新高考数学一轮复习课时讲练 第9章 第6讲　双曲线 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习课时讲练 第9章 第6讲　双曲线 (含解析)，共22页。试卷主要包含了双曲线的定义，双曲线中一些常用的结论，已知F是双曲线C，已知l是双曲线C等内容，欢迎下载使用。
第6讲　双曲线

1．双曲线的定义
条 件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的
轨迹为
双曲线
F1、F2为双曲线的焦点
|F1F2|为双曲线的焦距
||MF1|－|MF2||＝2a
2a0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
[教材衍化]
1．(选修2­1P61A组T1改编)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，
所以2a＝＝b.
又a2＋b2＝c2，所以5a2＝c2.
所以e2＝＝5，所以e＝.
答案：
2．(选修2­1P62A组T6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
解析：设双曲线的方程为－＝±1(a＞0)，
把点A(3，－1)代入，得a2＝8(舍负)，
故所求方程为－＝1.
答案：－＝1
3．(选修2­1P61练习T3改编)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．
解析：设要求的双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由椭圆＋＝1，得焦点为(±1，0)，顶点为(±2，0)．所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
[易错纠偏]
(1)忽视双曲线的定义；
(2)忽视双曲线焦点的位置；
(3)忽视双曲线的渐近线与离心率的关系．
1．平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________．
解析：由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线－＝1的下支．
答案：双曲线－＝1的下支
2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________．
解析：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan ＝，b＝a，可得c＝2a，则e＝＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan ＝，a＝b，可得c＝a，则e＝.综上可得e＝2或e＝.
答案：2或
3．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．
解析：由条件知y＝－x过点(3，－4)，所以＝4，即3b＝4a，所以9b2＝16a2，所以9c2－9a2＝16a2，所以25a2＝9c2，所以e＝.
答案：


　　　　　　双曲线的定义
(1)(2020·宁波高三质检)设双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．10　　　　　　　　　 B．8
C．8 D．16
(2)(2020·温州八校联考)△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
【解析】　(1)依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝×8× ＝8.
(2)如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.
|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
【答案】　(1)C　(2)－＝1(x>3)

(变条件)若本例(1)中“|PF1|∶|PF2|＝3∶4”变为“PF1⊥PF2”，其他条件不变，如何求解．
解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则
解得mn＝16，所以S△PF1F2＝mn＝8.

双曲线定义的应用规律
类型
解读
求方程
由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线的定义，确定2a，2b或2c的值，从而求出a2，b2的值，写出双曲线方程
解焦点三角形
利用双曲线上点M与两焦点的距离的差||MF1|－|MF2||＝2a(其中2a0)．
由已知条件可得解得
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.

　　　　　　双曲线的几何性质(高频考点)
双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：
(1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长；
(2)求双曲线的渐近线方程；
(3)求双曲线的离心率(或范围)．
角度一　求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长
(2020·义乌模拟)已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是(　　)
A．32 B．16
C．84 D．4
【解析】　由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
【答案】　B
角度二　求双曲线的渐近线方程
已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)
A.x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
【解析】　由题意，不妨设|PF1|＞|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＋|PF2|＝6a，
解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c＞a，
所以有|PF2|＜|F1F2|，
所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos 30°，得c＝a，所以b＝＝a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
即x±y＝0.
【答案】　A
角度三　求双曲线的离心率(或范围)
(1)(2019·高考浙江卷)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是(　　)
A. B．1
C. D．2
(2)已知双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线上存在一点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
【解析】　(1)因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.故选C.
(2)在△PF1F2中，由正弦定理知＝，又＝，所以＝，所以点P在双曲线右支上，设P(x0，y0)，如图，
又因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝.由双曲线的几何性质知|PF2|>c－a，则>c－a，即e2－2e－10)的焦距为2c(c>0)，则C(－a，0)，F(－c，0)．
由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×120°＝60°.
因为|OA|＝|OC|＝a，
所以△ACO为等边三角形，
所以∠AOC＝60°.
因为FA与圆O相切于点A，所以OA⊥FA，
在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，
所以b＝ ＝ ＝a，
故双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为
y＝±x，即y＝±x.
2．(2020·绍兴诸暨高考模拟)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线上，且满足∠PF2F1＝2∠PF1F2＝60°，则此双曲线的离心率等于(　　)
A．2－2 B.
C.＋1 D．2＋2
解析：选C.设双曲线的焦距长为2c，
因为点P为双曲线上一点，且∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，
所以P在右支上，∠F2PF1＝90°，
即PF1⊥PF2，|PF1|＝2csin 60°＝c，
|PF2|＝2ccos 60°＝c，
所以由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝(－1)c＝2a，所以e＝＝＝＋1.
故选C.
3．(2020·嘉兴一中高考适应性考试)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，则双曲线的离心率为________，如果双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为________．
解析：因为右焦点到渐近线的距离为b，若右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，
所以b＝·2c＝c，
平方得b2＝c2＝c2－a2，即a2＝c2，
则c＝2a，则离心率e＝＝2，
因为双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，
所以2a＝4，则a＝2，从而b＝＝2.
答案：2　4

　　　　　　直线与双曲线的位置关系
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．
【解】　(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得，a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知
所以k的取值范围为.

(变问法)在本例(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
解：由(2)得：xA＋xB＝，
所以yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)
＝k(xA＋xB)＋2＝.
所以AB的中点P的坐标为.
设直线l0的方程为：y＝－x＋m，
将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.
因为0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x　　　　　　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选B.由条件e＝，即＝，得＝＝1＋＝3，所以＝±，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选B.
2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝kx(k＞0)，离心率e＝k，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选C.由已知得
所以a2＝4b2.所以双曲线的方程为－＝1.
3．(2020·杭州学军中学高三质检)双曲线M：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则点P的横坐标为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.由点P在双曲线的第一象限可得|PF1|－|PF2|＝2，则|PF2|＝|PF1|－2＝c，又|OP|＝c，∠F1PF2＝90°，由勾股定理可得(c＋2)2＋c2＝(2c)2，解得c＝1＋.易知△POF2为等边三角形，则xP＝＝，选项A正确．
4．(2020·杭州中学高三月考)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，OF1为半径的圆上，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B．3
C. D．2
解析：选D.由题意，F1(－c，0)，F2(c，0)，一条渐近线方程为y＝x，则F2到渐近线的距离为＝b.
设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于点A，所以|MF2|＝2b，A为F2M的中点，又O是F1F2的中点，所以OA∥F1M，所以∠F1MF2为直角，
所以△MF1F2为直角三角形，
所以由勾股定理得4c2＝c2＋4b2，
所以3c2＝4(c2－a2)，所以c2＝4a2，
所以c＝2a，所以e＝2.
故选D.
5．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.
法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以＝(1，0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.
6．(2020·浙江高中学科基础测试)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝20x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝17，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.由题意知F(5，0)，不妨设P点在x轴的上方，由|PF|＝17知点P的横坐标为17－5＝12，则其纵坐标为＝4，设双曲线的另一个焦点为F1(－5，0)，则|PF1|＝＝23，所以2a＝|PF1|－|PF|＝23－17＝6，所以a＝3，所以e＝＝，故选B.
7．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知曲线＋＝1，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是________；当曲线表示双曲线时k的取值范围是________．
解析：当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2－k＞2，
所以k＜－1或k＞2；
当曲线表示双曲线时，k2－k＜0，
所以0＜k＜1.
答案：k＜－1或k＞2　0＜k＜1
8．(2020·金华十校联考)已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＝0，则P到x轴的距离为________．
解析：F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，则可设P(x0，x0)，由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故P到x轴的距离为|x0|＝2.
答案：2
9．(2020·瑞安四校联考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与直线x＝分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°