(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第8章 阅读与欣赏(七)　确定球心位置的三种方法 (含解析)

确定球心位置的三种方法

决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．

方法一　由球的定义确定球心

若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．

(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；

(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；

(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；

(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；

(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．

　已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是(　　)

A．16π　　　　　　　 B．20π

C．24π  D．32π

【解析】　已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为＝2，则半径为，故球的表面积为24π，故选C．

【答案】　C

方法二　构造长方体或正方体确定球心

(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；

(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；

(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；

(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．

　如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为(　　)

A．　　  B．

C．　　  D．

【解析】　易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，球的半径为r＝ ＝.故选B．

【答案】　B

方法三　由性质确定球心

利用球心O与截面圆圆心O′的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．

　正三棱锥A­BCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为________．

【解析】　如图，M为底面△BCD的中心，易知AM⊥MD，DM＝1，AM＝.在Rt△DOM中，OD2＝OM2＋MD2，即OD2＝(－OD)2＋1，解得OD＝，故球O的表面积为4π×＝π.

【答案】　π