(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第5章 阅读与欣赏(四)　三角函数中ω值的求法 (含解析)

三角函数中ω值的求法

一、利用三角函数的周期T求解

为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　)

A．98π   B．π

C．π  D．100π

【解析】　由题意，至少出现50次最大值即至少需要49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.

【答案】　B

解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系．

二、利用三角函数的对称性求解

若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是________．

【解析】　令＋2kπ≤ωx≤π＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因为f(x)在上单调递减，

所以得6k＋≤ω≤4k＋3.又ω>0，所以k≥0，又6k＋<4k＋3，得0≤k<，所以k＝0.即≤ω≤3.

【答案】　

根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围．　

三、利用三角函数的对称性求解

(1)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴为x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　)

A．最小值2  B．最大值2

C．最小值1  D．最大值1

(2)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为________．

【解析】　(1)因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以中心到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－＝＋(k∈N，T为周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝，所以(2k＋1)·＝π，则ω＝2(2k＋1)，当k＝0时，ω＝2最小．故选A．

(2)依题意得cos＝0，则＋＝＋kπ(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ω的最小值为＝2.

【答案】　(1)A　(2)2

三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值．值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称中心就是其图象与x轴的交点，这就说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“ω”的取值．

四、利用三角函数的最值求解

已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．

【解析】　显然ω≠0.

若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.

若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2.所以ω≤－，解得ω≤－2.

综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪.

【答案】　(－∞，－2]∪

利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．