备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第一章 §1.1 集 合

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考试要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.( × )
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．( √ )
教材改编题
1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于( )
A．{－1,2} B．{1,2}
C．{1,4} D．{－1,4}
答案 B
解析 由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1,2}，故选B.
2．下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是( )
A．(1,2 022)
B．{(x，y)|x＝2 022，y＝1}
C．{x|x2－2 023x＋2 022＝0}
D．{(2 022,1)}
答案 C
解析 (1,2 022)表示一个点，不是集合，A不符合题意；
集合{(x，y)|x＝2 022，y＝1}的元素是点，与集合A不相等，B不符合题意；
{x|x2－2 023x＋2 022＝0}＝{2 022,1}＝A，故C符合题意；
集合{(2 022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符合题意．
3．设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝________，∁U(A∩B)＝________.
答案 {x|x≥－1} {x|x<2或x≥3}
解析 因为A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}＝{x|x≥2}，
所以A∪B＝{x|x≥－1}，A∩B＝{x|2≤x<3}，
∁U(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}.
题型一 集合的含义与表示
例1 (1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 如图，函数y＝x与y＝x2的图象有两个交点，故集合A∩B有两个元素．
(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为( )
A．1 B．1或0
C．0 D．－1或0
答案 C
解析 ∵－1∈A，
当a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性；
当a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，
A＝{1，－2，－1}，
故a＝0.
思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
跟踪训练1 (1)若集合M＝{x∈N|x－2<0}，则下列四个命题中，正确的命题是( )
A．0∉M B．{0}∈M
C．{1}⊆M D．1⊆M
答案 C
解析 对于A，因为M＝{x∈N|x－2<0}，所以0∈M，所以A错误；
对于B，因为{0}是集合，且0∈M，所以{0}⊆M，所以B错误；
对于C，因为1∈M，所以{1}⊆M，所以C正确；
对于D，因为1是元素，所以1∈M，所以D错误．
(2)(2023·绵阳模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 因为A＝{0,1,2}，a∈A，b∈A，
所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4，
故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0,1,2,4}，
即集合B中含有4个元素．
题型二 集合间的基本关系
例2 (1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是( )
A．A＝B B．A∩B＝∅
C．AB D．B⊆A
答案 C
解析 由题设，可得A＝{x|x>2}，
又B＝{x|x≥－3}，
所以A是B的真子集，
故A，B，D错误，C正确．
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有________个；当B⊆A时，实数m的取值范围是________．
答案 15 (－∞，－2)∪[－1,0]
解析 A＝{x|－2≤x≤1}，
若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1}，
故集合A的真子集有24－1＝15(个)．
由B⊆A得，①若B＝∅，则2m＋1②若B≠∅，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋1≥m－1，,2m＋1≤1，,m－1≥－2，))
解得－1≤m≤0，
综上，实数m的取值范围是(－∞，－2)∪[－1,0]．
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练2 (1)已知非空集合M满足：Ⅰ：M⊆{－2，－1,1,2,3,4}；Ⅱ：若x∈M，则x2∈M，则集合M可能是________．(填序号)
①{－1,1}；②{－1,1,2,4}；③{1}；④{1，－2,2}．
答案 ①③
解析 由题意可知3∉M且4∉M，而－2或2与4同时出现，
所以－2∉M且2∉M，
所以满足条件的非空集合M有{－1,1}，{1}．
(2)函数f(x)＝eq \r(x2－2x－3)的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________________．
答案 (－∞，－3]∪[5，＋∞)
解析 由x2－2x－3≥0，得x≤－1或x≥3，
即A＝{x|x≤－1或x≥3}．
∵B⊆A，
显然B≠∅，
∴4－a≤－1或－a≥3，
解得a≥5或a≤－3，
故实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[5，＋∞)．
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例3 (1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T等于( )
A．∅ B．S C．T D．Z
答案 C
解析 方法一 在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T.
方法二 S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T⊆S，所以S∩T＝T.
(2)设全集U＝R，A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|y＝eq \r(x＋2)}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x≤－2} B．{x|x>－2}
C．{x|x≥4} D．{x|x≤4}
答案 C
解析 观察Venn图，可知阴影部分的元素由属于B而不属于A的元素构成，所以阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B.
∵A＝{x|－2≤x<4}，U＝R，
∴∁UA＝{x|x<－2或x≥4}，
又B＝{x|y＝eq \r(x＋2)}⇒B＝{x|x≥－2}，
∴(∁UA)∩B＝{x|x≥4}．
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
例4 (2023·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
答案 B
解析 由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}，
所以由(∁RA)∪B＝R，得a≥1.
思维升华 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
跟踪训练3 (1)(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)等于( )
A．{1,3} B．{0,3}
C．{－2,1} D．{－2,0}
答案 D
解析 由题意得集合B＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，
所以∁U(A∪B)＝{－2,0}．故选D.
(2)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是( )
A．[1,4) B．(1,4)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
答案 A
解析 由题意可得A＝{x|1因为A∪B＝{x|x>1}，
所以1≤a<4.
题型四 集合的新定义问题
例5 (1)当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当b≠0时，eq \f(a,b)∈F”时，称F为一个数域，以下说法不正确的是( )
A．0是任何数域的元素
B．若数域F有非零元素，则2 023∈F
C．集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域
D．有理数集为数域
答案 C
解析 对于A，若a∈F，则a－a＝0∈F，故A正确；
对于B，若a∈F且a≠0，则1＝eq \f(a,a)∈F,2＝1＋1∈F,3＝1＋2∈F，依此类推，可得2 023∈F，故B正确；
对于C，P＝{x|x＝3k，k∈Z},3∈P,6∈P，但eq \f(3,6)∉P，故P不是数域，故C错误；
对于D，若a，b是两个有理数，则a＋b，a－b，ab，eq \f(a,b)(b≠0)都是有理数，所以有理数集是数域，故D正确．
(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n.
①若n＝3，则这样的集合A共有________个；
②若n为偶数，则这样的集合A共有________个．
答案 ①2 ②13
解析 ①若n＝3，据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1,3}，这样的集合A共有2个；
②因为集合M的子集共有24＝16(个)，
其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1,3}，共3个，
所以“累积值”为偶数的集合共有13个．
思维升华 解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
跟踪训练4 设集合U＝{2,3,4}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依此类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是________．
答案 {2,4}
解析 根据题意，将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列为：∅，{2}，{3}，{4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,3,4}．
故排在第6位的子集为{2,4}．
课时精练
1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则( )
A．2∈M B．3∈M
C．4∉M D．5∉M
答案 A
解析 由题意知M＝{2,4,5}，故选A.
2．设集合A＝{x∈N*|2x<4}，B＝{x∈N|－1A．{x|－1C．{0,1} D．{1}
答案 C
解析 由2x<4可得x<2，
则A＝{x∈N*|2x<4}＝{1}，
B＝{x∈N|－1所以A∪B＝{0,1}．
3．(2022·娄底质检)集合M＝{(x，y)|2x－y＝0}，N＝{(x，y)|x＋y－3＝0}，则M∩N等于( )
A．{(2，－1)} B．{2，－1}
C．{(1,2)} D．{1,2}
答案 C
解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝0，,x＋y－3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，))则M∩N＝{(1,2)}．
4．(2023·南京模拟)已知集合A＝{x|x2－6x－7<0}，B＝{y|y＝3x，x<1}，则A∩(∁RB)等于( )
A．[3,7)
B．(－1,0]∪[3,7)
C．[7，＋∞)
D．(－∞，－1)∪[7，＋∞)
答案 B
解析 A＝{x|x2－6x－7<0}＝(－1,7)，
B＝{y|y＝3x，x<1}＝(0,3)，
所以∁RB＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，
所以A∩(∁RB)＝(－1,0]∪[3,7)．
5．(2022·海南模拟)已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x＋1∈A}，则B等于( )
A．{－1,0,1} B．{－2，－1,0}
C．{－2，－1,0,1} D．{－2，－1,0,1,2}
答案 B
解析 因为集合A＝{x|x2≤1}，
所以A＝{x|－1≤x≤1}，
在集合B中，由x＋1∈A，得－1≤x＋1≤1，即－2≤x≤0，又x∈Z，所以x＝－2，－1,0，即B＝{－2，－1,0}．
6．(2022·怀仁模拟)已知集合A＝{x|1m}，若A∩(∁RB)＝∅，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
答案 A
解析 由题知A∩(∁RB)＝∅，得A⊆B，则m≤1.
7．已知集合A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则实数m的值为( )
A．0 B．0或1 C．0或3 D．0或1或3
答案 C
解析 因为A∪B＝A，所以B⊆A.
因为A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}，
所以m2＝m或m＝3，
解得m＝0或m＝1或m＝3.
当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；
当m＝1时，集合A、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意；
当m＝3时，A＝{1,3,9}，B＝{1,3}，符合题意．
综上，m＝0或3.
8．已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是( )
A．A∩B＝∅ B．A∩B＝B
C．A∪B＝U D．(∁UB)∩A＝A
答案 C
解析 令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁UA)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；
由(∁UA)∪B＝B，知∁UA⊆B，
∴U＝A∪(∁UA)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，故C正确；
由∁UA⊆B，知∁UB⊆A，
∴(∁UB)∩A＝∁UB，故D不正确．
9．(2023·金华模拟)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则S∩(∁UT)＝________，集合S共有________个子集．
答案 {1,5} 8
解析 由题意可得∁UT＝{1,4,5}，
则S∩(∁UT)＝{1,5}．
集合S的子集有23个，即8个．
10.(2023·石家庄模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则Venn图中阴影部分的集合为________．
答案 {－1,2,3}
解析 集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3则Venn图中阴影部分表示的集合是M∩(∁RN)＝{－1,2,3}．
11．集合A＝{x|y＝eq \r(1－x2)}，B＝{x|x2－2x－3<0}，则A∩B＝____________，A∪(∁RB)＝__________________.
答案 (－1,1] (－∞，1]∪[3，＋∞)
解析 ∵A＝{x|y＝eq \r(1－x2)}＝[－1,1]，B＝{x|x2－2x－3<0}＝(－1,3)，
∴A∩B＝(－1,1]，
∁RB＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，
∴A∪(∁RB)＝(－∞，1]∪[3，＋∞)．
12．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能是________．
答案 0，－eq \f(1,2)，eq \f(1,3)
解析 由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3，
所以A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
因为A∪B＝A，所以B⊆A，
当B＝∅时，B⊆A成立，此时方程mx＋1＝0无解，得m＝0；
当B≠∅时，得m≠0，则集合B＝{x|mx＋1＝0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,m)))，
因为B⊆A，所以－eq \f(1,m)＝－3或－eq \f(1,m)＝2，
解得m＝eq \f(1,3)或m＝－eq \f(1,2)，
综上，m＝0，m＝eq \f(1,3)或m＝－eq \f(1,2).
13．(2023·包头模拟)已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r等于( )
A．12 B．6 C．－14 D．－12
答案 C
解析 ∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A，
得(－2)2＋2p－2＝0，解得p＝－1.
故A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2,1}．
又∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，
∴B＝{－2,5}．
由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q＝－3，,r＝－10，))
综上可得，p＋q＋r＝－1－3－10＝－14.
14．已知集合A＝{x|(x＋3)(x－3)≤0}，B＝{x|2m－3≤x≤m＋1}．当m＝－1时，则A∪B＝________；若A∩B＝B，则实数m的取值范围为________ ________.
答案 {x|－5≤x≤3} [0,2]∪(4，＋∞)
解析 A＝{x|－3≤x≤3}，
当m＝－1时，B＝{x|－5≤x≤0}，
此时A∪B＝{x|－5≤x≤3}．
由A∩B＝B可知B⊆A.
若B＝∅，则2m－3>m＋1，解得m>4；
若B≠∅，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－3≤m＋1，,m＋1≤3，,2m－3≥－3，))解得0≤m≤2，
综上所述，实数m的取值范围为[0,2]∪(4，＋∞)．
15．1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列结论中，可能成立的个数是( )
①M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}满足戴德金分割；
②M没有最大元素，N有一个最小元素；
③M有一个最大元素，N有一个最小元素；
④M没有最大元素，N也没有最小元素．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 对于①，因为M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}，M∪N＝{x∈Q|x≠0}≠Q，故①不成立；
对于②，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故②可能成立；
对于③，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若m≠n，一定存在k∈(m，n)且k∈Q，则M∪N＝Q不成立；若m＝n，则M∩N＝∅不成立，故③不成立；
对于④，设M＝{x∈Q|x16．我们将b－a称为集合{x|a≤x≤b}的“长度”．若集合M＝{x|m≤x≤m＋2 022}，N＝{x|n－2 023≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤2 024}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值为________．
答案 2 021
解析 由题意得，M的“长度”为2 022，N的“长度”为2 023，
要使M∩N的“长度”最小，则M，N分别在{x|0≤x≤2 024}的两端．
当m＝0，n＝2 024时，得M＝{x|0≤x≤2 022}，N＝{x|1≤x≤2 024}，
则M∩N＝{x|1≤x≤2 022}，此时集合M∩N的“长度”为2 022－1＝2 021；
当m＝2，n＝2 023时，M＝{x|2≤x≤2 024}，N＝{x|0≤x≤2 023}，
则M∩N＝{x|2≤x≤2 023}，此时集合M∩N的“长度”为2 023－2＝2 021.
故M∩N的“长度”的最小值为2 021.集合
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
运算
集合语言
图形语言
记法
并集
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
交集
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
补集
{x|x∈U，且x∉A}
∁UA