2023年上海市松江区高考数学二模试卷（含答案解析）

2023年上海市松江区高考数学二模试卷

1.  已知集合，，则______ .

2.  若复数z满足，则______.

3.  已知空间向量，，，若，则______ .

4.  已知随机变量X服从正态分布，若，则______ .

5.  已知，且，则______ .

6.  在二项式的展开式中，含的项的系数是______ 结果用数字作答

7.  将如图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为50mm的直立的圆柱形容器内，则液面高度为______

8.  从4名男生和3名女生中抽取两人加入志愿者服务队.用A表示事件“抽到的两名学生性别相同”，用B表示事件“抽到的两名学生都是女生”，则______ 结果用最简分数表示

9.  参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为______ 升.

10.  已知，则的最小值为______ .

11.  已知函数为R上的奇函数；且，当时，，则______ .

12.  已知点A、B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且若存在m，，使得与垂直，且，则的最小值为______ .

13.  已知直线：与直线：，则“”是“”的(    )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

14.  为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

根据上表可得回归直线方程，其中，，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为(    )

A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元

15.  若方程的解集为M，则以下结论一定正确的是(    )



 

A.  B.  C.  D.

16.  已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

17.  在锐角中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且
求角B；
求的最大值.

18.  如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，，，平面ABCD，，M是PD的中点.
证明：平面ACM
求直线AM与平面ABCD所成角的大小.

19.  某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车.根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下：

如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多少亿元？
车企推出两种付款方式：
全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的；
分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的
①某位顾客现有a万元现金，欲购买价值a万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财产品该理财产品半年期到期收益率为，到期后，可用资金含理财收益继续购买半年期的理财产品，问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？计算结果精确到
②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施对哪些车型有效？计算结果精确到

20.  已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为；双曲线：的左、右焦点分别为、，离心率为，过点作不垂直于y轴的直线l交曲线于点A、B，点M为线段AB的中点，直线OM交曲线于P、Q两点.
求、的方程；
若，求直线PQ的方程；
求四边形APBQ面积的最小值.

21.  已知，记，，
试将、、中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数；
借助的结果，求函数的导函数和最小值；
记，a是实常数，函数的导函数是已知函数有三个不相同的零点、、求证：

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，

故答案为：
可解分式不等式求出集合B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了分式不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】5 

【解析】解：，
，
，

故答案为：
根据已知条件，先对z化简，再结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
则，
，，
则，解得
故答案为：
根据已知条件，结合空间向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查空间向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由正态分布的对称性得
故答案为：
根据正态分布的对称性即可求出指定区间的概率．
本题考查正态分布的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，且，
所以，可得，
则
故答案为：
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而利用二倍角的正切公式即可求解的值．
本题考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

6.【答案】28 

【解析】解：二项式的展开式的通项为，
令，得，
故含的项的系数是
故答案为：
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的x的指数为4，列出方程求出r的值，将r的值代入通项，求出展开式中，含的项的系数即可．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
 

7.【答案】50 

【解析】解：设液面圆的半径为r，由图形可得，
，
，
设圆柱形容器内液面的高度为h，
则，解得
故答案为：
求得三棱锥中的液面体积，进而可求圆柱形容器内液面高度．
本题考查空间几何体的体积的计算，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知，
故答案为：
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设此等差数列为，公差，
由题意可得：，，
则，，联立解得，

故答案为：
设此等差数列为，公差，由题意可得：与d的方程组，联立解出即可．
本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
 

10.【答案】9 

【解析】解：，
当且仅当，又，，
即，时取等号，则的最小值为
故答案为：
利用“1”的代换求的最小值即可．
本题考查基本不等式，考查三角函数同角关系，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为函数为R上的奇函数，
所以，，，
又因为，
所以，即有，
所以的周期为2，
所以，
所以，解得，
当时，，
所以，
所以，
，
所以
故答案为：
由，可得，即有的周期为2，从而可得，，求得，，代入即可得答案．
本题考查了函数的奇偶性、周期性，难点在于根据函数为奇函数及周期为2，求出，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设A，B在直线上，又A，B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，，；

设，则，，
，
不妨设P在Q的左侧，，则，
与垂直，，
即有解，，
，即的最小值为
故答案为：
设，根据向量线性运算可得，设，则，由向量垂直的坐标表示可构造方程，结合二次函数最值求法可求得，由可求得最小值．
本题考查平面向量模长最值的求解问题，属于中档题．
 

13.【答案】B 

【解析】解：直线：与直线：，
则，解得，
经经验，当时，均符合题意，
故直线：与直线：，则“”是“”的必要不充分条件．
故选：
根据已知条件，结合直线平行的性质，以及充分、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，以及充分、必要条件的定义，属于基础题．
 

14.【答案】B 

【解析】解：，
，又，
，
回归直线方程为：，
令，可得
估计该社区一户收入为15万元家庭年支出为万元．
故选：
先根据表格数据求出与，从而再根据题意可求得回归直线方程，将令，解得y的值，即可得解．
本题考查线性回归直线方程的性质，方程思想，化归转化思想，属基础题．
 

15.【答案】A 

【解析】解：根据题意，或，

故选：
由可得出或，从而可得出正确．
本题考查了集合的描述法的定义，并集和交集的定义，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
 

16.【答案】B 

【解析】解：，
易知当或时，，则函数在，上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
则函数在处取得极大值，且极大值为，
令，即，即，解得或，
又函数在区间上有最大值，则，
解得
故选：
对函数求导，判断其单调性，进而可得其在处取得极大值，求得极大值，进一步令，可得或，由此可得到关于t的不等式，解出即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：由结合正弦定理可得：，
因为为锐角三角形，所以，
所以，
，故；
结合的结论有：


，
由，可得：，
当时，，
即的最大值是 

【解析】根据正弦定理得，则，结合角B的范围即可求出角B的大小；
通过三角恒等变换得，结合角A的范围即可得到其最值．
本题考查了正弦定理和三角恒等变换，属于中档题．
 

18.【答案】解：证明：连接OM，
在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，
又M为PD的中点，所以，
因为平面ACM，平面ACM，所以平面ACM；
取DO的中点N，连接MN，AN，
因为M为PD的中点，所以，且，
由平面ABCD，得平面ABCD，所以是直线AM与平面ABCD所成的角，
因为，，所以，所以，
在中，，，
所以，从而，
在中，，
所以直线AM与平面ABCD所成角的大小为 

【解析】连接OM，根据中位线定理证明，利用线面平行的判定定理证明即可；
取DO的中点N，连接MN，AN，证明，从而平面ABCD，可得是直线AM与平面ABCD所成的角，计算相关的长度，在中求解即可．
本题考查了线面平行的证明以及直线与平面所成的角的计算，属于中档题．
 

19.【答案】解：销售一辆车的价格的数学期望E为：
，
万元亿
所以，今年新能源车的销售额预计约为亿元；
①全款购车两年后资产总额为：万元，
分期付款购车两年后资产总额为万元，
因为，所以顾客选择全款购车方式收益更多；
②由①得：，所以，
故这一措施对购买A，B，C车型有效． 

【解析】先计算销售一辆车的价格的数学期望E，再计算，即可得今年新能源车的销售额预计金额；
①先计算全款购车两年后资产总额和分期付款购车两年后资产总额，比较即可；②由①得，可得措施对购买A，B，C车型有效．
本题考查函数模型的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意可知：，
所以，
解得：，
故椭圆：，双曲线：；
由知，因为直线AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为：，设点，，
则，
由，则，即，
联立：，可得：，，
由韦达定理可得：，
将代入得：，解得，
当时，弦AB的中点，此时直线PQ的方程为：，
当时，弦AB的中点，此时直线PQ的方程为：，
所以直线PQ的方程为或；
设AB的中点，由可得，
且，点，
，直线PQ的方程为：，
联立可得：，且，
由双曲线的对称性，不妨取点、，
所以点P到直线AB的距离为：，
点Q到直线AB的距离为：，
，
所以四边形APBQ的面积为，
因为，
所以当，即时，四边形APBQ的面积取最小值 

【解析】用b表示，，由计算可得方程；
设直线AB的方程为，由，得出纵坐标之间的关系，由韦达定理消y可求解m；
由可求出弦长，根据中点M可写出直线PQ的方程，与椭圆联立求出P，Q两点坐标，计算点P，Q到直线AB的距离，以AB为底，可计算四边形APBQ的面积，从而求出最小值．
本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：；
利用复合函数的求导法则可求得，
令，可求得：
令，，，所以，
解得，当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以函数的最小值为；
证明：，
由，
，，
令，解得，此时单调递增，
令，解得，此时单调递减，
因为函数有三个不相同的零点，，，
而的零点为1，不妨设，则的零点为，，
不妨设，则，
令，
则，
令，则，
所以当时，，所以当时，是严格单调递增的，
所以当时，，
所以当时，，
则在上单调递增，
所以在上，所以，
又，所以，
即，
又函数在上单调递增，所以，
即，
综上， 

【解析】直接计算即可；
利用复合函数求导法则得，再结合导数和函数最值的关系即可得到答案；
首先求出，求出其单调性，假设，再利用函数的单调性即可证明．
本题考查了导数的综合应用，属于难题．