(通用版)高考数学二轮复习选填题专项测试第18篇离心率02（含解析）

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  高考数学选填题专项测试02（离心率）第I卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（·甘肃高三模拟）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（    ）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解【详解】双曲线的一条渐近线与直线垂直．∴双曲线的渐近线方程为．，得．则离心率．故选：B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.2．（·山西高三模拟）已知椭圆：的左焦点为，若点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的几何性质及点关于直线的对称点可得点坐标，代入椭圆方程即可确定与的关系，进而得离心率.【详解】椭圆：的左焦点为F，则椭圆焦点，点关于直线的对称点在椭圆上，则，因为在椭圆上，代入可得，则，由可得，所以，故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质及简单应用，点关于直线对称点问题，属于基础题.3．（·河北石家庄二中高三月考）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线、分别交双曲线左、右支于另一点、，，且，则双曲线的离心率为（     ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用定义求出，，根据双曲线的对称性可得为平行四边形，从而得出，在内使用余弦定理可得出与的等量关系，从而得出双曲线的离心率.【详解】由题意，，，，.连接、，根据双曲线的对称性可得为平行四边形，，，由余弦定理可得，，，故选B.【点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.4．（·河南高三月考）已知点是椭圆上的两点，且线段恰为圆的一条直径，为椭圆上与不重合的一点，且直线斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意知点关于原点对称，设出的坐标并代入椭圆方程，利用直线斜率之积为列方程，化简后求得，由此求得椭圆离心率.【详解】由题意知点关于原点对称，设，则，设，由，相减得，所以，所以，椭圆的离心率为.故选：D．【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5．（·河南高三月考）已知椭圆的离心率与双曲线的离心率的一个等比中项为，则双曲线的渐近线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据等比中项的性质列方程，化简后求得，进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】由题意得，所以，，所以双曲线渐近线方程为.故选：D．【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查椭圆和双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.6．（·广东省普宁市华美实验学校高三月考）若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为                      （     ）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．7．（·重庆一中高三月考）椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，F1A与y轴相交于点D，若BD⊥F1A，则椭圆C的离心率等于（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意可得，的坐标，且知点为的中点，再由，利用斜率之积等于列式求解．【详解】由题意可得，，，则点为的中点，，由，得，即，整理得，，∴，解得．【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题．8．（·浙江省桐乡市高级中学高三一模）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（    ）A．  B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设，利用两点间的距离公式求出的表达式，结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设，因为是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，所以，则，当时，，当时，，当且仅当时取等号，此时，，点在以为焦点的椭圆上，，由椭圆的定义得，所以椭圆的离心率，故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．9．（·全国高三月考）双曲线的上焦点为，点的坐标为，点为双曲线下支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】【分析】由题意可得，可得的最小值为5，设为双曲线的下焦点，由双曲线的定义可得的最小值为4，当，，三点共线时，取得最小值，可得，由离心率公式可得所求值．【详解】双曲线的上焦点为，，点的坐标为，，三角形的周长的最小值为8，可得的最小值为5，又为双曲线的左焦点，可得，当，，三点共线时，取得最小值，且为，即有，即，，可得．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查三点共线取得最小值的性质，考查方程思想和运算能力．10. （·福建省连城县第一中学高三一模）已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于A，B两点，焦点F(0，-c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】联立直线与椭圆方程求出交点A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式，解方程求解即可.【详解】联立方程，解方程可得或，不妨设A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，·=0，因为，，由平面向量垂直的坐标表示可得，， 因为，所以a2-c2=ac，两边同时除以可得，，解得e=或（舍去），所以该椭圆的离心率为.故选：A【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型。11. （·广东高三月考）已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（     ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由可得；由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解.【详解】,所以离心率,又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有,而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即,所以,所以双曲线的离心率的取值范围是.故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.12. （·安徽高三一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，在椭圆上，其中，，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据可得四边形为矩形, 设,,根据椭圆的定义以及勾股定理可得,再分析的取值范围,进而求得再求离心率的范围即可.【详解】设,,由,,知,因为,在椭圆上,,所以四边形为矩形,；由,可得,由椭圆的定义可得,①,平方相减可得②,由①②得；令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.第II卷（非选择题) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。13．（·全国高三一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为，若F到直线的距离为，则E的离心率为_______.【答案】 【解析】【分析】由已知可得到直线的倾斜角为，有，再利用即可解决.【详解】由F到直线的距离为，得直线的倾斜角为，所以，即，解得.故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于的方程或不等式，本题是一道容易题.14. （·河南高三一模）已知双曲线：（，），直线：与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若（点为坐标原点）的面积为32，且双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为________.【答案】或【解析】【分析】用表示出的面积，求得等量关系，联立焦距的大小，以及，即可容易求得，则离心率得解.【详解】联立解得.所以的面积，所以.而由双曲线的焦距为知，，所以.联立解得或故双曲线的离心率为或.故答案为：或.【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中档题.15. （·安徽高三二模）已知两动点在椭圆上，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意可知圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直，恒为锐角，只需直线 与圆相离，从而可得，解不等式，再利用离心率即可求解.【详解】根据题意可得，圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直，因此当直线 与圆相离时， 恒为锐角，故，解得 ，从而离心率.故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，考查了逻辑分析能力，属于中档题.16. （·贵州高三月考）过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，与轴交于点，若，且双曲线的离心率为，则的值为______.【答案】2【解析】【分析】由双曲线离心率为，求出渐近线方程，由右焦点和直线和渐近线垂直，设直线方程，求出和，再由，得到，从而求解出.【详解】由题意，双曲线的离心率为，即，解得，设双曲线的一条渐近线方程为：，双曲线右焦点，又直线与渐近线垂直，所以设直线：，当时，，即，所以，，由，得，解得，故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质、直线方程的应用和点到直线距离公式，考查学生的转化能力，属于中档题.