出∠D=40°.解决该题型题目时，根据平行线的性质，找出相等或互补的角是关键．
由EF⊥BD，∠1=50°，结合三角形内角和为180°，即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．
【解答】
解：在△DEF中，∠1=50°，又EF⊥BD，可得∠DEF=90°，
∴∠D=180°−∠DEF−∠1=40°．
∵AB/​/CD，
∴∠2=∠D=40°．
故答案为：40°．
15.【答案】2 3
【解析】解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠CBO=∠ABO，OB=OD，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，∠BCD=120°，
∴∠DCE=60°，
∵CM平分∠DCE，
∴∠DCF=∠ECF=30°，
∵DF=1，DF⊥CM，
∴DC=2DF=2，
∴OC=12CD=1，
∴OD= CD2−OC2= 3，
∴BD=2OD=2 3．
故答案为：2 3．
连接AC交BD于点O，由菱形的性质得出AB=BC，∠CBO=∠ABO，OB=OD，AC⊥BD，由直角三角形的性质得出DC=2，求出OD的长，则可得出答案．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：∵点P(m,−2)的“−1系关联点”为Q(x,y)，
∴x=m×(−1)，y=−2+(−1)，
∴x=−m，y=−3，
又∵x+y=−9，
∴−m+(−3)=−9，
∴m=6，
即m的值是6．
故答案为：6．
点P(m,−2)的“−1系关联点”为Q(x,y)，可得点Q(−m,−2−1)，由x+y=−9即可得出m的值．
本题主要考查点的坐标与新定义，熟练掌握新定义并列出相关的方程是解题的关键．
17.【答案】3 10
【解析】解：过点C作CD⊥AB垂足为D，

∵csB=BDBC=45，
∴设BD=4k，BC=5k，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
CD2=(5k)2−(4k)2，
∴CD=3k，
∵sinA=CDAC=3 1010，
∴AC= 10k，
由勾股定理得：AD=k，
∴AB=k+4k=5k=15，
∴k=3，
∴AC=3 10．
故答案为：3 10．
过点C作CD⊥AB构造直角三角形，再根据三角函数定义解直角三角形即可．
本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，学会作出辅助线构造直角三角形解决问题．
18.【答案】(3 22,3 22)
【解析】解：直线y=x绕原点O逆时针旋转45°得到x=0，
设抛物线y=2(x+1)2+1与y轴的交点为M′，
∵抛物线y=2(x+1)2+1，
∴x=0时，y=3，
∴M′(0,3)，
设点M(m,m)，
由题意得：OM=OM′=3，
∴m2+m2=32，
∴m=3 22，
∴点M的坐标为(3 22,3 22).
故答案为：(3 22,3 22).
直线y=x绕原点O逆时针旋转45°得到x=0，求得抛物线与y轴的交点M′，M′绕原点O顺时针旋转45°得到M，由OM=OM′，即可求解．
本题考查的是二次函数图象与几何变换，旋转的选择、勾股定理的应用，利用逆向思维，确定对应点M、M′的关系，是本题的突破点．
19.【答案】解：原式= 4−|−14|+1+2−2
=2−14+1+14
=3．
【解析】按照有理数混合运算的法则进行计算即可，需注意非零有理数的零次幂等于1的法则．
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题关键．
20.【答案】解：(1)3−xx−4+14−x=1，
3−x−1=x−4，
解得：x=3，
检验：当x=3时，x−4≠0，
∴x=3是原方程的根；
(2)3x<5x+6①x+16≥x−1②，
解不等式①得：x>−3，
解不等式②得：x≤75，
∴原不等式组的解集为：−3【解析】(1)按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
(2)按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】5 10 72
【解析】解：(1)a=50×10%=5，e=50−(5+10+14+11)=10；
故答案为：5，10；
(2)统计图中B组对应扇形的圆心角为360°×1050=72°；
故答案为：72；
(3)估计该社区2000名居民中3月份垃圾分类投放次数不少于15次的人数为2000×14+1050=960(人)．
答：投放次数不少于15次的人数为960人．
(1)总人数乘以A组对应百分比可得其人数，根据各组人数之和等于总人数可得E组人数；
(2)用360°乘以B组人数所占比例即可；
(3)根据众数和中位数的定义求解即可；
(4)用总人数乘以样本中D、E组人数所占比例即可．
本题考查扇形统计图，应结合统计表和扇形统计图，利用部分与总体之间的关系进行求解．
22.【答案】14
【解析】解：(1)∵共有4张卡片，分别标有昔我往矣、教我如何不想你、秋之白华、桂香街，
∴从中随机抽取一张，抽到的卡片恰好是“秋之白华”的概率为14．
故答案为：14；
(2)画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中抽到卡片上所写的都属于音乐类作品的有共2种，
∴抽到卡片上所写的都属于音乐类作品的概率为212=16．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】(1)证明：∵AO=OC，BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴AO=DO，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，∠BAD=90°，
∴∠ABO=∠CDO，
∵∠AOB：∠ODC=6：7，
∴∠AOB：∠ABO=6：7，
∴∠BAO：∠AOB：∠ABO=7：6：7，
∴∠ABO=63°，
∵∠BAD=90°，
∴∠ADO=90°−63°=27°．
【解析】(1)证四边形ABCD是平行四边形，再证AC=BD，即可得出结论；
(2)由矩形的性质得到AB/​/CD，再由平行线的性质得到∠ABO=∠CDO，然后由三角形的内角和求出∠ABO=63°，即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明AC=BD是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设甲种水果的售价为x元/千克，乙种水果的售价为y元/千克，
由题意可得：x+3y=522x+y=44，
解得x=16y=12，
答：甲种水果的售价为16元/千克，则乙种水果的售价为12元/千克．
(2)设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果(20−m)千克，总费用为w元，
由题意可得：w=16m+12(20−m)=4m+240，
∴w随m的增大而增大，
∵甲种水果的重量不少于乙种水果的重量，
∴m≥20−m，
解得m≥10，
∴当m=10时，w取得最小，此时w=280，20−m=10，
答：购进甲种水果10千克，乙种水果10千克能使费用最少，最少费用为240元．
【解析】(1)设甲种水果的售价为x元/千克，乙种水果的售价为y元/千克，即可得出关于x，y的二元一次方程组，然后求解即可；
(2)根据总费用=售价×销售量，可以写出费用与购买的甲种水果重量的函数关系式，然后根据甲种水果的重量不少于乙种水果重量，即可得到甲种水果重量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到总费用的最小值．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
25.【答案】解：(1)∵函数y=34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴y=0时，34x+3=0，解得x=−4，
∴A(−4,0)，
令x=0，则y=3，
∴B(0,3)；
(2)存在满足条件的点D在函数y=34x(x>0)的图象上，
作DE⊥x轴于E，
∵OA=4，OB=3，
∴AB= OA2+OB2=5，
∴OBAB=35，
∵∠DBC=∠OBA，
∴∠DBO=∠ABC，
∵BD：BC=3；5，
∴△BOD∽△BAC，
∴∠BOD=∠BAC，ACOD=BCBD=ABOB=53，
设AC=m，
∴OD=35m，
∵∠BAC+∠ABO=90°=∠BOD+∠DOE，
∴∠DOE=∠ABO，
∵∠AOB=∠OED=90°，
∴△AOB∽△OED，
∴OEOB=DEOA=ODAB，即OE3=DE4=35m5，
∴DE=1225m，OE=925m，
∴D(925m,1225m)，
∵点D在函数y=34x(x>0)的图象上，
∴925m⋅1225m=34，
解得m=2512，
∴D(34,1)．
【解析】(1)坐标轴上点的坐标特征，即可求得点A、B的坐标；
(2)求得AB=5，即可得到OBAB=35，从而求得△BOD∽△BAC，即可对称∠BOD=∠BAC，ACOD=BCBD=ABOB=53，设AC=m，则OD=35m，求得∠DOE=∠ABO，通过证得△AOB∽△OED，求得D(925m,1225m)，代入y=34x(x>0)即可求得m=2512，即可求得D(34,1)．
本题考查了一次函数图象上点的坐标图象，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，通过三角形相似表示出点D的坐标是解题的关键．
26.【答案】解：操作：如图3，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于D和E，分别连接BD、CE交于点O，作直线AO.则直线AO就是△ABC的对称轴；
探究1：如图4，∵BD⊥AC于点D，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC=8，BD=4 2，
∴AD= AB2−BD2= 82−(4 2)2=4 2，
∴∠A=45°，
过点E作EF⊥AC于F，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∵AB=8，BE=10−4 2，
∴AE=4 2−2，
∴AF=EF=4− 2，
∴CF=AC−AF=4+ 2，
在Rt△CEF中，CE= CF2+EF2= (4+ 2)2+(4− 2)2=6；
探究2：如图5，在AC上取点F，使AF=AE，连接BF，

又∵∠A=∠A，AB=AC，
∴△ABF≌△ACE(SAS)，
∴BF=DE，
又∵CE=BD，
∴BD=BF，
过点B作BG⊥AC于G，
∴FG=GD=12DF，
∵AB=AC，AE=AF，
∴CF=BE=3，
又∵CD=1，
∴FD=2，
∴FG=GD=1，
∴AG=AC−CG=6，
在Rt△ABG中，BG= AB2−AG2= 82−62=2 7，
在Rt△BDG中，BD= BG2+DG2= 29，
∴CE=BD= 29，
即CE的长为 29．
【解析】操作：以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于D和E，分别连接BD、CE交于点O，作直线AO即可；
探究1：根据已知条件判定△ABD是等腰直角三角形，过点E作EF⊥AC于F，判定△AEF为等腰直角三角形，求出EF和AF的长，易求CF，然后根据勾股定理在Rt△EFC中求出CE的长即可；
探究2：在AC上取点F，使AF=AE，连接BF，作BG⊥AC于G，根据已知条件判定△ABF≌△ACE，得到BF=CE，易得BF=BF，然后根据“三线合一”和勾股定理先求出BG的长，再根据勾股定理求出BD的长就是CE的长．
本题是几何变换综合题，主要考查轴对称的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，深入理解题意是解决问题的关键．
27.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A(−1,0)、C(4,0)两点，
∴0=a−b+40=16a+4b+4，
解得a=−1b=3，
∴该抛物线的解析式为y=−x2+3x+4，
∵y=−x2+3x+4=−(x−32)2+254，
∴抛物线的解析式的顶点坐标为(32,254)；
(2)∵抛物线y=−x2+3x+4与y轴交于点B，
∴B(0,4)，
∵点D是抛物线上的一个动点，△ABD与△BCD的面积相等，
∴BD/​/AC，
∴D点的纵坐标为4，
当y=4时，即−x2+3x+4=4，
解得x1=0，x2=3，
∴D(3,4)；
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴b=44k+b=0，
解得k=−1b=4，

∴直线BC的解析式为y=−x+4，
设F(m,0)，则E(m,−m2+3m+4)，P(m,−m+4)，
∵OB=OC=4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BCO=45°，
∵EF⊥AC，
∴△CPF是等腰直角三角形，
∴CP= 2(4−m)，
∴BP=4 2− 2(4−m)= 2m，
①当△BPF∽△CPE时，
则PEPF=PCPB，
∴−m2+3m+4+m−44−m= 2(4−m) 2m，
解得m=−1± 172或m=4，
∵m>0且m≠4，
∴m=−1+ 172，
②当△BPF∽△EPC时，
则PBPE=PFPC，
∴ 2m−m2+3m+4+m−4=4−m 2(4−m)，
解得m=2或m=0(不合题意舍去)，
∴点E的横坐标为2或−1+ 172．
【解析】(1)根据题意列方程组，解方程组得到该抛物线的解析式为y=−x2+3x+4，由于y=−x2+3x+4=−(x−32)2+254，于是得到抛物线的解析式的顶点坐标为(32,254)；
(2)根据点D是抛物线上的一个动点，△ABD与△BCD的面积相等，于是得到BD/​/AC，求得D点的纵坐标为4，解方程即可得到D(3,4)；
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b，解方程得到直线BC的解析式为y=−x+4，设F(m,0)，则E(m,−m2+3m+4)，P(m,−m+4)，根据已知条件得到△BOC是等腰直角三角形，△CPF是等腰直角三角形，求得CP= 2(4−m)，得到BP=4 2− 2(4−m)= 2m，①当△BPF∽△CPE时，②当△BPF∽△EPC时，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论．
本题是二次函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，分类讨论是解题的关键．
28.【答案】5 2 2
【解析】解：(1)①如图1所示：
∵点P(3,2)，
∴以O，P为直角三角形的两个锐角顶点的直角三角形OPM的两条直角边长为3和2，
∴LOP=3+2=5，
故答案为：5；
②当点Q在一，三象限的角平分线上或二、四象限的角平分线上时，LOQ的值最大，最大值为2 2，
故答案为：2 2；
(2)∵一次函数y=x+2的图象分别交x轴、y轴于点A、B，
∴A(−2,0)，B(0,2)，
∵点P是线段AB上一点，
∴设P(a,a+2)，
则a≤0，a+2≥0，
∴LOP的值=|a|+|a+2|=−a+a+2=2；
(3)如图2，N是以T(t,0)为圆心，1为半径的⊙T上任意一点，
当点N在⊙T最上方时，
∵点M(2,1)，LMN=3，
∴N为(5,1)或(−1,1)，
此时t=5或t=−1，
以NN′为对角线作正方形ANBN′，
则与点M的“折距”为3的点在正方形ANBN′的各边上，
∴点N的运动轨迹是以T(t,0)为圆心，1为半径的圆与正方形ANBN′的交点，
∵NN′//x轴，
∴NB与x轴的夹角的锐角值为45°，
∴在圆与NB边的交点上t的最小值为− 2，
同理：t的最大值为 2，
同理：N′B与x轴的夹角锐角值也为45°，N′B与x轴的交点为(4,0)，
∴在圆与N′B边的交点上时，t的最大值为4+ 2，最小值为4− 2，
∴t的取值范围为− 2≤t≤ 2或4− 2≤t≤4+ 2．
(1)①由“折距”的定义求解即可；
②由“折距”的定义得：当OQ与x轴或y轴重合时，LOQ的值最小为2；
(2)由一次函数求出A(−2,0)，B(0,2)，设P(a,a+2)，则a≤0，a+2≥0，再由“折距”的定义和绝对值的定义求解即可；
(3)当点N在⊙T最上方时，由题意得N为(5,1)或(−1,1)，此时t=5或t=−1，以NN′为对角线作正方形ANBN′，则与点M的“折距”为3的点在正方形ANBN′的各边上，则点N的运动轨迹是以T(t,0)为圆心，1为半径的圆与正方形ANBN′的交点，再分别求出在圆与NB边的交点上t的最小值与最大值，同理在圆与N′B边的交点上t的最大值与最小值，即可得出结论．
本题是圆的综合题目，考查了圆的性质、新定义“折距”、一次函数的性质、坐标与图形性质等知识；本题综合性强，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义解决问题，属于中考压轴题．
组别
投放次数
频数
A
0≤x<5
a
B
5≤x<10
10
C
10≤x<15
c
D
15≤x<20
14
F
x≥20
e
合计
50