(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第1章 第2讲　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 (含解析)

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第2讲　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词


一、知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
[注意]　不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．
2．全称命题和特称命题
(1)全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
∃
(2)全称命题和特称命题
　　名称
形式　　
全称命题
特称命题
结构
对M中任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，﹁p(x0)
∀x∈M，﹁p(x)
常用结论
1．从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．全称命题与特称命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
二、教材衍化
1．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B．若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B．
2．命题“∃x0∈R，log2x0＋2<0”的否定是________________________．
答案：∀x∈R，log2x＋2≥0

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)
(2)q不是p的必要条件时，“p q”成立．(　　)
(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　)
(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁ p(x)的真假性相反．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
二、易错纠偏
(1)全称命题或特称命题的否定出错；
(2)对充分必要条件判断错误．
1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是__________________________．
答案：存在两个全等三角形的面积不相等
2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________条件．
答案：必要不充分

考点一　全称命题与特称命题(基础型)
理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
核心素养：数学抽象
1．(2020·西安模拟)命题“∀x＞0，＞0”的否定是(　　)
A．∃x＜0，≤0 B．∃x＞0，0≤x≤1
C．∀x＞0，≤0 D．∀x＜0，0≤x≤1
解析：选B．因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0，0≤x≤1，故选B．
2．下列命题中的假命题是(　　)
A．∀x∈R，ex＞0 B．∀x∈N，x2＞0
C．∃x0∈R，ln x0＜1 D．∃x0∈N*，sin x0＝1
解析：选B．对于B．当x＝0时，x2＝0，因此B中命题是假命题．
3．已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为　(　　)
A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
解析：选D．由特称命题的否定可得﹁p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．
4．(2020·宁夏石嘴山期中)若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是______．
解析：因为命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”为假命题，所以命题“∀t∈R，t2－2t－a≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.
答案：(－∞，－1]

(1)全称命题与特称命题的否定
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
(2)全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题为真
否定为假
假
存在一个对象使命题为假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题为真
否定为假
假
所有对象使命题为假
否定为真
[提醒]　因为命题p与﹁p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．
考点二　充分条件、必要条件的判断(基础型)
理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
核心素养：逻辑推理
(1)(2020·烟台模拟)已知a，b都是实数，那么“b>a>0”是“>”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2020·佛山模拟)已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　(1)若>，则－＝>0.当0成立；当a>0，b<0时，满足>，但0a>0”是“>”的充分不必要条件，故选A．
(2)当x－2＝时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q的充要条件，故选C．
【答案】　(1)A　(2)C

充分条件、必要条件的2种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．
[提醒]　判断充要条件需注意3点
(1)要分清条件与结论分别是什么．
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．
(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．

1．(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B．由x2－5x<0可得0 2．(2020·安徽淮南二模)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A．当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；
若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合．
综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A．
考点三　充分条件、必要条件的探求及应用(综合型)
复习指导寻求充分、必要条件的思路
(1)寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p；
(2)寻求q的必要条件p，即求使q为条件可推出的结论p.
已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若p是q的必要条件，求m的取值范围．
【解】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由p是q的必要条件，知S⊆P.
则所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，p是q的必要条件，
即所求m的取值范围是[0，3]．
【迁移探究】　(变结论)若本例条件不变，问是否存在实数m，使p是q的充要条件．
解：若p是q的充要条件，则P＝S，
所以所以
即不存在实数m，使p是q的充要条件．

根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．

1．命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥9 B．a≤9
C．a≥10 D．a≤10
解析：选C．命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a.则a≥10是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C．
2．若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．
解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.
因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，
所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.
答案：3

[基础题组练]
1．(2020·安徽蚌埠第一次教学质量检查)命题p：存在常数列不是等比数列，则命题﹁p为(　　)
A．任意常数列不是等比数列
B．存在常数列是等比数列
C．任意常数列都是等比数列
D．不存在常数列是等比数列
解析：选C．因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数列不是等比数列的否定命题﹁p：任意常数列都是等比数列，故选C．
2．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC” 是“A∩B＝∅”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A．由A⊆C，B⊆∁UC，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁UC，如图所示，

所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．
3．已知f(x)＝sin x－x，命题p：∃x∈，f(x)<0，则(　　)
A．p是假命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0
B．p是假命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0
C．p是真命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0
D．p是真命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0
解析：选C．易知f′(x)＝cos x－1<0，所以f(x)在上是减函数，因为f(0)＝0，所以f(x)<0，所以命题p：∃x∈，f(x)<0是真命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0，故选C．
4．(2020·郑州模拟)设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B．由b＝c，得b－c＝0，得a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．
5．(2020·宁夏银川一中模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B．“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选B．
6．已知命题“∃x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，3)
C．(－3，＋∞) D．(－3，1)
解析：选B．原命题的否定为∀x∈R，2x2＋(a－1)x＋>0，由题意知，其为真命题，则Δ＝(a－1)2－4×2×<0，则－2 7．(多选)已知a，b，c是实数，下列结论中正确的是(　　)
A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件
B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件
C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件
D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件
解析：选CD．对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2>b2，但是ab，但是a2bc2得c≠0，则有a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|>|b|成立，但是ab，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选CD．
8．(多选)(2021·预测)下列命题说法错误的是(　　)
A．∃x0∈R，ex0≤0
B．∀x∈R，2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1
解析：选ABC．根据指数函数的性质可得ex>0，故A错误；x＝2时，2x>x2不成立，故B错误；当a＝b＝0时，没有意义，故C错误； 因为“x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1”的逆否命题为“x，y都小于等于1，则x＋y≤2”，是真命题，所以原命题为真命题，故选ABC．
9．若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，>x＋1”，则命题p可写为____________________．
解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
答案：∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
10．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．
解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为0 答案：充要
11．条件p：x>a，条件q：x≥2.
(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是___________________________；
(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是____________________________．
解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}，
(1)因为p是q的充分不必要条件，
所以AB，所以a≥2；
(2)因为p是q的必要不充分条件，
所以BA，所以a<2.
答案：(1)[2，＋∞)　(2)(－∞，2)
12．已知集合A＝{x|a－2 解析：A∩B＝∅⇔⇔0≤a≤2.
答案：[0，2]
[综合题组练]
1．(2020·辽宁丹东质量测试(一))已知x，y∈R，则“x＋y≤1”是“x≤且y≤”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B．当“x＋y≤1”时，如x＝－4，y＝1，满足x＋y≤1，但不满足“x≤且y≤”．当“x≤且y≤”时，根据不等式的性质有“x＋y≤1”．故“x＋y≤1”是“x≤且y≤”的必要不充分条件．故选B．
2．(2020·湖南雅礼中学3月月考)若关于x的不等式|x－1| A．a≤1 B．a<1
C．a>3 D．a≥3
解析：选D．|x－1| 3．设p：－0)；q：x<或x>1，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______．
解析：因为p是q的充分不必要条件，又m>0，所以≤，所以0 答案：(0，2]
4．若∃x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．
解析：因为∃x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立是假命题，所以∀x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈，使得λ≤2x＋恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋，则f′(x)＝2－，当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，所以f(x)≥f＝2，则λ≤2.
答案：(－∞，2]