2022-2023学年河南省洛阳市偃师市中成外国语学校九年级（下）第二次月考数学试卷（2）（含解析）

2022-2023学年河南省洛阳市偃师市中成外国语学校九年级（下）第二次月考数学试卷（2）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如果是的相反数，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的表面上，与“切”相对的面上的汉字是(    )

A. 态 B. 度 C. 决 D. 定

3.  如图，直线，，交直线于点，，则的度数(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列计算中，结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，，分别是的边，的中点，与交于点，则：的值为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  若，则二次三项式一定(    )

A. 能分解成两个不同的一次二项式的积 B. 不能分解成两个一次二项式的积
C. 能分解成两个相同的一次二项式的积 D. 不能确定能否分解成两个一次二项式的积

7.  在知识竞赛中，成绩分为，，，四个等级，相应等级的得分依次记为分，分，分，分．将九年级二班参赛选手的成绩整理并绘制成如下的统计图，九年级二班参赛选手成绩的众数和中位数分别是(    )

A. 和
B. 和
C. 和
D. 和

8.  随着高铁的发展，预计年济南西客站客流量特达到万人，数字万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，已知正六边形的边长为，，分别是和的中点，是上的动点，连接，，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：
快车途中停留了；
快车速度比慢车速度多；
图中；
快车先到达目的地．
其中正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  写出一个随增大而增大的一次函数的解析式：______．

12.  不等式组的解集是______．

13.  在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的个红球和个白球，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是______．

14.  如图，扇形中，，点，分别为，的中点，连接，，将绕点逆时针旋转如图，若，则图中弧，线段，构成的阴影部分的面积为______．
 

15.  如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当时，的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解方程组：．

17.  本小题分
年月日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，并对成绩百分制进行整理，信息如下：
成绩频数分布表：

成绩在这一组的是单位：分：
                                 
根据以上信息，回答下列问题：
在这次测试中，成绩的中位数是______分，成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为______．
这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．

18.  本小题分
如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接、已知与的面积满足：：．
求；
已知点在线段上，当时，求点的坐标．

19.  本小题分
某兴趣小组为了测量大楼的高度，先沿着斜坡走了米到达坡顶点处，然后在点处测得大楼顶点的仰角为，已知斜坡的坡度为：，点到大楼的距离为米，求大楼的高度参考数据：，，

20.  本小题分
随着人们生活水平提升，我市市民对花卉需求量也在增加．新春佳节临近，购买自己喜爱的鲜花装饰家庭成为青岛市民必备的时尚年货．市民走进花卉市场，寻找春景春色，赏花买花，体验浓浓年味．春节前夕，某花卉市场店铺老板用元按批发价购买了一批花卉．若将批发价降低，则可以多购买该花卉盆．据市场调查反映，该花卉每盆售价元时，每天可卖出盆；若调整价格，每盆花卉每涨价元，每天要少卖出盆．
该花卉每盆批发价是多少元？
店铺老板决定在每盆售价元的基础上，每盆花卉涨价不超过元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？
该店铺开展快递托运送货到家活动，但每盆花卉店铺还需增加元的快递成本，若每盆花卉售价不低于元时，每天的利润将随着售价的增长不断降低，请直接写出快递成本最多是多少元？

21.  本小题分
跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线解析式为．
求绳子所对应的抛物线解析式不要求写自变量的取值范围；
身高的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
身高的小军，站在绳子的下方，设他距离甲拿绳子的手，为确保绳子能通过他的头顶，请求出的取值范围．

22.  本小题分
如图，在中，为直径，弦与交于点，．
Ⅰ如图，若，求的度数；
Ⅱ如图，过点作的切线与的延长线交于点，若，求的度数．
 

23.  本小题分
综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师向大家展示了一个图形变换的问题如图将正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接试判断的形状．

独立思考：
请解答问题情境提出的问题，并写出证明过程．
实践探究：
如图将图中的绕点旋转，使它的两边分别交边，于点，，连接请猜想线段，，之间的数量关系，并加以证明．
问题解决：
如图连接正方形对角线，若图中的的边，分别交对角线于点，，将图中的正方形纸片沿对角线剪开，如图所示若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是的相反数，那么的值是，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，
其中面“态”与面“一”相对，
面“度”与面“定”相对，
面“决”与面“切”相对．
故选：．
利用正方体及其表面展开图的特点解题．
本题考查生活中的立体图形与平面图形，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
故选：．
先根据平行线的性质求出的度数，再由垂线的定义求出的度数即可求出的度数．
本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，本选项错误；
B、，本选项错误；
C、，本选项正确；
D、原式，本选项错误．
故选：．
A、原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式合并同类项得到结果，即可作出判断；
D、原式化为最简二次根式，合并得到结果，即可作出判断．
本题考查了同底数幂的除法、合并同类项及二次根式的加减运算，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，分别是的边，的中点，与交于点，
是的重心，
：：，
：：．
故选：．
根据重心定义得出是的重心，根据重心的性质得出：：，根据等高的两个三角形面积之比等于底边之比即可求解．
本题考查了三角形重心的定义与性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点．掌握重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
方程有两个不相等的实数根，
能分解成两个不同的一次二项式的积．
故选：．
根据，可得，所以方程有两个不相等的实数根，即可得出结论．
本题考查了因式分解十字相乘法，利用十字相乘法分解因式是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
九年级二班参赛选手成绩的众数和中位数分别是和．
故选：．
利用扇形统计图、众数、中位数的定义即可求解．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数和统计图．
 

8.【答案】 

【解析】解：数字万用科学记数法表示为，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

9.【答案】 

【解析】解：利用正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，那么有，最小．
又易知为等腰三角形，，
则作于点，
，，
，，
在中，，
，
，从而，
故A的最小值为．
故选D．
易知点关于的对称点为点，连接交于点，那么有，最小．又易知为等腰三角形，，则作于点，易求得，从而．
此题主要考查了正多边形的以性质及轴对称最短路线问题，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，两车的速度和为：，
慢车的速度为：，则快车的速度为，
所以快车速度比慢车速度多；故结论正确；
，
故相遇后慢车停留了，快车停留了，此时两车距离为，故结论错误；
，
所以图中，故结论正确；
快车到达终点的时间为小时，
慢车到达终点的时间为小时，
因为，
所以慢车先到达目的地，故结论错误．
所以正确的是．
故选：．
根据题意可知两车出发小时后相遇，据此可知他们的速度和为，相遇后慢车停留了，快车停留了，此时两车距离为，据此可得慢车的速度为，进而得出快车的速度为，根据“路程和速度和时间”即可求出的值，从而判断出谁先到达目的地．
本题考查了一次函数的应用，行程问题中数量关系的运用，函数图象的意义的运用，解答时读懂函数图象，从图象中获取有用信息是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
此题比较简单，考查的是一次函数的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
根据一次函数的性质，只要使一次项系数大于即可．
【解答】
解：例如：，或等，答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．  

12.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，两次都摸到红球的有种情况，
两次都摸到红球的概率是，
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，作于点，
，，
，


．

作于点，利用求即可．
本题考查了扇形的面积计算和三角形的面积公式，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图：

，，
，
点为的中点，
，，
，
点、、在同一条直线上，
由旋转得：
，
分两种情况：
当点在上，
在中，，
，
当点在的延长线上，
在中，，
，
综上所述：当时，的长为或，
故答案为：或．
分两种情况：当点在上，当点在的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
；
，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为：． 

【解析】原式利用乘方的意义，二次根式性质，立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
方程组利用加减消元法求出解即可．
本题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则及方程组的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】；  ；
不正确，
因为甲的成绩分低于中位数分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；
测试成绩不低于分的人数占测试人数的，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好答案不唯一，合理均可． 

【解析】解：这次测试成绩的中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据分别为，，
分，
所以这组数据的中位数是分，
成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为，
故答案为：，；
不正确，
因为甲的成绩分低于中位数分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；
测试成绩不低于分的人数占测试人数的，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好答案不唯一，合理均可．
根据中位数的定义求解即可，用不低于分的人数除以被测试人数即可；
根据中位数的意义求解即可；
答案不唯一，合理均可．
本题考查了中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：由一次函数得，点的坐标为，
点的坐标是，
，
：：，
，
点是反比例函数图象上的点，
，
解得，；
由知，反比例函数解析式是，
，
解得，．
点的坐标为，将其代入，得到．
解得，，
直线的解析式是：，
令，则，
，
，
，
由知，．
设，则，，
，
，即，
，
整理得，，
解方程组，得或，
点在第一象限，
． 

【解析】根据一次函数解析式求得点的坐标，得到的长度，结合点的坐标和三角形面积求出的面积，进而求出的面积，由反比例函数系数的几何意义求得的值；
利用待定系数法确定直线函数关系式，求出点的坐标，根据正切的定义列出求出、的关系，解方程组得到答案．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义、解直角三角形的应用，要灵活掌握待定系数法确定函数关系式，函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，三角形的面积公式．
 

19.【答案】解：如图，过点作于点，于点，


，
四边形是矩形，
，，
在中，：：：，
设，，
根据勾股定理，得
，
，
解得，
，
，
，
在中，，
米．
答：大楼的高度约为米． 

【解析】如图，过点作于点，于点，可得四边形是矩形，根据斜坡的坡度为：，利用勾股定理可得的值，再根据锐角三角函数即可求大楼的高度．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
 

20.【答案】解：设批发价是元，由题意可得：
，
解得，
经检验，是原方程解，
答：花卉每盆批发价元；
设涨价元，利润元，
，
对称轴是，且开口向下，

当时，有最大值，是元；
，
，
，
利润随售价增长而降低，
对称轴，
，
快递成本最多是元． 

【解析】设批发价是元，根据若将批发价降低，则可以多购买该花卉盆列方程求解即可；
设涨价元，利润元根据总利润单盆利润数量列函数关系式求解即可；
根据总利润单盆利润数量列函数关系式．
本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：根据题意，抛物线经过点，．

解得
绳子所对应的抛物线解析式为：．
身高的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
理由如下：
，当时，
最大值．
绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
当时，，
即，
解得．
，．
． 

【解析】把，代入抛物线，得到二元一次方程组，解方程组即可；
由自变量的值求出函数值，再比较便可；
由时求出其自变量的值，便可确定的取值范围．
本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标和应用二次函数解析式解决实际问题．
 

22.【答案】解：Ⅰ如图，连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
；
Ⅱ如图，连接，
，
，，
是的直径，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
． 

【解析】Ⅰ如图，连接，根据圆周角定理和三角形外角的性质即可得结论；
Ⅱ如图，连接，根据圆周角定理得到，，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：四边形是正方形，
，，，
有折叠的性质的，
；
在和中，
，
≌，
，
是等腰三角形；
结论：．
理由：如图中，延长到，使得．

，，，
≌，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
；

证明：如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接．

，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，，
，
，
． 

【解析】利用翻折变换的性质可得，证明≌，推出，，可得结论．
结论：如图中，延长到，使得证明≌，可得结论．
如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接证明≌，推出，，可得结论．
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．