高考数学二轮专题学与练 24 解答题解题方法与技巧（高考押题）（含解析）

这是一份高考数学二轮专题学与练 24 解答题解题方法与技巧（高考押题）（含解析），共25页。试卷主要包含了如图，已知椭圆E，已知椭圆M等内容，欢迎下载使用。
高考押题专练
1.在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b＝3，c＝2.
(1)若2a·cos C＝3，求a的值；
(2)若＝，求cos C的值．
【解析】(1)由余弦定理得，2a·＝3，
将b＝3，c＝2代入，解得a＝2.
(2)由正弦定理，得＝，
即sin C＋sin Ccos B＝sin Bcos C，
则sin C＝sin Bcos C－cos Bsin C＝sin(B－C)．
因为00)，B(x1，y1)，C(x2，y2)．
由消去x，得5m2y2＋9y2＝5a2，
所以y2＝.因为y2>0，所以y2＝.
因为＝，所以AB∥OC.可设直线AB的方程为x＝my－a.
由消去x，得(5m2＋9)y2－10amy＝0，
所以y＝0或y＝，得y1＝.
因为＝，所以(x1＋a，y1)＝，于是y2＝2y1，
即＝(m>0)，所以m＝.
所以直线AB的斜率为＝.
4．已知函数f(x)＝(a－3)x－a－2ln x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在(1，＋∞)上为单调增函数，求实数a的最小值；
(2)已知不等式f(x)＋3x≥0对任意x∈(0,1]都成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)法一：因为f′(x)＝a－3－(x>0),
当a≤3时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a＞3时，由f′(x)＜0，得0＜x＜，f(x)在上单调递减，
由f′(x)＞0，得x＞，f(x)在上单调递增.
因为函数f(x)在(1，＋∞)上为单调增函数，
所以a＞3且≤1，所以a≥5,
所以实数a的最小值为5.
法二：因为函数f(x)在(1，＋∞)上为单调增函数，
所以f′(x)＝a－3－≥0在(1，＋∞)上恒成立，
所以a≥3＋在(1，＋∞)上恒成立，
又当x＞1时，3＋＜5,
所以a≥5，
所以实数a的最小值为5.
(2)令g(x)＝f(x)＋3x＝a(x－1)－2ln x，x∈(0,1]，
所以g′(x)＝a－.
①当a≤2时，由于x∈(0,1]，所以≥2，
所以g′(x)≤0，g(x)在(0,1]上单调递减，
所以g(x)min＝g(1)＝0，所以对任意x∈(0,1]，g(x)≥g(1)＝0，
即对任意x∈(0,1]不等式f(x)＋3x≥0都成立，所以a≤2;
②当a＞2时，由g′(x)＜0，得0＜x＜，g(x)在上单调递减；
由g′(x)＞0，得x＞，g(x)在上单调递增．
所以，存在∈(0,1)，使得g＜g(1)＝0，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围为(－∞，2]．
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记集合M＝{n|n(n＋1)≥λan，n∈N*}，若M中有3个元素，求λ的取值范围；
(3)是否存在等差数列{bn}，使得a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1＝2n＋1－n－2对一切n∈N*都成立？若存在，求出bn；若不存在，说明理由．
【解析】(1)当n＝1时，S1＝2a1－1，得a1＝1.
当n≥2时，由Sn＝2an－1，①
得Sn－1＝2an－1－1，②
①－②，得an＝2an－1，即＝2(n≥2)．
因此{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n－1.
(2)由已知可得λ≤，令f(n)＝，
则f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝3，f(4)＝，f(5)＝，
下面研究f(n)＝的单调性，
因为f(n＋1)－f(n)＝－＝，
所以，当n≥3时，f(n＋1)－f(n)＜0，f(n＋1)＜f(n)，
即f(n)单调递减.
因为M中有3个元素，
所以不等式λ≤解的个数为3，所以2＜λ≤，即λ的取值范围为.
(3)设存在等差数列{bn}使得条件成立，
则当n＝1时，有a1b1＝22－1－2＝1，所以b1＝1.
当n＝2时，有a1b2＋a2b1＝23－2－2＝4，所以b2＝2.
所以等差数列{bn}的公差d＝1，所以bn＝n.
设S＝a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1，
S＝1·n＋2(n－1)＋22(n－2)＋…＋2n－2·2＋2n－1·1，③
所以2S＝2·n＋22(n－1)＋23(n－2)＋…＋2n－1·2＋2n·1，④
④－③，得
S＝－n＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n ＝－n＋＝2n＋1－n－2，
所以存在等差数列{bn}，且bn＝n满足题意．
6.如图，在四棱锥E­ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．

求证：(1)MN∥平面EBC；
(2)EA⊥平面EBC.
【证明】(1)取BE中点F，连结CF，MF，
又M是AE的中点，
所以MFAB.
又N是矩形ABCD边CD的中点，所以NCAB，所以MFNC，
所以四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF.

又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，
所以MN∥平面EBC.
(2)在矩形ABCD中，BC⊥AB，
又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB＝AB，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面EAB.
又EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA.
又EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，所以EA⊥平面EBC.
7．△ABC中，·＝S△ABC(S△ABC表示△ABC的面积)．
(1)若BC＝2，求△ABC外接圆的半径；
(2)若B－C＝，求sin B的值．
【解析】(1)因为·＝S△ABC，
所以AB·AC·cos A＝·AB·AC·sin A，
即cos A＝sin A，
又因为cos2A＋sin2A＝1，A∈(0，π)，
解得sin A＝，cos A＝.
设△ABC外接圆的半径为R，
则2R＝＝＝，
所以R＝，即△ABC外接圆的半径为.
(2)因为A＋B＋C＝π，
所以sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A＝，
cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A＝－，
则cos 2B＝cos[(B＋C)＋(B－C)]
＝cos
＝cos(B＋C)cos－sin(B＋C)sin
＝－×－×＝－.
又cos 2B＝1－2sin2B，
所以sin2B＝＝＝，
又因为B∈(0，π)，
所以sin B＞0，所以sin B＝.
8．如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB和曲线DE分别是顶点在路面A，E的抛物线的一部分，曲线BCD是圆弧，已知它们在接点B，D处的切线相同，若桥的最高点C到水平面的距离H＝6米，圆弧的弓高h＝1米，圆弧所对的弦长BD＝10米．

(1)求所在圆的半径；
(2)求桥底AE的长.
【解析】(1)设所在圆的半径为r(r>0)，
由题意得r2＝52＋(r－1)2，∴r＝13.
(2)以线段AE所在直线为x轴，线段AE的中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

∵H＝6米，BD＝10米，弓高h＝1米，
∴B(－5,5)，D(5,5)，C(0,6)，设所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则∴
∴的方程为x2＋(y＋7)2＝169(5≤y≤6)．
设曲线AB所在抛物线的方程为y＝a(x－m)2，
∵点B(－5,5)在曲线AB上，
∴5＝a(5＋m)2，①
又与曲线段AB在接点B处的切线相同，且在点B处的切线的斜率为，
由y＝a(x－m)2，得y′＝2a(x－m)，
∴2a(－5－m)＝，
∴2a(5＋m)＝－，②
由①②得m＝－29，
∴A(－29,0)，E(29,0).
∴桥底AE＝29－(－29)＝58米．
9.如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点A(－2,0)，且点在椭圆上，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k(k>0)的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C.

(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若△CF1F2为等腰三角形，求点B的坐标；
(3)若F1C⊥AB，求k的值．
【解析】(1)由题意得解得
∴椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)∵△CF1F2为等腰三角形，且k>0，
∴点C在x轴下方，
若F1C＝F2C，则C(0，－)；
若F1F2＝CF2，则CF2＝2，∴C(0，－)；
若F1C＝F1F2，则CF1＝2，∴C(0，－)，
∴C(0，－)．
∴直线BC的方程y＝(x－1)，
由得或
∴B.
(3)设直线AB的方程为y＝k(x＋2)，
由消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，
∴xA·xB＝－2xB＝，
∴xB＝，
∴yB＝k(xB＋2)＝，
∴B.
若k＝，则B，
∴C，
∵F1(－1,0)，∴kCF1＝－，
∴F1C与AB不垂直；
∴k≠，
∵F2(1,0)，kBF2＝，kCF1＝－，
∴直线BF2的方程为y＝(x－1)，
直线CF1的方程为y＝－(x＋1)，
由解得
∴C(8k2－1，－8k)．
由点C在椭圆上，得＋＝1，
即(24k2－1)(8k2＋9)＝0，即k2＝，
∵k>0，∴k＝.
10．数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝4－an.
(1)求证：数列{an}为等比数列，并求通项公式an；
(2)是否存在自然数c和k，使得＞1成立？若存在，请求出c和k的值； 若不存在，请说明理由．
【解析】(1)【证明】当n＝1时，S1＋a1＝4，得a1＝2,
由Sn＝4－an，①
得Sn＋1＝4－an＋1，②
②－①得，Sn＋1－Sn＝an－an＋1，即an＋1＝an,
所以＝，且a1＝2，
所以数列{an}是首项为2，公比为的等比数列，且an＝.
(2)法一：因为an＝，
所以ak＋1＝，Sk＝4，
要使＝>1成立，只要使c，且2≤Sk＜4，所以c的可能取值为0,1,2,3)
当c＝0时，10，n∈N*且数列{an}为递增数列，
由an＋1－an＝0)右焦点F(1,0)的直线与椭圆C交于A，B两点，自A，B向直线x＝5作垂线，垂足分别为A1，B1，且＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)记△AFA1，△FA1B1，△BFB1的面积分别为S1，S2，S3，证明是定值，并求出该定值．
【解析】(1)设A(x，y)，则|AA1|＝|5－x|，|AF|＝，由＝，得＋＝1，而A是椭圆C上的任一点，∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)【证明】由题意知，直线AB的斜率不可以为0，而可以不存在，∴可设直线AB的方程为x＝my＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(4m2＋5)y2＋8my－16＝0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝－.①
由题意，S1＝|AA1||y1|＝|5－x1||y1|，
S3＝|BB1||y2|＝|5－x2||y2|，
S2＝|A1B1|·4＝2|y1－y2|，
∴＝·
＝·
＝－·，
将①代入，化简并计算可得＝，
∴是定值，且该定值为.
24．设an＝xn，bn＝2，Sn为数列{an·bn}的前n项和，令fn(x)＝Sn－1，x∈R，n∈N*.
(1)若x＝2，求数列的前n项和Tn；
(2)求证：对任意n∈N*，方程fn(x)＝0在xn∈，1上有且仅有一个根；
(3)求证：对任意p∈N*，由(2)中xn构成的数列{xn}满足00，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
令fn(xn)＝0，当n≥2时，fn(1)＝＋＋…＋>0，即fn(1)>0.
又fn＝－1＋＋＋＋＋…＋≤－＋·i
＝－＋×
＝－×n－10时，∵fn＋1(x)＝fn(x)＋>fn(x)，∴fn＋1(xn)>fn(xn)＝fn＋1(xn＋1)＝0.
由fn＋1(x)在(0，＋∞)上单调递增，
可得xn＋10，
故数列{xn}为递减数列，
即对任意的n，p∈N*，xn－xn＋p>0.
由于fn(xn)＝－1＋xn＋＋＋…＋＝0，①
fn＋p(xn＋p)＝－1＋xn＋p＋＋＋…＋＋＝0，②
用①减去②并移项，利用0