(通用版)高考数学二轮复习选填题专项测试第1篇双曲线03（含解析）

  高考数学选填题专项测试03（双曲线）

第I卷（选择题)

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（·北京高三）双曲线的一条渐近线方程为，那么它的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据双曲线的一条渐近线方程为，列出方程，求出的值即可.

【详解】∵双曲线的一条渐近线方程为，可得，∴，

∴双曲线的离心率.故选：D.

【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.

2．（·石嘴山市第三中学高三）已知双曲线的一个焦点为，且与双曲线的渐近线相同，则双曲线的标准方程为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解.

【详解】∵双曲线与的渐近线相同，且焦点在轴上，∴可设双曲线的方程为，一个焦点为，∴，∴，故的标准方程为.故选：B

【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.

3．（·麻阳苗族自治县第一中学高三）已知双曲线的焦点到渐近线距离与顶点到渐近线距离之比为，则双曲线的渐近线方程为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】由题意知,由与相似（O为坐标原点）可得，再由，可得，进而可得渐近线方程.

【详解】

如图所示，双曲线顶点为A，焦点为F，过A,F作渐近线的垂线，垂足为B，C，所以与相似（O为坐标原点），又由题意知，所以，即，又因为，所以，即所以渐近线方程为：，故选A.

【点睛】本题考查双曲线的几何性质，需灵活运用三角形相似及之间的关系，属基础题.

4．（·荆门市龙泉中学高三）已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线交双曲线于两点，为直线上一点，当最大时，点恰好在（或）处.则双曲线的离心率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当过的圆与直线相切于点时，直线上其它点都在圆外，此时最大，由切割线定理得，点恰好在处，所以，由双曲线通径公式可得可知，所以，所以双曲线的离心率为.

点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

5．（·天津高三开学考试）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )

A．2 B．2 C．4 D．4

【答案】A

【解析】

【详解】根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；

则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为，

由双曲线的性质，可得b=1；则，则焦距为2c=2；故选A．

6．（·重庆八中高三）设双曲线的左顶点为A，右焦点为F（c，0），若圆A：（x+a）2+y2＝a2与直线bx﹣ay＝0交于坐标原点O及另一点E，且存在以O为圆心的圆与线段EF相切，切点为EF的中点，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【解析】

【分析】联立直线的方程和圆的方程，求得点的坐标，根据以为圆心的圆与线段相切，且切点为的中点，得到，由此利用勾股定理列方程，化简求得双曲线的离心率.

【详解】联立.⇒E（，），∵依题意可知OE＝OF，∴，∴4a4＝c4.∴.故选：B.

【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

7．（·吉林省实验高三）已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为的左、右焦点，为虚轴的一个端点，若的最小值为，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】根据双曲线的定义可得，又即可得到关于的方程，解得.

【详解】，即，

化简得，即，解得或，所以.

【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想.

8．（·河南高三）关于渐近线方程为的双曲线有下述四个结论：①实轴长与虚轴长相等，②离心率是③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等，④顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离比值为.其中所有正确结论的编号（    ）

A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④

【答案】C

【解析】

【分析】利用双曲线的渐近线的定义可判断①；由离心率的求法可判断②；设出双曲线的方程，将代入求出弦长可判断③；比较顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离即可判断④；

【详解】①因为渐近线的斜率为或，所以，①正确； ②离心率，所以②正确； ③设双曲线的方程为，将代入双曲线方程可得，

过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为与实轴长相等，同理，当焦点在轴上时此结论也成立，所以③正确；④因为顶点到渐近线的距离小于焦点到渐近线的距离，所以④不正确.故选：C

【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，掌握双曲线的几何性质是解题的关键，属于基础题.

9．（·四川高三）已知双曲线:的右焦点为,若存在过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点,与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点,且,则双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意画出其几何图像,设,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点,且则,,若存在过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点,需保证,根据双曲线的渐近线为,则,即可求得离心率范围.

【详解】根据题意画出其几何图像:

设,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点,且

,，若存在过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点,需保证，,则， ，根据双曲线的渐近线为,则， ， 根据双曲线的离心率

， 根据双曲线的离心率， ，故选:B.

【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围问题,解题关键是根据已知条件画出其几何图像,数形结合.考查分析能力和计算能力,属于中档题.

10．（·河北高三）已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.

【详解】设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，由题意可知，直线与直线垂直，，，

因此，双曲线的离心率为.故选：B.

【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、、的等量关系，考查计算能力，属于中等题.

11．（·安徽高三）已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，其右支上存在一点，使得，直线平行于双曲线的其中一条渐近线，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】

【分析】由可知，设出双曲线的渐近线方程，可得直线的方程，由垂直关系表示出直线的方程，联立直线方程即可求得与交点坐标，进而由中点坐标公式求得的坐标，将的坐标代入双曲线方程即可确定离心率.

【详解】根据，∴，不妨设直线平行于双曲线的渐近线：，如下图所示，

可知的方程为，且，从而是线段的垂直平分线，由点斜式可得直线的方程为，设与相交于点，由得即，

又，由中点公式，得，将点的坐标代入中，得，化简得，即离心率.故选：D.

【点睛】本题考查了双曲线中渐近线方程的综合应用，直线交点坐标求法并代入曲线方程求离心率的方法，属于中档题.

12．（·河南鹤壁高中高三）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点.若，，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意结合双曲线的定义可得，，，，利用余弦定理结合可得关于的齐次方程，得到，进而可得的关系，即可得结果.

【详解】由题意得，.由双曲线的定义可得，

由知，所以，由双由线的定义可得.

在中，由余弦定理的推论可得，

在中，由余弦定理的推论可得，

因为，所以，即，整理得，解得或（舍去）.所以，双曲线的渐近线方程为.故选：C.

【点睛】本题主要考查双曲线的定义、简单几何性质等知识及运算求解能力，构造出的齐次式是解题的关键，属于中档题.

第II卷（非选择题)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13．（2019·四川石室中学高三）已知矩形 ABCD，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________.

【答案】2

【解析】

【分析】

根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.

【详解】为焦点        ，在双曲线上，则

又        ，，本题正确结果：

【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.

14. （·安徽六安一中高三）已知双曲线的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于x轴的直线被双曲线截得的弦长为m，则__________.

【答案】6

【解析】

【分析】根据双曲线的离心率求出a、b的关系，再求出过右焦点且垂直于x轴的直线被双曲线截得的弦长m，即可计算的值．

【详解】双曲线的焦距为，则，即，则把代入双曲线可得，故，所以，.

【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质的应用问题，是中档题．

15. （·湖北黄冈中学高三）已知双曲线的右焦点为,渐近线为,过点的直线与的交点分别为.若,则       

【答案】

【解析】

【分析】将直线方程联立求得，利用两点间距离公式计算

【详解】由题的方程为,过与垂直的直线的方程为,由联立得,由联立得

【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程，考查直线交点及两点间距离，考查计算能力，是基础题

16. （·四川省乐山第一中学校高三）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为       

【答案】

【解析】

直线l:y=-x+a与渐近线交于,直线l:y=-x+a与渐近线交于,A,因为,所以,双曲线的渐近线方程为,故选D.

点睛:本题考查双曲线的性质,属于中档题目.解决本题的关键是设点以及向量坐标化,先求出过右顶点且斜率为-1的直线方程,分别联立该直线与双曲线的两条渐近线,求出交点坐标,代入中,通过化简计算,即可得到a,b的关系式,结合双曲线中,即可求得离心率.