2022-2023学年河南省洛阳第二外国语学校八年级（下）第二次学情检测数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省洛阳第二外国语学校八年级（下）第二次学情检测数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

2.  “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示的几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，，的顶点在直线上，，交直线于点，点在直线上，，若点恰好为的中点，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是(    )

A. 测量两条对角线是否相等
B. 度量两个角是否是
C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D. 测量两组对边是否分别相等

7.  关于的一元二次方程，下列说法正确的是(    )

A. 当时，此方程有两个相等的实数根
B. 当时，此方程有两个不相等的实数根
C. 当时，此方程没有实数根
D. 此方程的根的情况与的值无关

8.  如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若，，，为上一动点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  放射性同位素的半衰期是指一个样本内，其放射性原子衰变至原来数量的一半所需的时间镭元素符号中最稳定的同位素镭变为氡的半衰期最长，的镭衰变规律的函数图象如图所示，则下列判断错误的是(    )

A. 该图象不是反比例函数图象
B. 镭的半衰期质量减半的时间是年
C. 镭缩减为所用时间约为年
D. 的镭经过若干年的衰变能变成

10.  如图所示，边长为的等边是三棱镜的一个横截面．一束光线沿着与边垂直的方向射入到边上的点处点与，不重合，反射光线沿的向射出去，与垂直，且入射光线和反射光线使设的长为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  代数式有意义，则的取值范围是        ．

12.  不等式组的解集是______ ．

13.  “双减”政策后，各校积极探索“课内提质增效，课后丰富多彩”的有效策略，某校的课后服务活动设置了四大板块课程：体育活动；劳动技能；经典阅读；科普活动．若小明和小亮两人随机选择一个板块课程，则两人所选的板块课程恰好相同的概率是______．

14.  如图，矩形的对角线、相交于点，分别以点、为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、若，，则图中阴影部分的面积为______结果保留

15.  如图，在中，，，，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，与关于所在的直线对称，连接，当点恰好在直角直角边的垂直平分线上时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：．

17.  本小题分
血橙的营养价值高，维生素含量丰富，深受大家喜爱某商场准备在、两个血橙种植基地中选择一个进行合作，为了解这两个种植基地血橙的产量和产量的稳定性，从、两个种植基地的果树株树都是株，各随机抽取株血橙果树进行调查每株果树所结的血橙个数用表示，共分为三个等级：不合格，良好，优秀，下面给出了部分信息：
基地株果树所结血橙个数分别为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
基地株果树所结血橙个数处于“良好”等级包含的所有数据为：
，，，，，，，，，
抽取的、两个基地每株果树所结血橙个数的统计表

抽取的基地每株果树所结血橙个数扇形统计图：







填空：        ，        ，        ．
请估计两个基地属于“优秀”等级的果树共有多少株；
根据以上数据，你认为该商场应选择与哪个基地进行合作？请说明理由写出一条理由即可．

18.  本小题分
如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点．
求的值及点的坐标；
请直接写出不等式的解集；
已知轴，以、为边作菱形，求菱形的面积．

19.  本小题分
随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比：，，，的长为米，的长为米按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？

20.  本小题分
如图，是的直径，点在上，是的切线，，的延长线与交于点．
求证：；
若，，求的长．

21.  本小题分
某公司生产的一种营养品信息如表已知甲食材每千克的进价是乙食材的倍，用元购买的甲食材比用元购买的乙食材多千克．

问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
该公司每日用元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
已知每日其他费用为元，且生产的营养品当日全部售出若的数量不低于的数量，则为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？

22.  本小题分
如图，在斜坡底部点处安装一个自动喷水装置，喷水头视为点的高度喷水头距喷水装置底部的距离是米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为米时，达到最大高度米以点为原点，自动喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．

求抛物线的函数关系式；
斜坡上距离水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面，且点到水平地面的距离为米，绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点，求自动喷水装置向左水平平移即抛物线向左了多少米？

23.  本小题分
“矩形的折叠”活动课上引导学生对矩形纸片进行折叠．
如图，将矩形纸片折叠，点与点重合，点与点重合，将纸片展开，折痕为，在边上找一点，沿将折叠，得到，点的对应点为点．
问题提出：
若点落在上，，连接．
是______ 三角形；
若是等边三角形，则的长为______ ．
深入探究：
在的条件下，当时，判断的形状并证明；
拓展延伸；
若，，其他条件不变，当点落在矩形内部包括边时，连接，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的相反数是．
故选：．
先去绝对值符号，再根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是绝对值及相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
解：．
故选：．
 

3.【答案】 

【解析】解：该几何体的左视图如图所示：
．
故选：．
根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，掌握从左面看得到的图形是左视图是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误；
故选：．
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
 

5.【答案】 

【解析】解：，点恰好为的中点，
，
，
，
故选：．
先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、度量两个角是否是，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；
C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项C符合题意；
D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，

，
A.当时，，
此方程有两个不相等的实数根，故A说法错误，不合题意；
B.当时，，
此方程有两个不相等的实数根，故B说法正确，符合题意；
C.当时，的符号不能确定，
此方程的根情况不能确定，故C说法错误，不合题意；
D.此方程的根的情况与的值有关，故D说法错误，不合题意；
故选：．
先计算根的判别式，再判断判别式与的关系，最后得结论．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点．

，，，，
由作图过程可知：平分，，，
，
设，则有，
，
，
为上一动点，
则的最小值为，
故选：．
过点作于点证明，利用面积法求出即可．
本题考查了作图基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象知，图象过点，该图象不是反比例函数图象，故A不符合题意；
每过年镭质量减少一半，故B不符合题意；
的镭缩减为需要四次衰变，年，故C不符合题意；
的镭经过年的衰变质量为，故D符合题意．
故选：．
根据函数的图象得到图象过点，于是得到该图象不是反比例函数图象，根据每过年镭的质量减少一半，于是得到故B不符合题意；由于的镭缩减为需要四次衰变得到故C不符合题意；的镭经过年的衰变质量为，于是得到结论．
本题考查了反比例函数的应用，正确地识别图象是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：是边长为的等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，．
，与垂直，
，
，
，，


．
函数图象为开口向上的抛物线．
故选：．
先根据是边长为的等边三角形及，分别用表示出、；再证明，进而用含的式子表示出和，则可得出关于的函数关系式，观察图象即可得出答案．
本题考查了动点问题的函数图象，用含的式子分别表示出的边长从而得出关于的函数解析式是解题的关键．
 

11.【答案】且 

【解析】解：有意义，
且，
且，
故答案为：且．
根据题意可得且，求出的取值范围即可．
本题考查二次根式的有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两人所选的板块课程恰好相同的有种结果，
所以两人所选的板块课程恰好相同的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两人所选的板块课程恰好相同的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，
在中，，，
，，
矩形的对角线、相交于点，
，
由题意可得阴影部分与阴影部分的面积相等，
，
故答案为：．
根据矩形的性质以及扇形面积的嗯就是方法进行计算即可．
本题考查矩形的性质，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及矩形的性质是正确解答的前提．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图，当在的垂直平分线上时，过点作于点，

则，，
，
在中，
，
当点落在边的垂直平分线上时，且点在线段上时，过点作于点，

则，，
在中，
，
，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
分点落在的垂直平分线和的垂直平分线两种情形，分别画出图形，利用勾股定理计算即可．
本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
 

16.【答案】解：

．
原式


． 

【解析】先根据算术平方根，负整数指数幂，绝对值的性质化简，再计算，即可求解；
先计算括号内的，再计算除法，然后化简，即可求解．
本题主要考查了分式的混合运算，负整数指数幂等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

17.【答案】解：基地株果树所结血橙个数处于“优秀”等级所占百分比为，
“优秀”等级个数为：个．
将基地株果树所结血橙个数处于“良好”等级包含的所有数据按从大到小的顺序排列为：
，，，，，，，，，，
中位数；
基地株果树所结血橙个数中，优秀的有个，
，
．
基地株果树所结血橙个数处于“良好”等级占，“优秀”等级所占百分比为，
“不合格”等级占，即．
故答案为：，，；
估计两个基地属于“优秀”等级的果树共有株；
该商场应选择与基地进行合作，理由如下：
在平均数都是的情况下，基地所结血橙个数的众数基地所结血橙个数的众数理由不唯一． 

【解析】解：基地株果树所结血橙个数处于“优秀”等级所占百分比为，
“优秀”等级个数为：个．
将基地株果树所结血橙个数处于“良好”等级包含的所有数据按从大到小的顺序排列为：
，，，，，，，，，，
中位数；
基地株果树所结血橙个数中，优秀的有个，
，
．
基地株果树所结血橙个数处于“良好”等级占，“优秀”等级所占百分比为，
“不合格”等级占，即．
故答案为：，，；
见答案．
根据中位数、优秀率的概念可求出、的值，求出基地株果树所结血橙个数处于“良好”等级占，“优秀”等级所占百分比为，可求出的值；
先求出两个基地属于“优秀”等级的果树，再相加即可得答案；
比较、两个基地每株果树所结血橙个数的平均数、众数或中位数或方差或优秀率可得答案．
本题考查了频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

18.【答案】解：反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，
，，
，，
反比例函数图象是中心对称图形，
点与关于原点对称，
，
由图象知，不等式的解集为或；
如图，作于，

，，
，，
由勾股定理得，，
四边形是菱形，
，
菱形的面积为． 

【解析】将点分别代入正比例函数和反比例函数，可得和的值，再利用反比例函数图象是中心对称图形可得点的坐标；
根据图象直接可得答案；
作于，则得出和的长，再利用勾股定理求得的长，从而得出答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象的性质，函数与不等式的关系，菱形的性质，坐标与图形的性质等知识，利用数形结合思想是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图：

延长交于，
：，
，
，
，
，
，
，
过点作于，
，
，
，
米．
答：点到的距离的值为米． 

【解析】延长交于，根据坡度和坡角可得，，过点作于，根据锐角三角函数即可求出的长．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
 

20.【答案】证明：连接，如图，
是的切线，
，
，

，
，
，
，
，
；
解：连接，如图，
是的直径，
，
，

，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
． 

【解析】连接，如图，利用切线的性质得到，再证明得到，根据圆周角定理得到，从而得到结论；
连接，如图，根据圆周角定理得到，再证明，接着在中利用正切的定义求出，然后在中利用正切的定义计算出，于是计算得到的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
 

21.【答案】解：设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，
由题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
元，
答：甲食材每千克进价为元，乙食材每千克进价为元；
设每日购进甲食材千克，乙食材千克，
由题意得，解得，
答：每日购进甲食材千克，乙食材千克；
设为包，则为包，
的数量不低于的数量，
，
，
设总利润为元，根据题意得：
，
，
随的增大而减小，
当时，的最大值为，
答：当为包时，总利润最大，最大总利润为元． 

【解析】设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，根据“用元购买的甲食材比用元购买的乙食材多千克”列分式方程解答即可；
设每日购进甲食材千克，乙食材千克，根据的结论以及“每日用元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完”列方程组解答即可；
设为包，则为包，根据“的数量不低于的数量”求出的取值范围；设总利润为元，根据题意求出与的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．
 

22.【答案】解：由题可知：当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米，
则可设水流形成的抛物线为，
将点代入可得，
抛物线，
设喷射架向左水平平移了米，
则平移后的抛物线可表示为，
将点代入得：，
解得或舍去，
喷射架应向左水平移动米． 

【解析】题目中告知了抛物线的顶点，可以设抛物线的顶点式，又抛物线经过点即可求解顶点式中的，从而求解；
设抛物线向后平移了米，用中的顶点式，表示出新的抛物线解析式，将点坐标代入解析式中，求解即可．
本题考查了二次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法及二次函数性质是解题的关键．
 

23.【答案】等腰   

【解析】解：如图，将矩形纸片沿折叠，点与点重合，
垂直平分，
，
是等腰三角形，
故答案为：等腰．
由折叠得，
若是等边三角形，则，
四边形是矩形，
，
故答案为：．
是等腰直角三角形，
证明：如图，由得，
，
，

，
是直角三角形，
，
是等腰直角三角形．
如图，连接，以点为圆心，长为半径作圆交于点，交于点，
，，，
，
，
点在上运动，
连接、、，则，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
当点落在矩形内部包括边时，则，，，
，
，
的取值范围是．
由折叠可知垂直平分，则，所以是等腰三角形，于是得到问题的答案；
当是等边三角形时，则，于是得到问题的答案；
因为，所以，而，则，所以，则是等腰直角三角形；
连接，以点为圆心，长为半径作圆交于点，交于点，则点在上运动，可求得，，，由，，，得，即可求得的取值范围是．
本题属于四边形综合题，考查矩形的性质、轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质、勾股定理及其逆定理的应用、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．