2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练56 极坐标方程与参数方程

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课时规范练56　极坐标方程与参数方程基础巩固组1.(2020全国Ⅲ,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1),C与坐标轴交于A,B两点.(1)求|AB|;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.                     2.在极坐标系中,O为极点,如图所示,已知M4,以OM为直径作圆C.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若P为圆C左上半圆弧OM的三等分点,求点P的极坐标.          3.(2020全国Ⅰ,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+3=0.(1)当k=1时,C1是什么曲线?(2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标.       4.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为ρsinθ+=2,0≤θ≤,曲线C2的参数方程为(t为参数).(1)将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程,C2的参数方程化为普通方程.(2)设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.                          5.(2022河南焦作一模)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆O的极坐标方程为ρ2-8=2ρ(cos θ+sin θ).(1)求直线l的普通方程和圆O的平面直角坐标方程;(2)当θ∈,π时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.           综合提升组6.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R).(1)求曲线C的极坐标方程,若原点O在曲线C的内部,则求实数a的取值范围;(2)当a=1时,直线l与曲线C交于M,N两点,又P为此时曲线C上一动点,求△PMN面积的最大值.                        7.(2022山西太原二模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcosθ-=8.(1)将曲线C和直线l化为直角坐标方程;(2)过原点O引一条射线,分别交曲线C和直线l于A,B两点,射线上另有一点M满足|OA|2=|OM|·|OB|,求点M的轨迹方程.              8.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1的参数方程为(t为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ+16-r2=0(r>0).(1)若r=3,设双曲线C1的一条渐近线与C2相交于A,B两点,求|AB|.(2)若r=1,分别在C1与C2上任取点P和Q,求|PQ|的最小值.                  创新应用组9.(2022内蒙古包头一模)在直角坐标系xOy中,☉M的圆心为M(1,1),半径为1.(1)写出☉M的一个参数方程;(2)直线l与☉M相切,且与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点,若l与两坐标轴所围成的△OAB的面积为6,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线l的极坐标方程.          10.在平面直角坐标系xOy中,已知倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数),点P的坐标为(-2,0).(1)当cos α=时,设直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值;(2)若点Q在曲线C上运动,点M在线段PQ上运动,且=2,求动点M的轨迹的参数方程,并把参数方程化为普通方程.              
参考答案课时规范练56　极坐标方程与参数方程1.解(1)因为t≠1,由2-t-t2=0得t=-2,所以C与y轴的交点为(0,12);由2-3t+t2=0得t=2,所以C与x轴的交点为(-4,0).故|AB|=4.(2)由(1)可知,直线AB的直角坐标方程为=1,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得直线AB的极坐标方程3ρcos θ-ρsin θ+12=0.2.解 (1)设点A(ρ,θ)为圆上任一点,则|OA|=ρ,∠AOM=θ-,在Rt△AOM中,ρ=4cosθ-.所以圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-,-≤θ≤.(2)圆C左上半圆弧OM的三等分点对应的极角有θ1=,θ2=.代入圆C的极坐标方程中,得圆C左上半圆弧OM的三等分点分别为P16,,P22.3.解(1)当k=1时,C1:消去参数t得x2+y2=1,故曲线C1是圆心为坐标原点,半径为1的圆.(2)当k=4时,C1:消去参数t得C1的普通方程为=1.C2的直角坐标方程为4x-16y+3=0.由解得故C1与C2的公共点的直角坐标为.4.解 (1)由ρsinθ+=2,得ρsin θ×+ρcos θ×=2,所以曲线C1的直角坐标方程为x+y-4=0(0≤x≤4).消去曲线C2的参数方程中的参数t,得C2的普通方程为(x+1)2-(y-1)2=8.(2)由解得故P(2,2).设所求的圆心坐标(x0,0),所以+(0-2)2,解得x0=2.由于圆经过极点,所以圆的直径2r=4,所求圆的极坐标方程为ρ=4cos θ.5.解(1)由得y=2+x,即直线l的普通方程是x-y+2=0.由ρ2-8=2ρ(cos θ+sin θ),代入得x2+y2-8=2x+2y,即圆O的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-8=0.(2)由解得因为θ∈,π,所以(舍去),所以故直线l与圆O的公共点的极坐标为(2,π).6.解 (1)将曲线C的参数方程化为普通方程为(x-a)2+y2=2,表示以(a,0)为圆心,半径为的圆.由得曲线C的极坐标方程为ρ2-(2acos θ)ρ+a2-2=0.又因为原点O在曲线C的内部,得(0-a)2+02<2,解得-<a<,故a的取值范围是(-).(2)直线l的极坐标方程转化为普通方程为y=x,由a=1,得圆的方程为(x-1)2+y2=2,所以圆心(1,0)到直线y=x的距离d=,所以|MN|=2,圆上的点到直线l上的最大距离为.故△PMN面积的最大值为S△PMN=×=.7.解(1)由C的参数方程,得+y2=(cos θ+sin θ)2+(cos θ-sin θ)2=2,所以曲线C的直角坐标方程为=1,由ρcosθ-=8,得ρcos θ+ρsin θ=16,所以x+y-16=0.(2)设M(ρ,θ),A(ρ1,θ),B(ρ2,θ),则=1,ρ2cos θ+ρ2sin θ=16,即由|OA|2=|OM|·|OB|,得=ρρ2,即,所以,即,因为ρ≠0,所以点M的轨迹方程为2x2+8y2-x-y=0(去掉(0,0)).8.解 (1)若r=3,曲线C2的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ+7=0,将x=ρcos θ,x2+y2=ρ2代入上式转换为直角坐标方程为(x-4)2+y2=9.双曲线C1的参数方程为(t为参数),转换为普通方程为y2-x2=4.其中一条渐近线为x-y=0,圆心(4,0)到该渐近线的距离d==2,则=9-8=1,解得|AB|=2.(2)若r=1时,曲线C2的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ+15=0,转换为直角坐标方程为(x-4)2+y2=1,圆心坐标为(4,0),半径为1,设曲线C1上的点P(x0,y0),则有=4,|PC2|=,当x0=2时,|PC2|min=2,所以|PQ|min=|PC2|min-r=2-1.9.解(1)由题意可知,☉M的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,所以☉M的参数方程为(α为参数).(2)由题意可知,切线的斜率存在,设切线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,因为圆心M(1,1)到直线l的距离为1,所以=1,化简得b2-2b+2(b-1)k=0.又因为A-,0,B(0,b),所以S△OAB=|b|=6,即b2=12|k|,由题意可知,k<0,b>0,故b2=-12k.联立方程组解得所以直线l的直角坐标方程为x+y-3=0或x+y-4=0,所以直线l的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-3=0或ρcos θ+ρsin θ-4=0.10.解 (1)曲线C的普通方程为x2+y2=1.当cos α=时,直线l的参数方程为(t为参数),代入曲线C的普通方程,得t2-t+3=0.由于Δ=-12=>0,故可设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=3,所以|PA|·|PB|=3.(2)设Q(cos θ,sin θ),M(x,y),则由=2,得(x+2,y)=2(cos θ-x,sin θ-y),即即动点M的轨迹的参数方程为(θ为参数),由参数方程消去θ得+y2=.此即为点M的轨迹的普通方程.