高考数学二轮专题学与练 08 平面向量（高考押题）（含解析）

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高考押题专练
1．已知向量，满足，，且与的夹角为，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】.故选A.
2．在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若＝m＋n(m，n∈R)，则＝(　　)
A．－3　　　 B．－
C. D．3
【解析】过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，所以m＋n＝＝＝＋＝－＋＝－＋，所以＝＝－3.
【答案】A
3．已知向量a＝(x，)，b＝(x，－)，若(2a＋b)⊥b，则|a|＝(　　)
A．1 B.
C. D．2
【解析】因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，即(3x，)·(x，－)＝3x2－3＝0，解得x＝±1，所以a＝(±1，)，|a|＝＝2，故选D.
【答案】D
4．已知向量a＝(m,1)，b＝(m，－1)，且|a＋b|＝|a－b|，则|a|＝(　　)
A．1 B.
C. D．4
【解析】∵a＝(m,1)，b＝(m，－1)，∴a＋b＝(2m,0)，a－b＝(0,2)，又|a＋b|＝|a－b|，∴|2m|＝2，∴m＝±1，∴|a|＝＝.故选C.
【答案】C
5．已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若|＋|＝|－|(O为坐标原点)，则锐角θ＝(　　)
A. B.
C. D.
【解析】法一　＋是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量，－是对角线向量，由已知可得，对角线相等，则平行四边形OADB为矩形．故OA⊥OB.因此·＝0，所以sinθ－cosθ＝0，所以锐角θ＝.
法二　＋＝(sinθ－1，cosθ＋1)，－＝(－sinθ－1，cosθ－1)，由|＋|＝|－|可得(sinθ－1)2＋(cosθ＋1)2＝2＋(cosθ－1)2，整理得sinθ＝cosθ，于是锐角θ＝.
【答案】C
6．在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝30°，CD是边AB上的高，则·＝(　　)
A．－ B.
C. D．－
【解析】依题意得||＝，·＝0，·＝·(＋)＝·＋·＝·＝||·||·cos60°＝3××＝，故选B.
【答案】B
7．已知平面向量a，b的夹角为，则|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】法一　因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos＝3，所以|a＋2b|＝，又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos＋2×＝＋＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为.故选A.
法二　设a＝(1,0)，b＝＝，则(a＋2b)·b＝·＝，|a＋2b|＝＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为，故选A.
【答案】A
8．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
【解析】(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，∵－＝，∴(－)·(＋)＝0，即||＝||，∴△ABC是等腰三角形，故选A.
【答案】A
9．△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足AB＝2a，＝2a＋b，则向量a，b的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【解析】设向量a，b的夹角为θ，＝－＝2a＋b－2a＝b，∴||＝|b|＝2，||＝2|a|＝2，∴|a|＝1，2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝8＋8cosθ＝4，∴cosθ＝－，θ＝120°.
【答案】C
10．称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则(　　)
A．a⊥b B．b⊥(a－b)
C．a⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
【解析】由于d(a，b)＝|a－b|，因此对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0对任意的t∈R都成立，因此有(－2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，得a·b－1＝0，故a·b－b2＝b·(a－b)＝0，故b⊥(a－b)．
【答案】B
11．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足||＝，则·的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】以等腰直角三角形的直角边BC为x轴，BA为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.

设M(a,2－a)，则0