2022年上海市松江区高考数学二模试卷

这是一份2022年上海市松江区高考数学二模试卷，共17页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年上海市松江区高考数学二模试卷
一、填空题
1．已知集合A＝（﹣3，3），集合B＝{0，1，2，3，4，5}，则A∩B＝　 　．
2．若复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝　 　．
3．在△ABC中，若，则sinA＝　 　．
4．若函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的反函数的图像经过点（4，2），则a＝　 　．
5．在的展开式中，含x3的系数为 　 　．
6．若实数x、y满足约束条件，则z＝3x+y的最小值是 　 　．
7．从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为 　 　．
8．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E是D1C1的中点，则异面直线A1C1与DE所成角的大小为 　 　．（结果用反三角函数表示）

9．已知正实数a、b满足a+b+4＝2ab，则a+b的最小值为 　 　．
10．已知数列{an}的首项a1＝2，且对任意的n∈N*，都有，则＝　 　．
11．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM斜率的最大值为 　 　．
12．已知函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且满足g（2+x）＝g（2﹣x），当x∈[0，2]时，g（x）＝log2（x+1）．则当x∈[0，2022]时，方程f（x）＝g（x）实根的个数为 　 　．
二、选择题
13．下列函数中，与函数y＝x3的奇偶性和单调性都一致的函数是（　　）
A．y＝x2 B．y＝x+sinx C．y＝2|x| D．y＝tanx
14．在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给A选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分．则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
15．设函数图像的一条对称轴方程为，若x1、x2是函数f（x）的两个不同的零点，则|x1﹣x2|的最小值为（　　）
A． B． C． D．π
16．已知正方形ABCD的边长为4，点M、N分别在边AD、BC上，且AM＝1，BN＝2，若点P在正方形ABCD的边上，则的取值范围是（　　）
A．[﹣6，6] B．[﹣6，2] C．[﹣2，6] D．[﹣2，2]
三、解答题
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，，F是PD的中点，点E在棱CD上．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的全面积；
（2）求证：PE⊥AF．

18．在等差数列{an}中，已知a1+a2＝10，a3+a4+a5＝30．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an+bn}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn．
19．如图，农户在AB＝100米、BC＝80米的长方形地块ABCD上种植向日葵，并在A处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况．监控摄像头可捕捉到图像的角度范围为∠PAQ＝45°，其中点P、Q分别在长方形的边BC、CD上，监控的区域为四边形APCQ．记∠BAP＝θ（0°≤θ≤45°）．
（1）当θ＝30°时，求P、Q两点间的距离；（结果保留整数）
（2）问当θ取何值时，监控区域四边形APCQ的面积S最大？最大值为多少？（结果保留整数）

20．已知椭圆的右顶点坐标为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，直线l交椭圆Γ于不同的两点M和N．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过点A，求直线l的方程；
（3）若直线l与椭圆Γ相切，求证：点F1、F2到直线l的距离之积为定值．
21．对于定义在R上的函数f（x），若存在正数m与集合A，使得对任意的x1，x2∈R，当x1＜x2，且x2﹣x1≤m时，都有|f（x2）﹣f（x1）|∈A，则称函数f（x）具有性质（m，A）．
（1）若f（x）＝|2x﹣1|，判断f（x）是否具有性质（1，[0，2]），并说明理由；
（2）若f（x）＝sinx，且f（x）具有性质（m，[0，1]），求m的最大值；
（3）若函数f（x）的图像是连续曲线，且当集合A＝（0，a）（a为正常数）时，f（x）具有性质（1，A），证明：f（x）是R上的单调函数．

2022年上海市松江区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．已知集合A＝（﹣3，3），集合B＝{0，1，2，3，4，5}，则A∩B＝　{0，1，2}　．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝（﹣3，3），
集合B＝{0，1，2，3，4，5}，
∴A∩B＝{0，1，2}．
故答案为：{0，1，2}．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．若复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝　　．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：∵z＝，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数模公式，考查计算能力，属于基础题．
3．在△ABC中，若，则sinA＝　　．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：在△ABC中，若＜0，
所以A∈（，π），
则sinA＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
4．若函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的反函数的图像经过点（4，2），则a＝　2　．
【分析】由反函数的性质可得函数f（x）＝ax经过点（2，4），代入函数解析式即可求解．
【解答】解：由反函数的性质可得函数f（x）＝ax经过点（2，4），
所以a2＝4，解得a＝2或﹣2（舍去），
故答案为：2．
【点评】本题考查了反函数的定义，考查了学生的运算能力，属于基础题．
5．在的展开式中，含x3的系数为 　5　．
【分析】根据二项式定理求出展开式中含x3的项，由此即可求解．
【解答】解：展开式中含x3的项为C＝5x3，
所以x3的系数为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
6．若实数x、y满足约束条件，则z＝3x+y的最小值是 　1　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知A（0，1），
由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，
由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
7．从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为 　　．
【分析】由列举法可得所有基本情况数及满足要求的情况数，再由古典概型概率公式即可得解．
【解答】解：由题意任取两个不同的数字组成1个两位数，共有：
12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54共20个；
其中偶数有：12，14，24，32，34，42，52，54共8个；
故所求概率P＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
8．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E是D1C1的中点，则异面直线A1C1与DE所成角的大小为 　　．（结果用反三角函数表示）

【分析】由异面直线所成角的求法，结合空间向量的应用求解即可．
【解答】解：设AB＝2，
则＝＝2，
又，，
设异面直线A1C1与DE所成角的大小为θ，
则cos＝＝，
即异面直线A1C1与DE所成角的大小为，
故答案为：．
【点评】本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了空间向量的应用，属基础题．
9．已知正实数a、b满足a+b+4＝2ab，则a+b的最小值为 　4　．
【分析】直接利用基本不等式转化求解即可．
【解答】解：a＞0，b＞0，且a+b+4＝2ab，
可得4＝2ab﹣（a+b）≤2（）2﹣（a+b），即（a+b）2﹣2（a+b）﹣8≥0，当且仅当a＝b＝2时取等号，
解得a+b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，
即a+b的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查基本不等式以及应用，考查计算能力，属于基础题．
10．已知数列{an}的首项a1＝2，且对任意的n∈N*，都有，则＝　0　．
【分析】由已知数列递推式可得数列{}是以为首项，以为公差的等差数列，求其通项公式，再由数列的极限得答案．
【解答】解：由，得，
又，
∴数列{}是以为首项，以为公差的等差数列，
则，
∴＝．
故答案为：0．
【点评】本题考查数列递推式，考查数列极限的求法，是基础题．
11．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM斜率的最大值为 　　．
【分析】设出M点坐标，利用向量法求得P点坐标并代入抛物线的方程，求得直线OM斜率平方的表达式，结合二次函数的性质求得最大值．
【解答】解：设M（x0，y0），P（x，y），
依题意，
所以，
所以P（5x0﹣2p，5y0），将P点的坐标代入抛物线的方程得：
，整理得，
设直线OM的斜率为k，则，
根据二次函数的性质可知，当时，
k2取得最大值为，
所以k的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
12．已知函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且满足g（2+x）＝g（2﹣x），当x∈[0，2]时，g（x）＝log2（x+1）．则当x∈[0，2022]时，方程f（x）＝g（x）实根的个数为 　1011　．
【分析】根据函数的解析式可得的图象关于x＝2对称，由g（2+x）＝g（2﹣x），y＝g（x）图象关于x＝2对称，又可得g（x+4）＝g（x），所以函数y＝g（x）的周期为4的周期函数，易得方程f（x）＝g（x）实根的个数
【解答】解：函数的图象关于x＝2对称，且＞0，可得f（x）在（2，+∞）单调递减，
由g（2+x）＝g（2﹣x），y＝g（x）图象关于x＝2对称，
又可得g（x+4）＝g（x），所以函数y＝g（x）的周期为4的周期函数，
当x∈[0，2]时，g（x）＝log2（x+1）．可知函数在[0，2]上单调递增，且f（x）∈[0，ln3]，
所以当x∈[0，2]时，f（x）＝g（x）有1个实根，
当x∈[2，6]时，f（x）＝g（x）有2个实根，由函数周期性可知在x≥2的每个周期内有2个实根，
故x∈[0，2022]时，方程f（x）＝g（x）实根的个数为1011个．
故答案为：1011．
【点评】本题考查方程的根的个数，可转化为函数图象交点的个数，属中档题．
二、选择题
13．下列函数中，与函数y＝x3的奇偶性和单调性都一致的函数是（　　）
A．y＝x2 B．y＝x+sinx C．y＝2|x| D．y＝tanx
【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为函数y＝x3为奇函数，在R上单调递增，
y＝x2为偶函数，不符合题意；
y＝x+sinx为奇函数，且y′＝1+cosx≥0恒成立，即在R上单调递增，符合题意；
y＝2|x|为偶函数，不符合题意；
y＝tanx在定义域上不单调，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础题．
14．在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给A选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分．则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据平均值、中位数、众数、方差的定义即可得解．
【解答】解：去掉最大值与最小值这组数的平均值大小不确定，中位数不变，众数大小不确定，根据方差的定义，去掉最高分，最低分后，剩余四个数据的波动性小于原来六个数据的波动性，故方差一定会变小．
故选：D．
【点评】本题考查了平均数、众数、中位数与方差的概念，是基础题．
15．设函数图像的一条对称轴方程为，若x1、x2是函数f（x）的两个不同的零点，则|x1﹣x2|的最小值为（　　）
A． B． C． D．π
【分析】根据对称轴求出ω＝2，求出最小正周期，根据f（x1）＝f（x2）＝0，则|x1﹣x2|的最小值为半个周期即可求出．
【解答】解：∵函数图像的一条对称轴方程为，
∴ω×+＝+kπ，k∈Z，∴ω＝4+12k，k∈Z，
∴0＜ω＜5，∴ω＝4，
∴f（x）＝sin（4x+），
∴最小正周期为，
∵x1、x2是函数f（x）的两个不同的零点，
∴|x1﹣x2|的最小值为半个周期，
∴|x1﹣x2|的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查了y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
16．已知正方形ABCD的边长为4，点M、N分别在边AD、BC上，且AM＝1，BN＝2，若点P在正方形ABCD的边上，则的取值范围是（　　）
A．[﹣6，6] B．[﹣6，2] C．[﹣2，6] D．[﹣2，2]
【分析】由平面向量数量积的运算结合分类讨论的数学思想方法分类讨论①当点P在AB线段上运动时，②当点P在BC线段上运动时，③当点P在CD线段上运动时，④当点P在DA线段上运动时，即可得解．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

则A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），M（0，1），N（4，2），
设P（x，y），则•＝（﹣x，1﹣y）•（4﹣x，2﹣y）
＝x2+y2﹣4x﹣3y+2，
①当点P在AB线段上运动时，x∈[0，4]，y＝0，
则 •＝x2﹣4x+2∈[﹣2，2]，
②当点P在BC线段上运动时，y∈[0，4]，x＝4，•＝y2﹣3y+2∈[﹣，6]，
③当点P在CD线段上运动时，x∈[0，4]，y＝4，
•＝x2﹣4x+6∈[2，6]，
④当点P在DA线段上运动时，y∈[0，4]，x＝0，•＝y2﹣3y+2∈[﹣，6]，
综合①②③④得：
当点P在正方形的四条边上运动时，•的取值范围是[﹣2，6]，
故选：C．

【点评】本题考查了平面向量数量积的运算及分类讨论的数学思想方法，属中档题．
三、解答题
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，，F是PD的中点，点E在棱CD上．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的全面积；
（2）求证：PE⊥AF．

【分析】（1）根据题意可证明侧面为直角三角形，直接计算侧面底面面积求和能求出四棱锥P﹣ABCD的全面积；
（2）先证明出CD⊥平面PAD，再证明AF⊥平面PDC，由此能证明PE⊥AF．
【解答】解：（1）∵BC∥AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，
∵BP⊂平面ABP，∴BC⊥BP，∴∠PBC＝90°，
同理可证明∠PDC＝90°，
∴四棱锥P﹣ABCD的全面积为：
S全＝S底+S△PAB+S△PBC+S△PDC+S△PAD
＝
＝．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，
∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD，
∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD，
又PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD，
∵CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC，
∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质、四棱锥的全面积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．在等差数列{an}中，已知a1+a2＝10，a3+a4+a5＝30．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an+bn}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由可得，从而求出a1与d的值即可求出{an}的通项公式；
（2）由（1）可知（2n+2）+bn＝3n﹣1，则bn＝3n﹣1﹣（2n+2），从而利用分组求和即可求出Sn．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由，得，解得，
所以an＝4+2（n﹣1）＝2n+2（n∈N*）；
（2）由（1）可知（2n+2）+bn＝3n﹣1，则bn＝3n﹣1﹣（2n+2），
所以Sn＝30+31+•••+3n﹣1﹣（4+6+8+•••+2n+2）＝﹣（4+2n+2）＝﹣n2﹣3n．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，分组求和法，考查学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题．
19．如图，农户在AB＝100米、BC＝80米的长方形地块ABCD上种植向日葵，并在A处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况．监控摄像头可捕捉到图像的角度范围为∠PAQ＝45°，其中点P、Q分别在长方形的边BC、CD上，监控的区域为四边形APCQ．记∠BAP＝θ（0°≤θ≤45°）．
（1）当θ＝30°时，求P、Q两点间的距离；（结果保留整数）
（2）问当θ取何值时，监控区域四边形APCQ的面积S最大？最大值为多少？（结果保留整数）

【分析】（1）根据BP＝ABtan30°，DQ＝ADtan15°求解PC，QC，再用勾股定理求解即可，
（2）根据直角三角函数中的关系分别求得△ABP，△ADQ的面积，进而表达出四边形APCQ的面积，再令x＝1+tanθ，化简S再用基本不等式求解最小值即可．
【解答】解：（1）∵，∴PC＝80﹣57.74＝22.26，
∵DQ＝ADtan15°≈80×0.268≈21.44∴QC＝100﹣21.44＝78.56，
∴，
（2），
所以，
所以，
令x＝1+tanθ，则tanθ＝x﹣1，1﹣tanθ＝2﹣x，
∴，
∴，
此时，即时．
故当时，监控区域四边形APCQ的面积S最大约为4886．
【点评】本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．
20．已知椭圆的右顶点坐标为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，直线l交椭圆Γ于不同的两点M和N．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过点A，求直线l的方程；
（3）若直线l与椭圆Γ相切，求证：点F1、F2到直线l的距离之积为定值．
【分析】（1）根据2c＝2，a＝2，b2＝a2﹣c2＝3，即可求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及，即可求得直线l的方程；
（3）分类讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y＝kx+b，与椭圆方程联立，由Δ＝0，可得b2＝3+4k2，结合点到直线的距离公式，即可求得点F1、F2到直线l的距离之积为定值．
【解答】解：（1）因为|F1F2|＝2c＝2，则c＝1，
因为a＝2，b2＝a2﹣c2＝3，
所以椭圆Γ的方程；
（2）因为直线l的斜率为1，故设直线l的方程为y＝x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），
由，消去y，整理，得7x2+8mx+4m2﹣12＝0，
则，，
因为以MN为直径的圆经过右顶点A，所以，
所以（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝0，
所以
＝，
整理得，7m2+16m+4＝0，所以m＝﹣2或，
因为Δ＝64m2﹣4×7×（4m2﹣12）＝16（21﹣3m2），
显然当m＝﹣2或时，成立
所以直线l的方程为y＝x﹣2或；
（3）证明：椭圆Γ的左、右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），
①当直线l平行于y轴时，因为直线l与椭圆Γ相切，所以直线l的方程为x＝±2，
此时点F1、F2到直线l的距离分别为d1＝1，d2＝3，所以d1d2＝3，
②当直线l不平行与y轴时，设直线l的方程为y＝kx+b，
联立，消去y，整理得（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12＝0，
所以，Δ＝64k2x2﹣4（3+4k2）（4b2﹣12）＝16（9+12k2﹣3b2），
因为直线l与椭圆Γ相切，Δ＝0，所以，b2＝3+4k2，
因为F1（﹣1，0）到直线l的距离为，F2（﹣1，0）到直线l的距离为，
所以，，
所以点F1、F2到直线l的距离之积为定值，且定值为3．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，点到直线的距离公式，考查转化思想，分类讨论思想，计算能力，属于难题．
21．对于定义在R上的函数f（x），若存在正数m与集合A，使得对任意的x1，x2∈R，当x1＜x2，且x2﹣x1≤m时，都有|f（x2）﹣f（x1）|∈A，则称函数f（x）具有性质（m，A）．
（1）若f（x）＝|2x﹣1|，判断f（x）是否具有性质（1，[0，2]），并说明理由；
（2）若f（x）＝sinx，且f（x）具有性质（m，[0，1]），求m的最大值；
（3）若函数f（x）的图像是连续曲线，且当集合A＝（0，a）（a为正常数）时，f（x）具有性质（1，A），证明：f（x）是R上的单调函数．
【分析】（1）由|f（x2）﹣f（x1）|＝||2x2﹣1|﹣|2x1﹣1||≤2（x2﹣x1）≤2可得结论；
（2）x1＝x，x2＝x+t，t∈（0，m），则|f（x+t）﹣f（x）|≤＝2|sin|≤1，可求得m的最大值；
（3）由题可得恒有0＜|f（x2）﹣f（x1）|＜a，即f（x2）﹣f（x1）＞0或恒有f（x2）﹣f（x1）＜0成立，再由反证法证明即可．
【解答】解：（1）具有，理由如下：
对一切x1，x2∈R，当x1＜x2，且x2﹣x1≤1，
由于|f（x2）﹣f（x1）|＝||2x2﹣1|﹣|2x1﹣1||≤2（x2﹣x1）≤2．
所以f（x）具有性质（1，[0，2]）；
（2）令x1＝x，x2＝x+t，t∈（0，m），
则|f（x+t）﹣f（x）|＝|sin（x+t）﹣sinx|＝|（cost﹣1）sinx+sintcosx|，
∴|f（x+t）﹣f（x）|≤＝2|sin|，
∵f（x）具有性质（m，[0，1]），
∴当t∈（0，m）时，恒有2|sin|≤1，即|sin|，
∴t∈（0，]，
所以mmax＝；
（3）证明：∵函数f（x）具有性质（1，A），
∴对任意的区间[x0，x0+1]，
当x1，x2∈[x0，x0+1]，x1＜x2时，都有0＜|f（x2）﹣f（x1）|＜a成立．
下面证明此时，恒有f（x2）﹣f（x1）＞0或恒有f（x2）﹣f（x1）＜0，
若存在x1，x2，x3∈[x0，x0+1]，x1＜x2＜x3，使得f（x1）≥f（x2）且f（x2）≤f（x3）①，
不妨设f（x3）≥f（x1）②，
当①或②式中有等号成立时，与0＜|f（x2）﹣f（x1）|矛盾；
当①②两式中等号均不成立时，f（x）的函数值从f（x1）连续增大到f（x3）时，必存在s∈[x2，x3]使得f（s）＝f（x1），也与0＜|f（x2）﹣f（x1）|矛盾，
同理可证f（x1）≤f（x2）且f（x2）≥f（x3）也不可能．
∴对任意的区间[x0，x0+1]，当x1，x2∈[x0，x0+1]，x1＜x2时，
恒有f（x2）﹣f（x1）＞0或恒有f（x2）﹣f（x1）＜0，
∵对任意的x1，x2∈R，x1＜x2，总存在k∈N，使得：k≤x2﹣x1＜k+1，
∴当f（x2）﹣f（x1）＞0时，f（x1）＜f（x1+1）＜f（x1+2）＜…＜f（x1+k）≤f（x2），
此时f（x）在R单调递增，
当f（x2）﹣f（x1）＜0时，
f（x1）＞f（x1+1）＞f（x1+2）＞…＞f（x1+k）≥f（x2）成立，
此时f（x）在R上单调递减，
综上可知f（x）是R上的单调函数．
【点评】本题属于新定义问题，考查了学生的逻辑推理能力和理解能力，关键在于理解所给定义，一般就是需要具体化新定义的内容，研究所给特例问题，一般需要化抽象为具体，具有很强的类比性，对类比推理要求较高，属于难题．
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