（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点46 抽样方法 (含解析)

这是一份（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点46 抽样方法 (含解析)，共9页。试卷主要包含了简单随机抽样，抽签法，随机数法，系统抽样，分层抽样，三种抽样方法的比较等内容，欢迎下载使用。
考点四十六  抽样方法知识梳理1．简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样．常用方法：抽签法和随机数法．(2)简单随机抽样特点①总体个数较少；②简单随机抽样是逐个不放回抽样；③每个个体被抽到的概率相等，都为．2．抽签法一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，充分搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，这样就得到一个容量为n的样本．抽签法适用于总体中个体数较少的情况，一个抽样实验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．3．随机数法随机数法也就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．随机数法的步骤：①将总体中的N个个体编号；②在随机数表中选择开始数字；③按某个方向读数获取样本号码．随机数法适用于总体中个体数较多的情况，简单易行，它很好地解决了抽签法在总体个数较多时制签难的问题，但是当总体中的个体很多，需要的样本容量也很大时，用随机数法抽取样本仍不方便．4．系统抽样(1)步骤：①先将总体的N个个体编号；②根据样本容量n，当是整数时，取分段间隔k＝；③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；④按照一定的规则抽取样本．(2)适用范围：适用于总体中的个体数较多时．(3)系统抽样是等距离抽样．5．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时．(3) 分层抽样中，每层抽取的个体的比例是相同的，即.6．三种抽样方法的比较类别各自特点相互联系适用范围共同点简单随机抽样从总体中逐个抽取最基本的抽样方法总体中的个体数较少抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等系统抽样将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，按各层个体数之比抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成典例剖析题型一  简单随机抽样例1　(2013·高考江西卷)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________． 7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　01983204　9234　4935　8200　3623　4869　6938　7481答案  01解析  由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08，02，14，07，01，所以第5个个体的编号是01.变式训练  下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有________．①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；②箱子里有100支铅笔，今从中选取10支进行检验．在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本．答案  0个解析  ①不满足样本的总体数较少的特点；②不满足不放回抽取的特点；③不满足逐个抽取的特点．解题要点  简单随机抽样特点：①总体个数较少；②简单随机抽样是逐个不放回抽样；③每个个体被抽到的概率相等．题型二  系统抽样例2　为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是________．(填序号)①     5，10，15，20，25；② 2，4，8，16，32；③ 1，2，3，4，5；④ 7，17，27，37，47.答案  ④解析  利用系统抽样，把编号分为5段，每段10袋，每段抽取一袋，号码间隔为10，故选④.变式训练  将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在A营区，从301到495在B营区，从496到600在C营区，三个营区被抽中的人数依次为________．答案  25，17，8解析  依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤，因此A营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得<k≤42，因此B营区被抽中的人数是42－25＝17.解题要点  系统抽样是等距离抽样，假设第1段抽取的个体编号为l(l≤k)，分段间隔为k(k∈N*)，则将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加上k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本． 题型三  分层抽样例3　(1)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．(2) 某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生人数如下表： 高一年级高二年级高三年级女生523xy男生487490z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17.若现需对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为________．答案  (1)60    (2) 99解析  (1)根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60.(2) 由题设可知＝0.17，∴  x＝510.∴高三年级人数为y＋z＝3 000－(523＋487＋490＋510)＝990，现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为×990＝99.变式训练  某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝________．答案  90解析  依题意得×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.解题要点  分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式计算：(1)＝；(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．题型四  抽样方法选取问题例4　某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________．答案  分层抽样法解析  从全体学生中抽取100名应用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取．变式训练  某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150,120,180,150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是________．答案  分层抽样法，简单随机抽样法解析  一般甲、乙、丙、丁四个地区会存在差异，采用分层抽样法较好．在丙地区中抽取的样本个数较少，易采用简单随机抽样法．解题要点  正确把握三种抽样方法的适用范围及特点是解题的关键．当总体中的个体个数较少时，通常采用简单随机抽样，一般可用从总体中逐个抽取的方法；当总体中的个体个数较多且均衡时，通常采用系统抽样，将总体平均分成几部分，按一定的规则分别在各部分中抽取；当总体是由差异明显的几部分组成时，则采用分层抽样，将总体按差异分成几层，按分层个体数之比抽取．当堂练习1．（2015四川文）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是________．答案　分层抽样法解析　结合几种抽样的定义.2．（2015北京文）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为________．类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600合计4 300答案　180解析　由题意抽样比为＝，∴该样本的老年教师人数为900×＝180(人)．3. （2015湖南文）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．答案　4解析　由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名.4．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是________．答案  3,13,23,33,43解析  间隔距离为10，故可能编号是3,13,23,33,43.5．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，应该在这三校分别抽取的学生人数是________．答案  30,45,15解析  抽取比例是＝，故三校分别抽取的学生人数为3 600×＝30,5 400×＝45,1 800×＝15.课后作业一、    填空题1．(2014·四川文)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是________．答案　总体解析　5 000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200是样本容量.2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是________．答案  按学段分层抽样解析  因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．3． (2014年重庆卷)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为________．答案  100解析 由分层抽样的特点可知＝，得n＝100.4．为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是________．答案  7,17,27,37,47解析  利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取1个，号码间隔为10.5．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝________．答案 90解析 依题意得×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.6．用系统抽样法(按等距离的规则)，要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按抽签方法确定的号码是________．答案  5解析  设第一组确定的号码是x，则x＋(16－1)×8＝125，解得x＝5.7．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________． 一年级二年级三年级女生373xy男生377370z答案  16解析  由题意得＝0.19，得x＝380.∴三年级的人数为2 000－373－377－380－370＝500，由分层抽样的特点可知＝，得n＝16.8．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为________．答案 10解析 由已知条件可知，应该把总体分成32组，每组＝30人，根据系统抽样的方法可知，i＝9，k＝30，在第1组到第32组依次抽取到的是9,9＋30，9＋2×30，…，9＋31×30，由于9＋15×30＝459，而9＋24×30＝729，故而有24－15＋1＝10人.9．（2015福建文）某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．答案　25解析　由题意知，男生共有500名，根据分层抽样的特点，在容量为45的样本中男生应抽取人数：45×＝25.10．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取__________名学生．答案 15解析 高二年级学生人数占总学生人数的，样本容量为50，则50×＝15，所以从高二年级抽取15名学生．11．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查某维生素是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第1组抽出的号码是11，则第61组抽出的号码为________．答案 1 211解析 ∵＝20，∴需把3 000袋奶粉按0,1,2,3，…，2 999编号，然后分成150组，每组20个号码．∴第61组抽出的号码为11＋(61－1)×20＝1 211.二、解答题12．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解析　(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．所以P(B)＝＝.13．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别ABC产品数量(件) 1 300 样本容量(件) 130 由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，求C产品的数量．解析  设C产品的数量为x，则A产品的数量为1 700－x，C产品的样本容量为a，则A产品的样本容量为10＋a，由分层抽样的定义可知＝＝，得x＝800.∴C产品的数量为800.