黑龙江省大庆铁人中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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期中考试数学试题

一､选择题(本大题共12小题，共60分)在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1.直线与平行，则为（   ）

A.  B. 或 C.  D.

【答案】B

【解析】

分析：利用两条直线平行，列出方程，即可得到实数的值．

详解：由直线与平行，

可得，解得，故选B．

点睛：本题主要考查了两条直线平行关系的应用，熟记两条直线平行的位置关系的判定及应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

2.中，已知，则为（    ）

A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形

C. 有一个内角为30°的直角三角形 D. 有一个内角为30°的等腰三角形

【答案】B

【解析】

【详解】因为，所以 ,

即为等腰直角三角形.

故选：B.

3.如果关于直线的对称点为，则直线的方程是(　　)

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【详解】因为已知点关于直线的对称点为，

故直线为线段的中垂线，

求得的中点坐标为，

的斜率为，故直线的斜率为，

 故直线的方程为，即.

故选：A.

4.已知，则下列不等式成立的是  (　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用不等式的基本性质即可得出结果.

【详解】因为，所以，所以，

故选B

【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题型.

5.若，满足约束条件，则的最小值为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 0

【答案】C

【解析】

【分析】

由不等式组作出可行域,根据目标函数的几何意义求解最值.

【详解】由题意画出可行域,如图所示,由得,要使取最小值,只需截距最大即可,故直线过时,最小.

.

故选:C.

【点睛】本题考查了线性规划的基本应用,利用数形结合以及目标函数的几何意义是解决此类问题的方法,属于基础题.

6.等比数列的前项和为，是与的等比中项，则的值为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

设数列的公比为，则由，即可求出或，再对分类讨论，由是与的等比中项计算可得；

【详解】解：设数列的公比为，则由，得，易知，所以解得或，当时，，这与是与的等比中项矛盾，

当时，由是与的等比中项，得，即，所以，

故选：B

【点睛】本题考查等比数列的通项公式的应用，等比中项的性质的应用，属于中档题.

7.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的， 若圆柱的表面积是现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

设球的半径为，则由题意可得球的表面积为，即可求出，从而得到圆柱的底面半径和高，最后由圆柱的体积减去球的体积即可；

【详解】解：设球的半径为，则由题意可得球的表面积为，所以，所以圆柱的底面半径为1，高为2，所以最多可以注入的水的体积为.

故选：B

【点睛】本题考查圆柱和球的表面积和体积的相关计算，属于基础题.

8.已知数列是等差数列，是其前项的和，则下列四个命题中真命题的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】

由等差数列的性质及特殊数列一一判断各选项即可．

【详解】令等差数列的，

对A选项，而故A错误；

对B选项，∵∴故B错误；

又对D选项，令等差数列的，

∵∴故D错误；

对C选项，∵∴，故C正确.

故选C.

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9.在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P-ABC的三视图的面积之和最大值为（    ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

【答案】C

【解析】

【分析】

依题意可知三棱锥的主视图与左视图的面积的都为，当与重合时三棱锥的俯视图面积最大，从而求出三视图的面积和的最大值；

【详解】解：由题意可知，在主视图中的射影是在上，

在主视图中，在平面上射影是，的射影到的距离是正方体的棱长；

左视图中，射影是在上，

在左视图中在平面三度射影是，的射影到的距离是正方体的棱长，

所以三棱锥的主视图与左视图的面积的都为；

当与重合时，三棱锥的俯视图为正方形，

其面积最大，最大值为，

故三棱锥P-ABC的三视图的面积之和最大值为；

故选：C

【点睛】本题考查了空间几何体的三视图面积计算应用问题，属于基础题．

10.若不等式对一切恒成立，则实数取值的集合（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先对二次项的系数分类讨论，进而利用一元二次不等式的解法解出即可．

【详解】解：①时，不等式化为对一切恒成立，因此满足题意；

②时，要使不等式对一切恒成立，则必有解得．

综上①②可知：实数取值的集合是．

故选：C．

【点睛】本题考查含参一元二次不等式恒成立问题，熟练掌握一元二次不等式的解法和分类讨论的思想方法是解题的关键，属于基础题．

11.已知，，，则的最小值是（    ）.

A. 3 B.  C.  D. 9

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知结合指数与对数的运算性质可得，从而，展开后利用基本不等式可得解．

【详解】，，，

所以，即，

所以，

则，

当且仅当且即，时取等号，

则的最小值是．

故选．

【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值，要注意应用条件的配凑．

12.如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与该正方体的上底面的四边相切， 与正方形的中心重合.将此组合体重新置于一个球中(球未画出)，使该正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为，若正四棱锥的表面积为，则球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

设球，半球的半径分别为，然后用含的式子表示出正方体的棱长与四棱锥的高和四棱锥侧面的高，从而由四棱锥的表面积求出，进而建立关于的方程，求得的值，最后利用球的表面积公式求解即可.

【详解】如图，

设球，半球的半径分别为， 由题意知正方体的棱长为，四棱锥为正四棱锥.设该正方体的底面的中心为，连接，则四棱锥的高，其各侧面的高为.由题意得，得.易知球的球心在线段上，连接，则在中， ，

于是由勾股定理，得

解得，所以球的表面积，

故选：B.

【点睛】本题考查四棱锥与球的表面积，考查学生的逻辑推理能力，空间想象能力和运算求解能力，属于中档题.

二､填空题(本大题共4小题，共20分)

13.数列的通项公式为，则使取最小值的值为______.

【答案】5

【解析】

【分析】

设为数列的最小项，则，代入数据解不等式组即可；

【详解】解：设为数列的最小项，则，代入数据可得，

解之可得，故n唯一可取的值为5.

故答案为：

【点睛】本题考查数列的单调性的应用，属于中档题.

14.在中，角所对的边分别为.若时，则的面积为______.

【答案】

【解析】

【分析】

结合正弦定理和同角三角函数的关系易得，，的值，又由求出的值，最后由正弦定理求出的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．

【详解】解：因为，且，解得或，

因为，

所以，

而，，所以，，

故

因为，，故，故.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了正弦定理、三角函数及三角恒等变换等知识点，同时考查了学生的基本运算能力和利用三角公式进行恒等变形的技能，属于中档题．

15.五一期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的高为 ，母线长为3，如图所示，为了美观需要，在底面圆周上找一点拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处，则彩绸长度的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

沿过点的圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开得到平面图形，根据两点间线段最短求线段的长度，在解三角形即可.

【详解】解：把圆锥沿过点的母线剪开，并铺平得扇形，如图所示，

这样把空间问题转化为平面问题，易知动点所经过的最短距离即为线段的长度，

由已知条件得底面圆半径，

扇形圆心角的弧度数为：

所以，

即彩绸最少要

故答案为：.

【点睛】考查圆锥底面圆周上一点绕圆锥侧面一周再回到该点的最短距离的求法，同时考查分析问题和运算求解能力；基础题

16.在锐角中，角的对边分别是，若，则角的取值范围是_____.

【答案】

【解析】

【分析】

先根据余弦定理得，再由是锐角三角形，列不等式解得，进而可得结论.

【详解】由余弦定理可将化为，即.

根据是锐角三角形，得，

又由根据余弦定理，得，即，

解得，由余弦定理得

所以，又，所以，即角的取值范围是.

【点睛】本题考查了利用余弦定理解三角形，锐角三角形的应用，属于中档题.

三､解答题(本大题共6小题，共70分)

17.已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】(1) ;(2) .

【解析】

试题分析：设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据，求出数列的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n项的和，注意利用等差数列和等比数列 的前n项和公式的使用.

试题解析：

（1）设数列公差为

成等比数列

（舍）或

.

（2）令

.

【点睛】本题是等差数列与等比数列及数列求和综合题，设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据，求出数列的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n项的和，注意利用等差数列和等比数列 的前n项和公式的使用.

18.已知△ABC的顶点C在直线上，顶点A、B的坐标分别为（4，2），

（0，5）．

（Ⅰ）求过点A且在轴上的截距相等的直线方程；

（Ⅱ）若△ABC的面积为10，求顶点C的坐标．

【答案】（1）或；（2）或

【解析】

【详解】试题分析：（1）截距相等分过原点和不过原点两种情况，利用点斜式求得直线方程为或；

（2）根据已知可设，求出点C到直线AB的距离，利用面积为10建立方程，即可得到C点坐标．

试题解析：

解：（Ⅰ）ⅰ）若所求直线过原点时，即；

ⅱ）截距不为0时，，即，

∴所求直线方程为或；

（Ⅱ）由顶点C在直线上，可设，

直线AB的方程为，     

则顶点C到直线AB的距离，

且，

即或，

故顶点C的坐标为或．

考点直线的方程，点到直线距离公式，三角形面积公式．

19.某单位决定投资元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每长造价元，两侧墙砌砖，每长造价元，

（1）求该仓库面积的最大值；

（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶.顶部每造价元，求仓库面积的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？

【答案】（1）.（2）的最大值是平方米，此时铁栅的长是米

【解析】

【分析】

设铁栅长米，一侧砖墙长为米，

（1）根据总投资额列方程，由此利用基本不等式求得取值范围，进而求得仓库面积的最大值.

（2）根据总投资额列方程，然后利用基本不等式进行化简，求得关于的不等式，解不等式求得的取值范围，并根据基本不等式等号成立的条件，求得此时正面铁栅的长.

【详解】设铁栅长为米，一侧砖墙长为米，仓库面积.

（1）

（2）依题设，得，

由基本不等式得，

则，即，故，从而，

所以的最大允许值是平方米.取得此最大值的条件是且，解得，即铁栅的长是米.

【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求解实际应用问题，属于中档题.

20.在中，点在边上，，，.

（1）求的值；

（2）若，求的长.

【答案】（1）.（2）

【解析】

【分析】

（1）利用同角三角函数的基本关系式求得，利用两角差的正弦公式求得.

（2）在用正弦定理求得，然后由余弦定理求得.

【详解】（1）因为，所以，

因为，所以，所以

.

（2）在中，由，得，

.

【点睛】本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.

21.已知在中，角的对边分别为,且.

（1）求的值；

（2）若,求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求的值，所以可以考虑到根据余弦定理将分别用边表示，再根据正弦定理可以将转化为，于是可以求出的值；（2）首先根据求出角的值，根据第（1）问得到的值，可以运用正弦定理求出外接圆半径，于是可以将转化为，又因为角的值已经得到，所以将转化为关于的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角的值后，应用余弦定理及重要不等式，求出的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.

试题解析：（1）由，

应用余弦定理，可得

化简得则                         

（2）

即          

  所以            

法一. ,

则

       =

       =

       =                           

又                 

法二

因为  由余弦定理

得，

又因为，当且仅当时“”成立.

所以     

又由三边关系定理可知

综上

22.若数列是公差为2的等差数列，数列满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.

（1）求数列,的通项公式；

（2）设数列满足，数列的前n项和为，若不等式

对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.

【答案】（1）；（2）(－2，3)．

【解析】

【分析】

（1）对于anbn＋bn＝nbn＋1.令n=1可求得a1＝1，由等差数列的通项公式可求得an＝2n－1．进而anbn＋bn＝nbn＋1可变为2bn＝bn＋1，可得数列为等比数列，由等比数列的通项公式可求得bn＝2n－1. （2）根据已知条件应先求得cn＝＝，由特点根据错位相减法可求得Tn＝4－.则不等式(－1)nλ<Tn＋，化为(－1)nλ<4－，对n分奇数、偶数讨论，根据不等式恒成立可求实数λ的取值范围．

【详解】(1) ∵数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.

∴ n＝1时，a1＋1＝2，解得a1＝1.

又数列{an}是公差为2的等差数列，

∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.    

∴ 2nbn＝nbn＋1，化为2bn＝bn＋1，

∴数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.

∴bn＝2n－1.

(2)由数列{cn}满足cn＝＝＝，数列{cn}的前n项和为

Tn＝1＋＋＋…＋，

∴ Tn＝＋＋…＋＋，

两式作差，得

∴Tn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－，

∴Tn＝4－.

不等式(－1)nλ<Tn＋，化为(－1)nλ<4－，

当n＝2k(k∈N*)时，λ<4－，取n＝2，

∴λ<3.

当n＝2k－1(k∈N*)时，－λ<4－，取n＝1，

∴λ>－2.

综上可得：实数λ的取值范围是(－2，3).

【点睛】⑴求等差数列、等比数列的通项公式、前n项和，应先求数列基本量首项和公差d与首项和公比q．

⑵根据不等式恒成立，求参数的取值范围．方法一，分离变量，转化为函数的最值问题；方法二，构造函数，求函数的最值．