(通用版)高考数学二轮复习选填题专项测试第3篇抛物线03（含解析）

  高考数学选填题专项测试03（抛物线）

第I卷（选择题)

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（·广西蒙山中学高三）抛物线的焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），即有p=2，即可得到焦点坐标为.

【详解】抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），则抛物线y2=4x的2p=4，解得 p=2，则焦点坐标为（1，0），故选C

【点睛】本题考查抛物线的方程和性质, 抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0）.是基础题.

2.（·荆门市龙泉中学高三）抛物线的焦点是直线与坐标轴交点，则抛物线准线方程是(  )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】先求得直线和坐标轴的焦点，由此求得的值，并求得准线方程.

【详解】抛物线开口向上或者向下，焦点在轴上，直线与轴交点为，故，即抛物线的方程为，故准线方程为，故选D.

【点睛】本小题主要考查直线和坐标轴的交点坐标的求法，考查已知抛物线的焦点求准线方程，属于基础题.

3．（·江苏南京市第二十九中学高三开学考试）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则实数t等于（  ）

A．1 B．2 C．3 D．

【答案】A

【解析】

【分析】计算抛物线的焦点为，得到，解得答案.

【详解】抛物线，即的焦点为.故，故.故答案为：.

【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的焦点问题，意在考查学生对于双曲线和抛物线的理解.

4．（·北京高三）如果抛物线上一点到准线的距离是6，那么（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】先求出抛物线的准线方程，然后根据点到准线的距离为6，列出，直接求出结果.

【详解】抛物线的准线方程为，由题意得，解得.∵点在抛物线上，∴，∴，故答案为：.

【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.

5．（·河南高三）已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线

y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（    ）

A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣12

【答案】D

【解析】

【分析】

分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，，然后计算，可得结果.

【详解】设， 联立，

则，因为直线经过C的焦点， 所以.

同理可得，所以故选：D.

【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。

6．（·山东菏泽一中高三）已知点在抛物线C:()上,点M到抛物线C的焦点的距离是(    )

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【解析】

【分析】

将点的坐标代入抛物线方程，求出，即得焦点，利用抛物线的定义，即可求出．

【详解】由点在抛物线上，可得，解得，即抛物线，焦点坐标，准线方程为．所以，点到抛物线焦点的距离为：．故选：A．

【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题．

7．（·北京市育英学校高三）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点．若中点到抛物线准线的距离为6，则线段的长为（ ）

A．    B．    C．    D．无法确定

【答案】C

【解析】试题分析：中点到抛物线准线的距离为6，则A,B到准线的距离之和为12，即

考点：直线与抛物线相交问题

8 ．（·河北高三）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】设点、，并设直线的方程为，由得，将直线的方程代入韦达定理，求得，结合的面积求得的值，结合焦点弦长公式可求得.

【详解】设点、，并设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，消去得，由韦达定理得，，

，，，，，

，可得，，抛物线的准线与轴交于，

的面积为，解得，则抛物线的方程为，

所以，.故选：B.

【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

9．（·深圳市罗湖外语学校高三）过抛物线的焦点且斜率大于0的直线交抛物线于点(点位于第一象限)，交其准线于点，若，且，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】作出图象如下图所示，作准线于，准线于，于.根据抛物线的定义得，由，，从而得出直线的斜率，再根据三角形相似求得，由直线的点斜式得出直线的方程.

【详解】作出图象如下图所示，作准线于，准线于，于.在中，，，的斜率为，又，，，所以，直线的方程为，即，故选：A.

【点睛】本题考查抛物线的定义，标准方程，以及直线的方程，关键在于将已知条件中的线段间的关系通过抛物线的定义转化为角的关系，得出直线的斜率，属于中档题.

10．（·河南鹤壁高中高三）设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一个交点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标，最后代入坐标，求得三角形面积比.

【详解】作图，设与的夹角为，则中边上的高与中边上的高之比为，，设，则直线，即，与联立，解得，从而得到面积比为.故选：

【点睛】解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题.

11．（·江西高三）过抛物线：的准线上任意一点作抛物线的切线，，切点分别为，，则点到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】先求出直线，的方程，联立解得，由点是两切线的公共点求得的方程为，表示出，两点到准线的距离之和并化简为，从而求得最小值.

【详解】设，，则直线，的方程分别为，，

联立解得，.又直线，的方程分别可表示为，，将点坐标代入两方程，得所以直线的方程为，即，

所以点到准线的距离与点到准线的距离之和为

【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系应用，属于较难题.

12、设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线斜率的最大值为（    ）

【答案】C

【解析】由题意可知：设点坐标为，点坐标为.则的最大值，不妨设.,则，可得，

即，当且仅当等号成立.

则直线斜率的最大值。

第II卷（非选择题)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13．（·江苏高三开学考试）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数p的值为_____________．

【答案】2

【解析】

【分析】先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（，0），即可求出p值．

【详解】∵ 中a2=4，b2=3，∴c2=1，c=1∴右焦点坐标为（1，0）∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，根据抛物线中焦点坐标为（，0），∴，则p=2．故答案为：2

【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题．

14．（·河北承德第一中学高三）抛物线上一点到直线的距离最短，则该点的坐标是__________.

【答案】

【解析】

【分析】设抛物线上任意一点的坐标为，利用二次函数的配方法可求出该抛物线上一点到直线的最小值及其对应的值，进而求出所求点的坐标.

【详解】设抛物线上任意一点的坐标为，则点到直线的距离为，当时，取得最小值，此时点的坐标为.故答案为：.

【点睛】本题考查抛物线上一点到直线距离最值的计算，可利用二次函数的基本性质结合点到直线的距离公式来求得，也可以转化为抛物线在其上一点处的切线与直线平行来求解，考查运算求解能力，属于中等题.

15．（·重庆八中高三）设抛物线y2＝2x的焦点为F，准线为，弦AB过点F且中点为M，过点F，M分别作AB的垂线交l于点P，Q，若|AF|＝3|BF|，则|FP|•|MQ|＝_____.

【答案】

【解析】

【分析】利用抛物线的定义以及结合平面几何知识，求得和的长，由此求得.

【详解】如图，作BF⊥l于F，作AE⊥l于E，令准线与x轴交点为S，AB交准线于K.设BH＝m，则AF＝3m，∵，∴BK＝2m，则sin∠HKB，∴∠HKB＝30°.

∵，∴，∴，∴|FK|＝2.，∴.

|QM|＝|MK|•tan30°＝4m×tan30°.，则|FP|•|MQ|.故答案为：.

【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

16．（·陕西高三模拟）已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线和圆于，，，四个点，设，，则__________；

的最小值为_______．

【答案】16    74   

【解析】

【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，圆的圆心和半径，由题意设直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义、结合基本不等式即可求得答案．

【详解】由题意得，准线方程为，圆的圆心为，半径，

由题意设直线的方程为，联立消元得，

∴，，∴，

，由抛物线定义可得，当且仅当且即，时等号成立，

故答案为：16，74．

【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中档题．