统考版2024高考数学二轮专题复习专题一三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质理

这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习专题一三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质理，共13页。试卷主要包含了三角函数，同角关系，诱导公式等内容，欢迎下载使用。
1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝____，cs α＝____，tan α＝________．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．同角关系：____________＝1，＝________．
3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
例 1 (1)[2023·福建省福州第一中学模拟]已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－ eq \f(3,5)， eq \f(4,5))，则cs 2α－sin ( eq \f(π,2)－α)＝( )
A．－ eq \f(27,25) B．－ eq \f(8,25) C． eq \f(8,25) D． eq \f(27,25)
(2)[2023·四川省眉山市仁寿第一中学测试]已知α是直线x－2y＋3＝0的倾斜角，则 eq \f(\r(2)sin （α＋\f(π,4)）＋sin α,cs 2α)的值为( )
A． eq \f(4,3) B． eq \f(4\r(5),3) C． eq \f(4\r(5),15) D． eq \f(3\r(5),20)
(3)[2023·湖北省武汉市第二中学模拟] eq \f(3\r(1＋cs 36°),（4sin 218°＋cs 72°－2cs 236°－1）·sin 144°)＝( )
A．－3 eq \r(2) B．－6 C．3 eq \r(2) D．6
归纳总结
利用公式进行化简求值的策略
(1)利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：去负→脱周→化锐，特别注意函数名称和符号的确定．
(2)利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
提醒 使用三角函数诱导公式易错的地方有两个：一个是函数名称，一个是函数值的符号．
对点训练
1.[2023·河南新乡二模]已知点A是α的终边与单位圆的交点，若A的横坐标为－，则cs 2α＝( )
A．B．－
C． D．－
2．[2023·重庆市巴南区高三诊断]已知sin (x＋ eq \f(π,6))＝－ eq \f(1,3)，则cs ( eq \f(2π,3)－2x)＝( )
A．－ eq \f(7,9) B．－ eq \f(2,9) C． eq \f(2,9) D． eq \f(7,9)
3．[2023·贵州省凯里市第一中学模拟]已知sin α－2cs α＝0，则 eq \f(sin αcs 2α,\r(2)sin （α＋\f(π,4)）)＝( )
A．－ eq \f(2,5) B． eq \f(2,5) C．－ eq \f(6,5) D． eq \f(6,5)
考点二 三角函数的图象与解析式
——平移看“ω，φ”，伸缩看“A，ω”，由图定式找对应，性质、图象结合牢
三角函数图象的变换
先平移后伸缩
先伸缩后平移
例 2 (1)[2023·湖南省长沙市第一中学二模]设函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，00)中参数的值．
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.
(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．
提醒 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
对点训练
1.[2023·全国甲卷]函数y＝f(x)的图象由函数y＝cs (2x＋ eq \f(π,6))的图象向左平移 eq \f(π,6)个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝ eq \f(1,2)x－ eq \f(1,2)的交点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．[2023·福建省宁德市高三模拟]已知函数f(x)＝sin ωx cs ωx＋ eq \f(\r(3)cs 2ωx,2)(ω>0)图象的相邻的对称轴之间的距离为2，将函数f(x)的图象向右平移 eq \f(1,6)个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝sin (2πx＋ eq \f(π,6))
B．g(x)＝sin ( eq \f(πx,2)＋ eq \f(π,6))
C．g(x)＝sin ( eq \f(πx,4)＋ eq \f(π,6))
D．g(x)＝sin ( eq \f(πx,4)＋ eq \f(π,4))
考点三 三角函数的性质及应用——类比对应，寻找“源”头，整体代换
1．三角函数的单调区间
y＝sin x的单调递增区间是________________(k∈Z)，单调递减区间是________________(k∈Z)；
y＝cs x的单调递增区间是________________(k∈Z)，单调递减区间是________________(k∈Z)；
y＝tan x的单调递增区间是________________(k∈Z)．
2．三角函数的奇偶性与对称性
(1)y＝A sin (ωx＋φ)，当φ＝________(k∈Z)时为奇函数；当φ＝________(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得；
(2)y＝A cs (ωx＋φ)，当φ＝________(k∈Z)时为奇函数；当φ＝________(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得；
(3)y＝A tan (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．
角度1单调性为主
例 3 [2022·北京卷]已知函数f(x)＝cs2x－sin2x，则( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
归纳总结
判断三角函数单调性的方法技巧
(1)代换法：求形如y＝A sin(ωx＋φ)(或y＝A cs (ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，则y＝A sin z(或y＝A cs z)，然后由复合函数的单调性求得．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
(3)导数法：利用导数与单调性之间的关系．
角度2周期性、奇偶性、对称性为主
例 4[2023·云南省三校联考]已知函数f(x)＝2sin (2x＋φ)(|φ|< eq \f(π,2))的图象关于直线x＝－ eq \f(π,12)对称，将函数f(x)的图象向左平移 eq \f(π,3)个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(π,6)对称
B．g(x)是奇函数
C．g(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减
D．g(x)的图象关于点(－ eq \f(π,6)，0)对称
归纳总结
1．判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
2．求三角函数周期的常用结论
(1)y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cs (ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为；
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
对点训练
1.[2021·新高考Ⅰ卷]下列区间中，函数f(x)＝7sin 的单调递增区间是( )
A． B．
C． D．
2．[2023·甘肃省张掖市某重点校检测]
函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|< eq \f(π,2))的部分图象如图所示，将f(x)的图象向右平移 eq \f(π,8)个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,t)(t>1)，纵坐标不变，得到g(x)的图象，给出下列说法：
①ω·φ＝ eq \f(π,3)；
②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝ eq \f(7π,8)；
③f(x)在区间(－ eq \f(5π,8)， eq \f(π,3))上单调递增；
④若g(x)在区间[0，π]上恰有12个零点，则t的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(71,8)，\f(77,8))).
其中所有正确说法的序号为( )
A．① B．②④
C．①③ D．②③④
3.
[2023·江西师范大学附属中学三模]已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0