备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第四章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第四章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理，共18页。试卷主要包含了三角形常用面积公式，三角形内角平分线性质定理等内容，欢迎下载使用。

第6节　正弦定理和余弦定理
考试要求　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.


1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin A a≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).

1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>
sin B⇔cos A 4.三角形内角平分线性质定理：如图，在△ABC中，若AD平分∠BAC，则＝.


1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，A为锐角，但B或C可能为钝角，故△ABC不一定为锐角三角形.
2.在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则cos B＝(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由余弦定理知cos B＝＝＝.
3.已知在△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　)
A.2 B.1 C. D.
答案　D
解析　由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝.
4.(易错题)在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4.则此三角形(　　)
A.有两解 B.有一解
C.无解 D.有无穷多解
答案　B
解析　由正弦定理得sin B＝＝＝，所以B＝45°或135°.又b＜a，所以B＜A，故B＝45°，所以三角形有一解.
5.(易错题)在△ABC中，角A，B，C满足sin Acos C－sin Bcos C＝0，则三角形的形状为　　　　.
答案　直角三角形或等腰三角形
解析　由已知得cos C(sin A－sin B)＝0，所以cos C＝0或sin A＝sin B，解得C＝90°或A＝B，所以△ABC是直角三角形或等腰三角形.
6.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝　　　　.
答案　2
解析　由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，
所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，
所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，则b＝2.

考点一　利用正、余弦定理解三角形
例1 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B等于(　　)
A.30° B.45°
C.30°或150° D.45°或135°
(2)(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　)
A.1 B. C. D.3
(3)(2022·珠海模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos Bcos C(tan B＋tan C)＝cos Btan B＋cos Ctan C，则cos A的最小值是　　　　Ｗ.
答案　(1)D　(2)D　(3)
解析　(1)根据正弦定理＝，得
sin B＝＝＝.
由于b＝＞1＝a，所以B＝45°或B＝135°.
(2)法一　由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).
法二　由正弦定理＝，得sin C＝＝，从而cos C＝(C是锐角)，
所以sin A ＝sin [π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×－×＝.
又＝，所以BC＝＝3.
(3)2cos Bcos C(tan B＋tan C)
＝2cos Bcos C
＝2sin Bcos C＋2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＝2sin A，
又cos Btan B＋cos Ctan C＝sin B＋sin C，
所以sin B＋sin C＝2sin A，
由正弦定理得b＋c＝2a，
由余弦定理，得cos A＝＝＝－≥－＝，
当且仅当b＝c＝a时取等号，故cos A的最小值为.
感悟提升　1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).
2.利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.
训练1 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有(　　)
A.一个 B.两个
C.一个或两个 D.0个
(2)(2021·浙江卷)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝　　　　，cos∠MAC＝　　　　.
答案　(1)B　(2)2　
解析　(1)由题意知，a＝80，b＝100，A＝45°，
由正弦定理，得＝，
所以sin B＝.
因为aA，故B有两解，即符合条件的三角形有两个.
(2)由题意知在△ABM中，AB＝2，∠B＝60°，AM＝2，
由余弦定理得AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos B，即12＝4＋BM2－4·BM·，
解得BM＝4或BM＝－2(舍).
∵M为BC的中点，
∴BM＝MC＝4，BC＝8，
在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，
∴AC2＝4＋64－2×2×8×＝52，
∴AC＝2.
在△AMC中，由余弦定理可得
cos ∠MAC＝
＝＝.
考点二　利用正、余弦定理判断三角形的形状
例2 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，且B＝，则△ABC的形状为(　　)
A.等边三角形
B.直角边不相等的直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝＝，则该三角形的形状是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)因为a，b，c依次成等差数列，
所以b＝.
由余弦定理可得cos B＝＝，
将b＝代入上式整理得(a－c)2＝0，
所以a＝c.
又B＝，所以△ABC为等边三角形.
(2)因为＝，
由正弦定理得＝，
所以sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B.
由＝，可得a≠b，所以A≠B.
又A，B∈(0，π)，
所以2A＝π－2B，即A＋B＝，
所以C＝，故△ABC是直角三角形.
感悟提升　1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
训练2 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为 (　　)
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为　　　　.
答案　(1)A　(2)直角三角形
解析　(1)由＜cos A，得＜cos A.
又B∈(0，π)，所以sin B＞0，
所以sin C＜sin Bcos A，
即sin(A＋B)＜sin Bcos A，
所以sin Acos B＜0.
因为在三角形中sin A＞0，所以cos B＜0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)由正弦定理得
sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，
∴sin A＝1，即A＝，
∴△ABC为直角三角形.
考点三　与三角形面积(周长)有关的问题
例3 (12分)(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.
[规范解答]
解　(1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①2分
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A.②
由①②得cos A＝－.4分
因为0 (2)由正弦定理及(1)得
＝＝＝2，8分
从而AC＝2sin B，
AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B.
故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B
＝3＋2sin.10分
又0 感悟提升　与三角形面积(周长)有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积(周长)；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

第一步　利用正弦、余弦定理，对条件式进行边角互化
第二步　由三角函数值及角的范围求角
第三步　由正弦、余弦定理及条件式实现三角恒等变换
第四步　利用角的范围和三角函数性质求出最值
第五步　检验易错易混，规范解题步骤得出结论
训练3 (1)在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝(　　)
A. B. C. D.2
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为　　　　.
(3)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A＝，a＝2，则△ABC面积的最大值为　　　　.
答案　(1)B　(2)6　(3)2＋
解析　(1)由A＝60°，
得到sin A＝，cos A＝.
又b＝1，S△ABC＝，
∴bcsin A＝×1×c×＝，解得c＝4，
根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－4＝13，解得a＝.
根据正弦定理得
＝＝＝＝，
则＝.
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得36＝4c2＋c2－2×2c2×，
解得c＝2，所以a＝4，
所以S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6.
(3)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得4＝b2＋c2－2bc×≥2bc－bc，
所以bc≤4(2＋)，
所以S△ABC＝bcsin A≤2＋(当且仅当b＝c时，取等号)，
故△ABC面积的最大值为2＋.
射影定理的应用
1.设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有：a＝bcos C＋ccos B；b＝ccos A＋acos C；c＝acos B＋bcos A.
注：以“a＝bcos C＋ccos B”为例，b，c在a上的射影分别为bcos C，ccos B，故名射影定理.
2.三角形射影定理是揭示三角形边角关系的重要定理之一，很多有关三角形边角关系的试题，若能灵活、恰当地应用三角形射影定理，往往比用正弦定理或余弦定理更加快速、简捷，可使问题化繁为简、化难为易，收到事半功倍的效果.
一、直接应用射影定理
例1 (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos C(acos B＋bcos A)＝c，B＝，则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝　　　　.
(3)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝　　　　.
答案　(1)A　(2)2　(3)
解析　(1)由射影定理得2cos C·c＝c，则cos C＝.∵C∈(0，π)，∴C＝，
∵B＝，则A＝，
故△ABC为直角三角形.
(2)由射影定理得a＝bcos C＋ccos B，
则a＝2b，于是＝2.
(3)由射影定理得acos C＋ccos A＝b，
又2bcos B＝acos C＋ccos A，则2bcos B＝b，即cos B＝.又B∈(0，π)，故B＝.
二、变形之后应用射影定理
例2 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是(　　)
A.a＝2b B.b＝2a C.A＝2B D.B＝2A
答案　A
解析　由正弦定理及sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，
得b＋2bcos C＝2acos C＋ccos A＝acos C＋(acos C＋ccos A)＝acos C＋b，
即2bcos C＝acos C，
又因为△ABC为锐角三角形，
所以cos C≠0，则2b＝a.


1.在△ABC中，a＝1，b＝3，c＝3，则cos B＝(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由余弦定理知cos B＝＝.
2.(2022·全国百校联考)已知在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程x2－3x＋2＝0的两个实数根，且△ABC的面积为，则C的大小是(　　)
A.45° B.60°
C.60°或120° D.45°或135°
答案　D
解析　根据题意，得ab＝2，则×2×sin C＝，解得sin C＝，则C＝45°或C＝135°.
3.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，所以AB＝3，所以cos B＝＝＝.
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c若tan A∶tan B＝a∶b，则△ABC的形状一定是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
答案　A
解析　因为tan A∶tan B＝a∶b，
所以btan A＝atan B.
根据正弦定理得＝.
因为0＜A＜π，0＜B＜π，
所以sin A≠0，sin B≠0，
所以cos A＝cos B，即A＝B，
故△ABC是等腰三角形.
5.在△ABC中，D为BC边上一点，DC＝2BD，AD＝，∠ADC＝45°.若AC＝AB，则BD等于(　　)
A.2＋ B.4
C.2＋ D.3＋
答案　C
解析　由题意，设BD＝x，x＞0，则DC＝2x.在△ADC中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos 45°，即AC2＝2＋4x2－2××2x×＝2＋4x2－4x.
同理，在△ADB中，由余弦定理可得AB2＝2＋x2＋2x.
又AC＝AB，所以2＋4x2－4x＝2(2＋x2＋2x)，即x2－4x－1＝0，解得x＝2＋，
所以BD＝2＋.
6.(2022·成都测试)在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为(　　)
A. B.2 C.3 D.4
答案　D
解析　在△ABC中，AB＝2，C＝，
则＝＝＝4，
则AC＋BC＝4sin B＋4sin A
＝4sin＋4sin A
＝2cos A＋6sin A
＝4sin(A＋θ)，
所以AC＋BC的最大值为4.
7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝2ac，则a＝　　　　.
答案　
解析　由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝2asin C，
则sin(A＋B)＝2asin C，即sin C＝2asin C.
因为在△ABC中，sin C≠0，所以a＝.
8.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，则＝　　　　.
答案　1
解析　由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，
设a＝4m，b＝5m，c＝6m(m>0)，
则由余弦定理知
cos A＝＝＝，
所以＝2××＝1.
9.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里，14里，15里，求三角形沙田的面积.则该沙田的面积为　　　　平方里.
答案　84
解析　由题意画出△ABC，且AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，在△ABC中，

由余弦定理得，
cos B＝＝＝，
所以sin B＝＝，则该沙田的面积S＝AB·BC·sin B＝×13×14×＝84(平方里).
10.(2021·潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，A＝，
(1)若B＝，求b；
(2)求△ABC面积的最大值.
解　(1)∵B＝，a＝2，A＝，
∴由正弦定理＝，
可得b＝＝＝2.
(2)∵a＝2，A＝，
∴由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A
＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
∴bc≤a2＝12，当且仅当b＝c取“＝”，
∴△ABC面积的最大值为
bcsin A＝×12×＝3.
11.(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
解　(1)因为2sin C＝3sin A，所以2c＝3a.
又因为c＝a＋2，所以2(a＋2)＝3a，
则a＝4，b＝a＋1＝5，c＝a＋2＝6，
所以cos C＝＝，
所以C为锐角，则sin C＝＝，
因此S△ABC＝absin C＝×4×5×
＝.
(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
故由余弦定理可得
cos C＝＝
＝<0，
又a>0，故解得0 又由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，故1 又a为正整数，故a＝2.

12.(2021·玉溪模拟)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是(　　)
A.或 B. C. D.
答案　A
解析　∵b2＋c2－bc＝a2，
∴cos A＝＝＝.
由0 ∴sin Bsin C＝sin2A＝，
∴sinsin C＝，即sin Ccos C＋(1－cos 2C)＝，解得tan 2C＝.
又0 ∴2C＝或，即C＝或.
13.(2022·太原调研)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆面积为16π，且cos2C－cos2B＝sin2A＋sin Asin C，则a＋c的最大值为　　　　.
答案　8
解析　由cos2C－cos2B＝sin2A＋sin Asin C，
得(1－sin2C)－(1－sin 2B)＝sin2A＋sin Asin C，
即sin2B－sin2C＝sin2A＋sin Asin C，
结合正弦定理，得b2－c2＝a2＋ac，
即a2＋c2－b2＝－ac，
所以由余弦定理，得
cos B＝＝－.
因为0 设△ABC的外接圆半径为R，则由条件得πR2＝16π，
解得R＝4，所以由正弦定理，
得＝＝2R＝8，
所以a＝8sin A，c＝8sin C，
所以a＋c＝8sin A＋8sin C
＝8sin A＋8sin
＝8sin A＋8
＝4sin A＋4cos A
＝8sin.
因为 即A＝时，a＋c取得最大值8.
14.(2020·新高考全国Ⅱ卷)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，　　　　？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解　方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b，
于是＝，由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b，
于是＝，
由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由②csin A＝3，解得c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b，
于是＝，由此可得b＝c.
由③c＝b，与b＝c矛盾.
因此，选条件③时问题中的三角形不存在.