(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第5章 第1讲　高效演练分层突破 (含解析)

[基础题组练]

1．(多选)下列与角的终边相同的角是(　　)

A．  B．2kπ－(k∈Z)

C．2kπ＋(k∈Z)  D．(2k＋1)π＋(k∈Z)

解析：选AC．与角的终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，k＝2时，4π＋＝π.

2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选B．由题意知tan α＜0，cos α＜0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B．

3．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　)

A．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}

B．{α|α＝k·2π＋，k∈Z}

C．{α|α＝k·180°＋，k∈Z}

D．{α|α＝k·π－，k∈Z}

解析：选D．由图知，角α的取值集合为{α|α＝2nπ＋，n∈Z}∪{α|α＝2nπ－，n∈Z}

＝{α|α＝(2n＋1)π－，n∈Z}∪{α|α＝2nπ－，n∈Z}

＝{α|α＝kπ－，k∈Z}．

4．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为(　　)

A．(1，)  B．(，1)

C．(，)  D．(1，1)

解析：选D．设点P的坐标为(x，y)，

则由三角函数的定义得

即

故点P的坐标为(1，1)．

5．已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x的可能区间是(　　)

A．   B．

C．   D．

解析：选D．由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，可得sin x－cos x<0，即sin x<cos x，所以－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，x所在的一个区间是.

6．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝________．

解析：因为cos α＝＝x，所以x＝0或x＝或x＝－，又α是第二象限角，所以x＝－.

答案：－

7．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．

解析：设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，所以正方形边长为r，所以圆心角的弧度数是＝.

答案：

8．已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．

解析：因为θ＝，故P，故α为第四象限角且cos α＝，所以α＝2kπ＋，k∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为.

答案：

9．已知＝－，且lg(cos α)有意义．

(1)试判断角α所在的象限；

(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．

解：(1)由＝－，得sin α<0，

由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，

所以α是第四象限角．

(2)因为|OM|＝1，所以＋m2＝1，解得m＝±.

又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，

sin α＝＝＝＝－.

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．

(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；

(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．

解：(1)由题意可得B，

根据三角函数的定义得tan α＝＝－.

(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，

故与角α终边相同的角β的集合为

.

[综合题组练]

1．(2020·河北唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝(　　)

A．  B．－ 

C．  D．－

解析：选A．由三角函数定义得tan α＝，即＝，得3cos α＝2sin2α＝2(1－cos2α)，解得cos α＝或cos α＝－2(舍去)．故选A．

2．(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α<cos α<sin α，则P所在的圆弧是(　　)

A．   B． 

C．   D．

解析：选C．设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得<x<y，所以x<0，y>0，所以P所在的圆弧是，故选C．

3．(创新型)已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．

解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，

则＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，

所以S1＝tm·r－S扇形AOB，S2＝tm·r－S扇形AOB，

所以S1＝S2恒成立．

答案：S1＝S2

4．(创新型)(2020·四川乐山、峨眉山二模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．

解析：由题意可得∠AOB＝，OA＝4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝OA＝×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD＝AOsin ＝4×＝2，可得弦AB＝2AD＝4.所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2.

答案：4＋2

5．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．

(1)求sin θ＋cos θ的值；

(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．

解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，

所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，

当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－.

当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝.

(2)当a＞0时，sin θ＝∈，

cos θ＝－∈，

则cos(sin θ)·sin(cos θ)

＝cos ·sin＜0；

当a＜0时，sin θ＝－∈，

cos θ＝∈，

则cos(sin θ)·sin(cos θ)

＝cos·sin ＞0.

综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．

6．(创新型)在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？

解：因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，

所以A＝B＝30°＝，AM＝BN＝1，AD＝2，

所以方案一中扇形的弧长＝2×＝；方案二中扇形的弧长＝1×＝；

方案一中扇形的面积＝×2×2×＝，方案二中扇形的面积＝×1×1×＝.

由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．