高考数学二轮专题学与练 15 椭圆、双曲线、抛物线（高考押题）（含解析）

这是一份高考数学二轮专题学与练 15 椭圆、双曲线、抛物线（高考押题）（含解析），共17页。试卷主要包含了已知F1，F2为双曲线C，设F1，F2分别是双曲线C，已知直线y＝k与抛物线C等内容，欢迎下载使用。

高考押题专练
1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】C　
【解析】以F1，F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，又因为点(3，4)在圆上，所以32＋42＝c2，所以c＝5，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且点(3，4)在这条渐近线上，所以＝，又a2＋b2＝c2＝25，解得a＝3，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
2．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的(　　)
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
【答案】A　
【解析】由题设知F1(－3，0)，F2(3，0)，如图，

∵线段PF1的中点M在y轴上，
∴可设P(3，b)，
把P(3，b)代入椭圆＋＝1，得b2＝.
∴|PF1|＝＝，
|PF2|＝＝.
∴＝＝7.故选A.
3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B　
【解析】由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
⇒cos 60°＝
⇒|PF1|·|PF2|＝4.
4．设F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P在此双曲线上，且PF1⊥PF2，则双曲线C的离心率等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】B　
【解析】根据已知条件得：

即
∴解得a＝1，c＝.
∴双曲线C的离心率e＝＝.故选B.
5．已知抛物线C的顶点是椭圆＋＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F2重合，若抛物线C与该椭圆在第一象限的交点为P，椭圆的左焦点为F1，则|PF1|＝(　　)
A. B. C. D．2
【答案】B　
【解析】由椭圆的方程可得a2＝4，b2＝3，∴c＝＝1，故椭圆的右焦点F2为(1，0)，即抛物线C的焦点为(1，0)，∴＝1，∴p＝2，∴2p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝4x，联立
解得或
∵P为第一象限的点，∴P，
∴|PF2|＝1＋＝，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝4－＝，故选B.
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】B　
【解析】由题意得
⇒⇒c＝＝.
∴双曲线的焦距2c＝2.故选B.
7．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是(　　)
A．4 B．3 C．4 D．8
【答案】C　
【解析】∵y2＝4x，∴F(1，0)，l：x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：y＝(x－1)，与y2＝4x联立，解得x＝3或x＝(舍)，故A(3，2)，∴AK＝4，∴S△AKF＝×4×2＝4.故选C.
8．已知直线y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若＝2，则k＝(　　)
A. B. C. D.
【答案】B　
【解析】设A，B的纵坐标分别为y1，y2，
由＝2得y1＝2y2(如图)．

由y＝k(x＋1)得，x＝－1，代入C：y2＝4x并整理得ky2－4y＋4k＝0，
又y1，y2是该方程的两根，
∴
∴由①②得，2＝y＝.
∵k>0，∴k＝.故选B.
9．设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(c，0)(c>0)，方程ax2＋bx－c＝0的两实根分别为x1，x2，则P(x1，x2)(　　)
A．必在圆x2＋y2＝2内
B．必在圆x2＋y2＝2外
C．必在圆x2＋y2＝1外
D．必在圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝2形成的圆环之间
【答案】D　
【解析】椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(c，0)(c>0)，方程ax2＋bx－c＝0的两实根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝－，
x＋x＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝＋>＝1＋e2，
因为0 即0 所以1 所以x＋x>1，
又＋<＝2，
所以1 即点P在圆x2＋y2＝1与x2＋y2＝2形成的圆环之间．故选D.
10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2＝(a＋c)x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】D　
【解析】∵椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，∴A(a，0)，F(－c，0)．
∵抛物线y2＝(a＋c)x与椭圆交于B，C两点，
∴B，C两点关于x轴对称，可设B(m，n)，C(m，－n)．
∵四边形ABFC是菱形，
∴m＝(a－c)．
将B(m，n)代入抛物线方程，得
n2＝(a＋c)·(a－c)＝b2，
∴B，再代入椭圆方程，得＋＝1，
即·＝，
化简整理，得4e2－8e＋3＝0，解得e＝(e＝>1不符合题意，舍去)．故选D.
11．已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
【解析】由题意得|PA|＝|PB|，所以|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2.所以点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，
所以b＝，所以动点P的轨迹方程为＋＝1.
【答案】D
12．已知双曲线C：x2－＝1的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S△ABF＝(　　)
A. B.
C. D.
【解析】由双曲线C：x2－＝1，得a2＝1，b2＝3，故c＝＝2，
所以A(1，0)，F(2，0)，渐近线方程为y＝±x.
不妨设BF的方程为y＝(x－2)，
代入方程y＝－x，解得B(1，－)，
所以S△AFB＝|AF|·|yB|＝×1×＝.
【答案】B
13．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|等于________．
【解析】过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4.
又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ|′＝3.
【答案】3
14．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点M(1，t)(t＞0)到焦点的距离为5，双曲线－＝1(a＞0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为________．
【解析】由题设1＋＝5，所以p＝8.
不妨设点M在x轴上方，则M(1，4)，
由于双曲线的左顶点A(－a，0)，且AM平行一条渐近线，所以＝，则a＝3.
【答案】3
15．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．
【解析】方法一：由题意设F(c，0)，相应的渐近线方程为y＝x，根据题意得kPF＝－，设P，代入kPF＝－得x＝，则P，则线段PF的中点为，代入双曲线方程得－＝1，即－·＝1，∴e2＝2，∴e＝.
方法二：双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为±＝0，焦点F到渐近线的距离d＝＝b.设线段PF的中点M(x0，y0)，则其到两条渐近线的距离分别为b，，距离之积为，
又距离之积为·＝，
则＝，
∴＝，e＝.
【答案】　
16．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a＞0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．
【解析】将双曲线方程化为标准方程得－＝1，抛物线的准线为x＝－2a，联立解得x＝3a，
即点P的横坐标为3a.
而由
解得|PF2|＝6－a，
∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，解得a＝1，
∴抛物线的准线方程为x＝－2.
【答案】　x＝－2
17．设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．若＝6，则k的值为________．
【解析】依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)．如图，

设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2，则x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝.由＝6知x0－x1＝6(x2－x0)，得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝.由D在直线AB上知，x0＋2kx0＝2，x0＝，所以＝，化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝或k＝.
【答案】　或
18．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆＋＝1上，点P满足＝(λ－1)(λ∈R)，且·＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________．
【解析】∵＝(λ－1)，
∴＝λ，则O，P，A三点共线．
∵·＝72，∴||||＝72，
设线段OP与x轴的夹角为θ，设A(x，y)，B为点A在x轴的投影，
则线段OP在x轴上的投影长度为||cos θ＝＝72×
＝72×≤72×＝15.
当且仅当|x|＝时等号成立．
则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15.
【答案】15
19．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)，抛物线E：x2＝2py的焦点为M.
(1)若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；
(2)若直线MF与抛物线C交于A，B两点，求△OAB的面积．
【解析】(1)由题意得抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)，抛物线E：x2＝2py的焦点为M，所以p＝2，M(0，1)，
①当直线l的斜率不存在时，x＝0，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设方程为y＝kx＋1，代入y2＝4x，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，当k＝0时，x＝，满足题意，直线l的方程为y＝1；当k≠0时，Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，所以k＝1，方程为y＝x＋1，综上可得，直线l的方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.
(2)结合(1)知抛物线C的方程为y2＝4x，直线MF的方程为y＝－x＋1，
联立得y2＋4y－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4，
所以|y1－y2|＝4，
所以S△OAB＝|OF||y1－y2|＝2.
20．如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点相同，又椭圆C上有一点M(2，1)，直线l平行于OM且与椭圆C交于A，B两点，连接MA，MB.

(1)求椭圆C的方程；
(2)当MA，MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．
【解析】(1)抛物线y2＝4x的焦点为(，0)，又椭圆C上有一点M(2，1)，
由题意设椭圆方程为：＋＝1(a＞b＞0)，
则
解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)∵l∥OM⇒k1＝kO M＝，设直线在y轴上的截距为m，则直线l：y＝x＋m.
直线l与椭圆C交于A，B两点．
联立消去y得
x2＋2mx＋2m2－4＝0，∴Δ＝(2m)2－4(2m2－4)＝4(4－m2)＞0，
∴m的取值范围是{m|－2＜m＜2，且m≠0}，
设MA，MB的斜率分别为k1，k2，
∴k1＋k2＝0，
则A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1＝，k2＝，x1x2＝2m2－4，x1＋x2＝－2m，
∴k1＋k2＝＋
＝
＝
＝
＝＝0，
故MA，MB与x轴始终围成等腰三角形时，∴直线l在y轴上的截距m的取值范围是{m|－2＜m＜2，且m≠0}．
21．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆C经过点P.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程．
【解析】(1)由椭圆定义知，
2a＝|PF1|＋|PF2|
＝
＋＝2，
所以a＝.
又由已知，得c ＝1，
所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1.
设点Q的坐标为(x，y)．
①当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为.
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，则|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x.
又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.
由＝＋，得
＝＋，
即＝＋＝.①
将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得
(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②
由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6>0，
得k2>.
由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，
代入①中并化简，得x2＝.③
因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化简，
得10(y－2)2－3x2＝18.
由③及k2>，可知0 即x∈∪.
又点满足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈.
由题意知Q(x，y)在椭圆C内，
所以－1≤y≤1.
又由10(y－2)2＝18＋3x2有
(y－2)2∈，且－1≤y≤1，
则y∈.
所以点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，
其中x∈，y∈.
22．如图，已知M(x0，y0)是椭圆C：＋＝1上的任一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.

(1)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；
(2)试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
【解析】(1)证明：因为直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x与圆M相切，所以＝，
化简得：(x－2)k－2x0y0k1＋y－2＝0，
同理：(x－2)k－2x0y0k2＋y－2＝0，
所以k1，k2是方程(x－2)k2－2x0y0k＋y－2＝0的两个不相等的实数根，
所以k1·k2＝.
因为点M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，即y＝3－x，
所以k1k2＝＝－为定值．
(2)|OP|2＋|OQ|2是定值，定值为9.
理由如下：
方法一：①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立解得
所以x＋y＝，同理得x＋y＝，
又因为k1k2＝－，
所以|OP|2＋|OQ|2＝x＋y＋x＋y
＝＋
＝＋
＝＝9.
②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有|OP|2＋|OQ|2＝9，
综上：|OP|2＋|OQ|2＝9为定值．
方法二：①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为k1k2＝－，所以yy＝xx，
因为P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆C上，
所以即
所以
＝xx，整理得x＋x＝6，
所以y＋y＝＋＝3，所以|OP|2＋|OQ|2＝9.
②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有|OP|2＋|OQ|2＝9，
综上：|OP|2＋|OQ|2＝9为定值．
23．已知动点P到定点F(1，0)和到直线x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx＋n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点(与A，B不重合)．
(1)求曲线E的方程；
(2)当直线l与圆x2＋y2＝1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．
【解析】(1)设点P(x，y)，由题意可得，
＝，
整理可得＋y2＝1.
∴曲线E的方程是＋y2＝1.
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由已知可得|AB|＝.
当m＝0时，不合题意．
当m≠0时，由直线l与圆x2＋y2＝1相切，可得＝1，即m2＋1＝n2.
联立消去y得x2＋2mnx＋n2－1＝0，
∴Δ＝4m2n2－4(n2－1)＝2m2＞0，
则x1＝，x2＝，
∴S四边形ACBD＝|AB||x2－x1|＝＝≤，
当且仅当2|m|＝，即m＝±时等号成立，此时n＝±，经检验可知，直线y＝x－和直线y＝－x＋符合题意．
24．如图，已知抛物线C：y2＝4x，过点A(1，2)作抛物线C的弦AP，AQ.

(1)若AP⊥AQ，证明：直线PQ过定点，并求出定点的坐标；
(2)假设直线PQ过点T(5，－2)，请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的个数，若不存在，请说明理由．
【解析】(1)设直线PQ的方程为x＝my＋n，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由得y2－4my－4n＝0.
由Δ>0，得m2＋n>0，
y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4n.
∵AP⊥AQ，∴·＝0，
∴(x1－1)(x2－1)＋(y1－2)(y2－2)＝0.
又x1＝，x2＝，
∴(y1－2)(y2－2)[(y1＋2)(y2＋2)＋16]＝0，
∴(y1－2)(y2－2)＝0或(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0.
∴n＝－2m＋1或n＝2m＋5.
∵Δ>0恒成立，∴n＝2m＋5.
∴直线PQ的方程为x－5＝m(y＋2)，
∴直线PQ过定点(5，－2)．
(2)假设存在以PQ为底边的等腰三角形APQ.
设直线PQ的方程为x＝my＋n.
∵直线PQ过点T(5，－2)，
∴5＝m·(－2)＋n，
∴n＝2m＋5.
∴直线PQ的方程为x＝my＋2m＋5.
设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由得
y2－4my－8m－20＝0.
∴y1＋y2＝4m，y1·y2＝－8m－20.
∵PQ的中点坐标为
M，
即M，
且＝
＝2m2＋2m＋5，
∴PQ的中点坐标为M(2m2＋2m＋5，2m)．
由已知得＝－m，
即m3＋m2＋3m－1＝0.
设g(m)＝m3＋m2＋3m－1，
则g′(m)＝3m2＋2m＋3>0，
∴g(m)在R上是增函数．
又g(0)＝－1<0，g(1)＝4>0，
∴g(m)在(0，1)内有一个零点．
∴函数g(m)在R上有且只有一个零点，即方程m3＋m2＋3m－1＝0在R上有唯一实根，
∴满足条件的等腰三角形有且只有一个．
25.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．
(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；
(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．
【解析】(1)∵AB∥l，∴|AB|＝2p.
又|FD|＝p，∴S△ABD＝p2＝1.
∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)证明：设直线AB的方程为y＝kx＋，
由消去y得，x2－2kpx－p2＝0.∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.
其中A，B.
∴M，N.
∴kAN＝＝＝＝＝.
又x2＝2py即y＝，∴y′＝.
∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝.∴直线AN与抛物线相切．
26．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率等于，P是椭圆E上的点．以线段PF1为直径的圆经过F2，且9·＝1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)作直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N.如果线段MN被直线2x＋1＝0平分，求直线l的倾斜角的取值范围．
【解析】(1)依题意，设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c.
∵椭圆E的离心率等于，
∴c＝a，b2＝a2－c2＝.
∵以线段PF1为直径的圆经过F2，
∴PF2⊥F1F2.∴|PF2|＝.
∵9·＝1，∴9||2＝＝1.
由得∴椭圆E的方程为＋x2＝1.
(2)∵直线2x＋1＝0即x＝－与x轴垂直，且由已知得直线l与直线x＝－相交，
∴直线l不可能与x轴垂直，
∴设直线l的方程为y＝kx＋m.
由得(k2＋9)x2＋2kmx＋(m2－9)＝0.
∵直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N，
∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)>0，即m2－k2－9<0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.
∵线段MN被直线2x＋1＝0平分，
∴2×＋1＝0，即＋1＝0.
由得2－(k2＋9)<0.
∵k2＋9>0，∴－1<0，
∴k2>3，解得k>或k<－.
∴直线l的倾斜角的取值范围为∪.