2022年江苏省常州市金坛区中考数学一模试卷（含解析）

2022年江苏省常州市金坛区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是

A. 正方体
B. 长方体
C. 圆柱
D. 圆锥

4. 对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，、、是上的点，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是

A.  B.  C.  D.

7. 将函数的图象向下平移两个单位，以下错误的是

A. 开口方向不变 B. 对称轴不变
C. 随的变化情况不变 D. 与轴的交点不变

8. 如图，等腰中，，，轴，交轴于点，且是的中点．反比例函数的图象经过点，交于点若，则的值是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9. 化简： ______ ．
10. 计算：______．
11. 分解因式：______．
12. 第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为人．将用科学记数法可表示为______．
13. 数轴上点表示数为，从出发，沿数轴向右移动个单位长度到达点，则点表示的数是______．
14. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为______ ．
15. 如图，直线，，，则______

16. 如图，在中，点，分别在边，上，若，则与四边形的面积比是______．
    
     

17. 如图，在中，，，，交于点若，则______．

18. 如图，在和中，，，，以、为邻边作平行四边形，连接若将绕点旋转一周，则线段的最小值是______．
    
     

三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 解方程组和不等式组：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
21. 某区为了解八年级学生视力健康状况，在全区随机抽查了部分八年级学生年末的视力数据，并根据调查结果绘制成如下统计图．
    青少年视力健康标准

本次调查的样本容量是______；
补全条形统计图；
已知该区年末有八年级学生人，请估计该区八年级学生年末视力不良的人数．

22. 在张相同的小纸条上，分别写上条件：四边形是平行四边形；四边形的对角线相等；四边形的对角线互相垂直．将这张小纸条做成支签，放在一个不透明的盒子中．
    搅匀后从中任意抽出支签，抽到条件的概率是______；
    搅匀后先从中任意抽出支签不放回，再从余下的支签中任意抽出支签．四边形同时满足抽到的张小纸条上的条件，求四边形一定是菱形的概率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，是的边上一点，，交于点，．
    求证：；
    若，，求的长．
     

24. 星期天，小明与妈妈到离家的常州恐龙园游玩．小明从家骑自行车先走，后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往恐龙园，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的倍，求妈妈开车的平均速度．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，且，点在轴的正半轴上，且，连接．
    求、的值；
    求的面积．
     

26. 如图，正方形的边长是，点是边上一个动点，连接，将沿直线翻折得到．
    如图，若点落在对角线上，则线段与的数量关系是______；
    若点落在线段的垂直平分线上，在图中用直尺和圆规作出不写作法，保留作图痕迹连接，则______；
    如图，连接，，若，求的长．

27. 在平面内，为线段外的一点，若以，，为顶点的三角形是直角三角形，则称为线段的直角点．特别地，当该三角形是以为斜边的等腰直角三角形时，则称为线段的等腰直角点．
    如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在点，，中，线段的直角点是______；
    在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，直线：．
    如图，是直线上一个动点，若是线段的直角点，求点的坐标；
    是直线上一个动点，将所有线段的等腰直角点称为直线关于点的伴随点．若半径为的上恰有个点是直线关于点的伴随点，直接写出的值．

28. 如图，二次函数的图象经过点，交轴于点，点在点的左侧，与轴交于点．
    填空：______；
    点是第一象限内抛物线上一点，直线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，若，求点的坐标；
    在轴的正半轴上找一点，过点作的垂线交轴于，若与相似，求的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的倒数，
故选：．
求一个数的倒数就是把这个数的分子分母交换位置即可，互为倒数的两个数的乘积为．
本题考查实数的性质，做此类型的题目关键在于对实数相关概念如倒数等的理解．
 

2.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
利用幂的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，解答的关键是熟记幂的乘方的法则并灵活运用．
 

3.【答案】
 

【解析】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个矩形，且三个矩形大小不一，
故该几何体是长方体．
故选：．
该几何体的主视图与左视图、俯视图均为矩形，易得出该几何体的形状．
本题主要考查的是由三视图判断几何体，涉及三视图的相关知识，解题时要有丰富的空间想象力．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、是中心对称图形，故选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义即可作出判断．
本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后可以和原图形重合．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，，
．
故选：．
找到图中的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可直接得出的度数．
本题考查了圆周角定理，找到图中的圆心角和圆周角是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：设袋子中红球有个，
根据题意，得：，
解得，
袋子中红球的个数最有可能是个，
故选：．
设袋子中红球有个，根据摸出红球的频率稳定在左右列出关于的方程，求出的值，从而得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

7.【答案】
 

【解析】解：、将函数的图象向下平移两个单位，不变，开口方向不变，故不符合题意．
B、将函数的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．
C、将函数的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则随的变化情况不变，故不符合题意．
D、将函数的图象向下平移两个单位，与轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．
故选：．
抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，不变，抛物线的增减性不变．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．
 

8.【答案】
 

【解析】解：过作于，交轴于，
，，
，
，
轴，是的中点，
，
的横坐标为，的横坐标为，
，
的横坐标为，
设点的坐标为，则，
反比例函数的图象经过点，交于点．
，
解得：，
，
故选：．
过作于交轴于，则轴，根据勾股定理得到，设点的坐标为，则，即可得到，解方程求得的值，进而求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：
．
故填．
直接利用立方根的定义即可求解．
本题主要考查立方根的概念，如果一个数的立方等于，那么是的立方根．
 

10.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
先去括号，再合并同类项即可．
本题主要考查整式的加减，解答的关键是去括号时注意符号的变化．
 

11.【答案】
 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接运用平方差公式进行解答即可．
此题考查的是因式分解，准确掌握平方差公式是解决此题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
根据把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，进行求解即可出得出答案．
本题主要考查了科学记数法，熟练应用科学记数法进行求解是解决本题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：如图所示：

由图可知，从出发，沿数轴向右移动个单位长度到达点，则点表示的数是．
故答案为；．
根据题意画出数轴，利用数形结合即可得出结论．
本题考查的是数轴的特点，能借助于数轴，利用“数形结合”的特点进行解答是解答此题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：的相反数为，
所求点的横坐标为，纵坐标为，
故答案为，
故答案为．
让纵坐标不变，横坐标互为相反数可得所求点的坐标．
考查关于轴对称的点特点；用到的知识点为：两点关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
根据平行线的性质和三角形外角性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，，
∽，
，
与四边形的面积比是，
故答案为：．
通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：，，
，
设，，
，
，，
∽，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而设，，然后证明∽，从而利用相似三角形的性质可得，，，进而在中，利用勾股定理求出的长，最后利用锐角三角函数的定义求出，即可解答．
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：当，，共线时，最小，如图所示，

，，
，
又，
，
，
，
，
当有最小值时，最小，即当在上时，此时，，共线，
，
，

，
．
故答案为：．
证明当，，共线时，为等腰直角三角形，可得，当有最小值时，最小，由此可得便可．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，寻找最小时的图形的位置是解题的难点．
 

19.【答案】解：原式
．
 

【解析】先算算术平方根，零指数幂、负整指数幂及乘方运算，再算加减即可．
本题考查实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根，零指数幂、负整指数幂及乘方运算等知识．
 

20.【答案】解：，
，得：，
，
将代入，得：，
，
则方程组的解为；
由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为．
 

【解析】利用加减消元法求解即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】
 

【解析】解：人，
本次调查中，一共抽查了名学生，
本次调查的样本容量是．
故答案为：；
类的人数为：．
类的人数为：，
如图所示，


人．
答：估计该区八年级学生年末视力不良的人数有人．
用类的人数除以类的百分比，即可求出调查总人数；
计算出类、类的人数，即可补全统计图；
根据样本估计总体即可解答．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

22.【答案】
 

【解析】解：搅匀后从中任意抽出支签，抽到条件的概率是，
故答案为：；

画树状图如图：

共有种等可能的结果，四边形一定是菱形的结果有种，
四边形一定是菱形的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，四边形一定是菱形的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】证明：，
，
在和中，

≌，
；
解：由可知，≌，
，
，
即的长为．
 

【解析】证明≌，即可得出结论；
由全等三角形的性质得，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，证明≌是解题的关键．
 

24.【答案】解：设小明骑自行车的平均速度为千米小时，则妈妈开车的平均速度为千米小时，
由题意可得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
，
答：妈妈开车的平均速度为千米小时．
 

【解析】设小明骑自行车的平均速度为千米小时，则妈妈开车的平均速度为千米小时，由两人同时到达恐龙园，列出方程，即可求解．
本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
 

25.【答案】解：将点代入一次函数，
得，
解得，
，
，
过点作轴于点，如图所示：

则，
，，
≌，
，，
，
将点坐标代入反比例函数解析式，
得．
，
，
，
．
 

【解析】将点坐标代入一次函数解析式，求出的值，再证≌，易得，，求出点坐标，即可求出的值；
根据，求出，再求的面积即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，构造全等三角形，根据全等三角形的性质求出点坐标是解决本题的关键．
 

26.【答案】 
 

【解析】解：，理由如下：
在正方形中，，，
由折叠的性质可得：，，
，
为等腰直角三角形，
即，
由勾股定理可得：，
即；
作图如下：

则为即为所求，
由题意可得：垂直平分，垂直平分，点在上，
则，
由折叠的性质可得，
为等边三角形，
，为等腰三角形，
，
，
故答案为：；
取的中点，连接，，如图，

，
，
，，
≌，
，
，
点，，共线，
设，则，
在中，，
，
解得，
即的长为．
由折叠的性质可知为等腰直角三角形，从而得出答案；
由垂直平分线的性质可知，则为等边三角形，得，再利用三角形内角和可得答案；
取的中点，连接，，利用证明≌，得，可知点，，共线，设，则，利用勾股定理列方程可得答案．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，翻折的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明点，，共线是解题的关键．
 

27.【答案】，
 

【解析】解：点的坐标是，点，点，，，
，，，，，，，
，，，
，是直角三角形，不是直角三角形，
线段的直角点是，，
故答案为：，；
分三种情况讨论：
如图，当时，则轴，

点，轴，
的纵坐标为，
把代入得：，
解得：，
，
如图，当时，过点作于点，

设坐标为，则，
，，，
，
，
∽，
，即，
整理为：，
解得：，，
坐标为或，
如图，当时，则轴，

点，轴，
的纵坐标为，
把代入得：，
解得：，
，
综上所述，点的坐标为或或或；
如图，以为对角线，作正方形，过作轴，作于点，于点，过作轴，作于点，于点，

设，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
设，则，，
，，
解得：，，
，即在直线上运动，如图所示，
同理，即在直线上运动，如图所示，
与的交点坐标为，
当圆与相切时，上恰有个点是直线关于点的伴随点，此时，
当圆过与的交点时，上恰有个点是直线关于点的伴随点，此时，
上恰有个点是直线关于点的伴随点时，的值为或．
根据勾股定理的逆定理，判断，，的形状即可；
分，，，三种情况进行讨论，即可求出点的坐标；
以为对角线，作正方形，过作轴，作于点，于点，过作轴，作于点，于点，设，证明≌，得出，，设，则，，则，，求出，，可知，即在直线上运动，同理，即在直线上运动，根据，上恰有个点是直线关于点的伴随点，可知圆与相切，圆过与的交点，两种情况符合题意，进而可求半径的大小．
本题考查了圆的综合应用，理解新定义，掌握勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平面内点的坐标特征，分类讨论的数学思想是解决问题的关键．
 

28.【答案】
 

【解析】解：将点代入，
，
，
故答案为：；
令，则，
解得或，
，，
，
令时，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
过点作轴于，
，，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
联立方程组，
解得或，
点坐标为或；
过点作轴，垂足为，分三种情形；
如图，若∽，则，
延长交轴于点，
，
，
≌，
；
如图，若∽，则，
，
，
设，则，
∽，
，
，
解得，
；
如图，若∽，则，
设交轴于点，则，
，
，
≌，
，
设，则，
∽，
，
，
解得或，
；
综上所述：的长是或或．
将点代入，即可求解；
先证明，过点作轴于，可求，再由待定系数法求直线的解析式为，联立方程组，即可求点坐标；
过点作轴，垂足为，分三种情形；若∽，则，延长交轴于点，则≌，求得；若∽，则，设，则，由，求得；若∽，则，设交轴于点，则，可得≌，设，则，由，求得．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，分类讨论是解题的关键．