新高考数学一轮复习学案第8章阅读与欣赏(七)确定球心位置的三种方法（含解析）

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决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．
方法一 由球的定义确定球心
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．
(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；
(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；
(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；
(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A．16π B．20π
C．24π D．32π
【解析】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为eq \r(22＋22＋42)＝2eq \r(6)，则半径为eq \r(6)，故球的表面积为24π，故选C．
【答案】 C
方法二 构造长方体或正方体确定球心
(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；
(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；
(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；
(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．
如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为( )
A．eq \r(2) B．eq \f(\r(6),2)
C．eq \f(\r(11),2) D．eq \f(\r(5),2)
【解析】 易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，球的半径为r＝eq \f(1,2) eq \r(12＋12＋22)＝eq \f(\r(6),2).故选B．
【答案】 B
方法三 由性质确定球心
利用球心O与截面圆圆心O′的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．
正三棱锥A­BCD内接于球O，且底面边长为eq \r(3)，侧棱长为2，则球O的表面积为________．
【解析】 如图，M为底面△BCD的中心，易知AM⊥MD，DM＝1，AM＝eq \r(3).在Rt△DOM中，OD2＝OM2＋MD2，即OD2＝(eq \r(3)－OD)2＋1，解得OD＝eq \f(2\r(3),3)，故球O的表面积为4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(16,3)π.
【答案】 eq \f(16,3)π