2022年上海市徐汇区高考数学二模试卷

这是一份2022年上海市徐汇区高考数学二模试卷，共20页。
2022年上海市徐汇区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1．（4分）已知，则tan2α＝　 　
2．（4分）不等式＞1的解集为　 　．
3．（4分）在的二项展开式中，x2项的系数为 　 　．
4．（4分）已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 　 　．
5．（4分）已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0，则圆心到直线l：3x+4y+4＝0的距离d＝　 　．
6．（4分）若关于x的实系数一元二次方程x2﹣bx+c＝0的一根为1﹣i（i为虚数单位），则b+c＝　 　．
7．（5分）已知m∈R，若直线l1：mx+y+1＝0与直线l2：9x+my+2m+3＝0平行，则m＝　 　．
8．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值是 　 　．
9．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ax+b（0＜a＜1，b∈R），若f（x）存在反函数，则b的取值范围是 　 　．
10．（5分）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 　 　.（结果用最简分数表示）
11．（5分）在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝120°，若点P是△ABC所在平面上一点，且满足，，则实数λ的值为 　 　．
12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）＝2f（x）+1，当x∈[0，1）时，f（x）＝x3.设f（x）在区间[n，n+1）（n∈N*）上的最小值为an.若存在n∈N*，使得λ（an+1）＜2n﹣7有解，则实数λ的取值范围是 　 　．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑..
13．（5分）下列以t为参数的参数方程中，其表示的曲线与方程xy＝1表示的曲线完全一致的是（　　）
A． B．
C． D．
14．（5分）已知函数f（x）＝sin2x，x∈[a，b]，则“”是“f（x）的值域为[﹣1，1]”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
15．（5分）某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（　　）
A．60 B．70 C．80 D．100
16．（5分）设数列{an}，若存在常数t，对任意小的正数s，总存在正整数n0，当n≥n0时，|an﹣t|＜s，则数列{an}为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（　　）
A．若等比数列{an}是收敛数列，则公比q∈（0，1）
B．等差数列不可能是收敛数列
C．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn（Sn≠0），则数列一定是收敛数列
D．设数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝1，Sn+1＝an+1，则数列{an}是收敛数列
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（14分）如图，已知AB为圆柱OO1的底面圆O的一条直径，P为圆周上的一点，OA＝2，∠BOP＝60°，圆柱OO1的表面积为24π．
（1）求三棱锥A1﹣APB的体积；
（2）求直线AP与平面A1PB所成的角的大小．

18．（14分）已知a为实数、函数f（x）＝x|x﹣a|﹣a，x∈R．
（1）当a＝2时、求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
19．（14分）某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形ABC的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，∠BAC＝90°，AB＝AC＝20（单位：米），E、F为BC上的两点，且∠EAF＝45°，△AEF区域为休息区，△ABE和△ACF区域均为活动区．设∠EAB＝α（0＜α＜45°）．
（1）求AE、AF的长（用α的代数式表示）；
（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当α为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？

20．（16分）在平面直角坐标系中，已知点、，动点C（x，y）关于直线y＝x的对称点为D，且，动点C的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知动点P在曲线E上，点Q在直线上，且，求线段PQ长的最小值；
（3）过点且不垂直于x轴的直线交曲线E于M、N两点，点M关于x轴的对称点为M'，试问：在x轴上是否存在一定点T，使得M'、N、T三点共线？若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由．
21．（18分）对于数列{an}，记V（n）＝|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an﹣an﹣1|（n＞1，n∈N*）．
（1）若数列{an}通项公式为：an＝），求V（5）；
（2）若数列{an}满足：a1＝a，an＝b，且a＞b，求证：V（n）＝a﹣b的充分必要条件是ai+1≤ai（i＝1，2，…，n﹣1）；
（3）已知V（2022）＝2022，若yt＝），t＝1，2，…，2022．求|y2﹣y1|+|y3﹣y2|+…+|y2022﹣y2021|的最大值．

2022年上海市徐汇区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1．（4分）已知，则tan2α＝　　
【分析】直接利用二倍角公式求解即可．
【解答】解：tanα＝，则tan2α＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，考查计算能力．
2．（4分）不等式＞1的解集为　{x|1＜x＜2}　．
【分析】将原不等式转化为＞0，即（x﹣1）（x﹣2）＜0，即可求得其解集．
【解答】解：∵＞1，
∴＞0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＜0，
解得：1＜x＜2．
∴不等式＞1的解集为{x|1＜x＜2}．
故答案为：{x|1＜x＜2}．
【点评】本题考查分式不等式的解法，移项后通分是关键，考查转化、运算与求解能力，属于中档题．
3．（4分）在的二项展开式中，x2项的系数为 　﹣20　．
【分析】求出展开式的通项公式，然后令x的指数为2，进而可以求解．
【解答】解：展开式的通项公式为T＝C，r＝0，1，2，.....6，
令6﹣，解得r＝3，
所以x2的系数为C＝﹣20，
故答案为：﹣20．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
4．（4分）已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 　π　．
【分析】由球的体积公式得到半径，进而求解结论．
【解答】解：设球的半径为R，
∵球的体积为＝•πR3，
∴球的半径R＝1，
又因为球的左视图所表示的图形是球的大圆，
∴该球的左视图所表示图形的面积为：π•R2＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查球的体积公式以及三视图的应用，属于简单题．
5．（4分）已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0，则圆心到直线l：3x+4y+4＝0的距离d＝　3　．
【分析】求出圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：圆的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0，可得圆的圆心（1，2），
所以，圆心到直线l：3x+4y+4＝0的距离d＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是基础题．
6．（4分）若关于x的实系数一元二次方程x2﹣bx+c＝0的一根为1﹣i（i为虚数单位），则b+c＝　4　．
【分析】利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理，求解b+c即可．
【解答】解：关于x的实系数一元二次方程x2﹣bx+c＝0的一根为1﹣i（i为虚数单位），
则1+i也是方程的根，
所以b＝1+i+1﹣i＝2，所以b＝2，
c＝（1+i）（1﹣i）＝2，
所以b+c＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查实系数方程虚根成对定理的应用，是基础题．
7．（5分）已知m∈R，若直线l1：mx+y+1＝0与直线l2：9x+my+2m+3＝0平行，则m＝　3　．
【分析】由题意，根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，计算求得m值．
【解答】解：m∈R，若直线l1：mx+y+1＝0与直线l2：9x+my+2m+3＝0平行，
则m≠0且＝≠，
则m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．
8．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值是 　2　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（1，1），
由z＝x+y，得y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，
z有最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
9．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ax+b（0＜a＜1，b∈R），若f（x）存在反函数，则b的取值范围是 　b≤﹣1或b≥0　．
【分析】f（x）在R上存在反函数，则必需保证函数f（x）不存在多个自变量x对应同一个函数值，再根据函数的奇偶性和单调性即可求出答案．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
设x＜0，则﹣x＞0，则由题意，f（﹣x）＝a﹣x+b，
∴f（0）＝0，f（﹣x）＝﹣f（x）＝a﹣x+b，
∴f（x）＝﹣a﹣x﹣b．
若f（x）在R上存在反函数，则必需保证函数f（x）不存在多个自变量x对应同一个函数值即可，
∵0＜a＜1，则需满足a0+b≤﹣a0﹣b或b≥0，解得b≤﹣1或b≥0，
若f（x）存在反函数，则b的取值范围为：b≤﹣1或b≥0，
故答案为：b≤﹣1或b≥0．
【点评】本题考查了反函数的定义，考查了分析问题的能力，属于中档题．
10．（5分）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 　　.（结果用最简分数表示）
【分析】考虑反面，4个人恰好分配到4个学校的情况，再作减法即得．
【解答】解：4个人分配到4个学校的情况总数为44种，
4个人恰好分配到4个学校的情况为＝24种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有44﹣24种，
所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．（5分）在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝120°，若点P是△ABC所在平面上一点，且满足，，则实数λ的值为 　1或　．
【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把向量、用基向量、表示出来，代入数量积公式列方程求出λ的值．
【解答】解：△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝120°，，
所以﹣＝λ，即＝λ，
又＝﹣＝（+λ）﹣＝+（λ﹣1），
所以•＝λ•[+（λ﹣1）]＝λ•+λ（λ﹣1）＝λ×1×2×cos120°+λ（λ﹣1）×4＝﹣1，
4λ2﹣5λ+1＝0，解得λ＝1或λ＝，所以实数λ的值为1或．
故答案为：1或．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算和线性表示应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）＝2f（x）+1，当x∈[0，1）时，f（x）＝x3.设f（x）在区间[n，n+1）（n∈N*）上的最小值为an.若存在n∈N*，使得λ（an+1）＜2n﹣7有解，则实数λ的取值范围是 　（﹣∞，）　．
【分析】根据题意，利用换元法，分别求出当x∈[1，2），x∈[2，3），…，x∈[n，n+1）时，f（x）的解析式，进而求出an＝2n﹣1，然后，得到存在n∈N*，使得λ（an+1）＜2n﹣7有解，则有λ＜有解，进而必有λ＜（）max，进而求出（）max，即可求解．
【解答】解：当x∈[0，1）时，f（x）＝x3，
因为定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）＝2f（x）+1，
∴f（x+1）＝2f（x）+1＝2x3+1，
令t1＝x+1，则x＝t1﹣1，
所以当t1∈[1，2）时，有f（t1）＝2（t1﹣1）3+1，
所以当x∈[1，2）时，f（x）＝2（x﹣1）3+1，
f（x+1）＝2f（x）+1＝4（x﹣1）3+3，
令t2＝x+1，则x＝t2﹣1，t1＝x+1，t2∈[2，3），
则有f（t2）＝4（t2﹣2）3+3，
所以当x∈[2，3）时，f（x）＝4（x﹣2）3+3，
同理可得，x∈[3，4）时，f（x）＝8（x﹣3）3+7，
根据规律，明显可见当x∈[n，n+1）时，f（x）＝2n（x﹣n）3+2n﹣1，且此时的f（x）必为增函数，
又因为an为f（x）在区间[n，n+1）（n∈N*）上的最小值，
所以a1＝1，a2＝3，a3＝7，…，an＝2n﹣1，
所以，若存在n∈N*，使得λ（an+1）＜2n﹣7有解，
则有λ＜有解，进而必有λ＜（）max，
根据该函数的特性，明显可见，当n＝5时，有（）max＝．
所以此时有λ＜．
故答案为：（﹣∞，）．
【点评】本题考查了函数的性质、转化思想、数学归纳法，难点是由函数的性质得到f（x）的表达式，属于难题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑..
13．（5分）下列以t为参数的参数方程中，其表示的曲线与方程xy＝1表示的曲线完全一致的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据x范围依次排除ABC得到正确答案．
【解答】解：对于A，，∴x＝≥0，排除A；
对于B，，x＝|t|≥0，排除B；
对于C，，﹣1≤x＝cost≤1，排除C．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查参数的性质、排除法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）已知函数f（x）＝sin2x，x∈[a，b]，则“”是“f（x）的值域为[﹣1，1]”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和充分条件和必要条件的应用求出结果．
【解答】解：当a＝0时，时，则b﹣a，
但是函数f（x）＝sin2x 的值域不是[﹣1，1]；
当函数的值域为[﹣1，1]时，说明b﹣a，
由于函数f（x）＝sin2x，函数的最小正周期为π；
所以2（b﹣a）≥π，所以函数的值域为[﹣1，1]，
所以b﹣a；
故函数f（x）＝sin2x，x∈[a，b]，则“”是“f（x）的值域为[﹣1，1]”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
15．（5分）某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（　　）
A．60 B．70 C．80 D．100
【分析】利用方差的定义判断即可．
【解答】解：×（60﹣82）2＝0.968＞0.82，
×（70﹣82）2＝0.288＜0.82，
×（80﹣82）2＝0.008＜0.82，
×（100﹣82）2＝0.648＜0.82，
故选：A．
【点评】本题考查了方差的应用，属于基础题．
16．（5分）设数列{an}，若存在常数t，对任意小的正数s，总存在正整数n0，当n≥n0时，|an﹣t|＜s，则数列{an}为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（　　）
A．若等比数列{an}是收敛数列，则公比q∈（0，1）
B．等差数列不可能是收敛数列
C．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn（Sn≠0），则数列一定是收敛数列
D．设数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝1，Sn+1＝an+1，则数列{an}是收敛数列
【分析】首先，准确理解收敛数列的概念，然后，逐个进行判断即可，
对于对于A则可以借助于极限的思想进行判断其收敛性；
对于B可以举出特例，例如常数数列则符合收敛的定义；
对于C设xn＝a+nd，表示出Sn，借助于极限的思想进行判断其收敛性．
对于D，先利用递推关系求出通项再进行判断．
【解答】解：A选项：设xn＝aqn，则xn＝aqn，当|q|＜1且q≠0，或q＝1时收敛，故A错误；
B选项：若该等差数列为常数列，则符合收敛的条件，故B错误；
C选项：设xn＝a+nd，则Sn＝，
故，＝，当d≠0时，＝0，故数列{}一定是收敛数列，故C正确；
D选项：当n＝1时，S2＝a1+1＝2可得a2＝1，
当n≥2时，令n＝n﹣1时，Sn＝an﹣1+1，与已知做差可得：an+1＝an﹣an﹣1，
列举可得：a1＝1，a2＝1，a3＝0，a4＝﹣1，a5＝﹣1，a6＝0⋯，以此类推，
可得{an}为一周期数列，且T＝6．
故不存在s使得原命题成立，不满足题意．故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查收敛数列的概念，属于较难题目．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（14分）如图，已知AB为圆柱OO1的底面圆O的一条直径，P为圆周上的一点，OA＝2，∠BOP＝60°，圆柱OO1的表面积为24π．
（1）求三棱锥A1﹣APB的体积；
（2）求直线AP与平面A1PB所成的角的大小．

【分析】（1）根据表面积为24π，求得AA1＝4，结合题意和锥体的体积公式，即可求解；
（2）根据题意证得BP⊥平面AA1P，得到平面A1PB⊥平面AA1P，过点A作AM⊥A1P，证得AM⊥平面A1PB，得到∠APM为直线AP与平面A1PB所成的角，再直角△AA1P中，求得，即，即可求解．
【解答】（1）解：由题意，AB是圆柱OO1的底面圆O的一条直径，且OA＝2，其表面积为24π，
可得2π⋅22+2π×2×AA1＝24π，解得AA1＝4，
在△AOP中，由∠BOP＝60°且OA＝OP＝2，可得∠AOP＝120°，所以，
在△BOP中，OB＝OP＝2且∠BOP＝60°，可得BP＝2，
所以三棱锥A1﹣APB的体积；
（2）解：由AB为圆柱OO1的底面圆O的一条直径，P为圆周上的一点，可得BP⊥AP，
又由AA1⊥平面ABP，BP⊂平面ABP，所以BP⊥AA1，
因为AP∩AA1＝A且AP，AA1⊂平面AA1P，所以BP⊥平面AA1P，
又因为BP⊂平面A1PB，所以平面A1PB⊥平面AA1P，
过点A作AM⊥A1P，垂足为M，如图所示，

因为平面A1PB⊥平面AA1P，平面A1PB∩平面AA1P＝A1P，且AM⊂平面AAlP，
所以AM⊥平面A1PB，所以∠APM为直线AP与平面A1PB所成的角，
又由OA＝2，∠BOP＝60°，可得PB＝2，
在直角△ABP中，可得，
在直角△AA1P中，可得，
所以，
即，
所以直线AP与平面A1PB所成的角的大小．

【点评】本题考查了三棱锥体积的计算，直线与平面所成的角，属于中档题．
18．（14分）已知a为实数、函数f（x）＝x|x﹣a|﹣a，x∈R．
（1）当a＝2时、求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）当a＝2时，f（x）＝x|x﹣2|﹣2，分两种情况：当x≥2时，当x＜2时，f（x）的单调性．
（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，则对任意x∈（0，1），﹣＜x﹣a＜恒成立，进而可得对任意x∈（0，1），a＞（）min且a＞（）min恒成立，即可得出答案．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝x|x﹣2|﹣2，
当x≥2时，f（x）＝x（x﹣2）﹣2＝x2﹣2x﹣2，
对称轴为x＝1，
所以f（x）在（2，+∞）上单调递增，
当x＜2时，f（x）＝x（2﹣x）﹣2＝2x﹣x2﹣2＝﹣x2+2x﹣2，
对称轴为x＝1，
所以f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
综上所述，f（x）在（2，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减．
（2）因为对任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，
所以对任意x∈（0，1），x|x﹣a|﹣a＜0恒成立，
所以对任意x∈（0，1），|x﹣a|＜恒成立，
所以对任意x∈（0，1），﹣＜x﹣a＜恒成立，
所以对任意x∈（0，1），a＞且a＞恒成立，
所以对任意x∈（0，1），a＞（）min且a＞（）min恒成立，
所以a≥0且a≥，
所以a的取值范围为[，+∞）．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
19．（14分）某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形ABC的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，∠BAC＝90°，AB＝AC＝20（单位：米），E、F为BC上的两点，且∠EAF＝45°，△AEF区域为休息区，△ABE和△ACF区域均为活动区．设∠EAB＝α（0＜α＜45°）．
（1）求AE、AF的长（用α的代数式表示）；
（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当α为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？

【分析】（1）在三角形中利用正弦定理，表示AE，AF即可．
（2）在三角形AEF中，利用正弦定理表示面积，利用三角函数表示面积即可．
【解答】解：（1）在△AEB中，∠EAB＝α，∠B＝45°，AB＝20，
由正弦定理有：，可得：，
同理，在△AFC中，，
（2）在△AEF中，，
化简可得：，
∵，故，所以，
所以，此时，设活动面积为S，
故＝200（2﹣），
所以时，此时．
【点评】本题主要考查正弦定理及三角形面积最值问题，属于中档题．
20．（16分）在平面直角坐标系中，已知点、，动点C（x，y）关于直线y＝x的对称点为D，且，动点C的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知动点P在曲线E上，点Q在直线上，且，求线段PQ长的最小值；
（3）过点且不垂直于x轴的直线交曲线E于M、N两点，点M关于x轴的对称点为M'，试问：在x轴上是否存在一定点T，使得M'、N、T三点共线？若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）先得出点D（y，x），由向量的数量积的坐标运算可得答案．
（2）设，，则，则可得到|PQ|2＝|OP|2+|OQ|2＝x2+y2+m2+8，然后利用条件消元，从而可得答案．
（3）设直线MN的方程为与曲线E的方程联立，得出韦达定理，由点的坐标得出直线M'N的方程，令y＝0，将韦达定理代入，可得出答案．
【解答】解：（1）由点C（x，y）关于直线y＝x的对称点为D，则D（y，x），
则，，
所以，即，
所以曲线E的方程为：．
（2）由点P在曲线E上，设P（x，y）（﹣2≤x≤2），点Q在直线上，设，
由，即，
由，则OP⊥OQ，
所以|PQ|2＝|OP|2+|OQ|2＝x2+y2+m2+8，
当x＝0时，，此时不满足，即不满足．
所以x≠0，由，则，

＝，
由﹣2≤x≤2，则设t＝x2∈（0，4]，
由勾型函数的单调性，可知函数在（0，4]上单调递减．
此时当x2＝4时，|PQ|2min＝2+4+6＝12，
所以线段PQ长的最小值为．
（3）在x轴上存在一定点T，使得M'、N、T三点共线．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则M'（x1，﹣y1），
由题意设直线MN的方程为，
由，可得，
所以，
直线M'N的方程为，
令y＝0，得
＝，
所以直线M'N：恒过点，
所以在x轴上存在一定点，使得M'、N、T三点共线．
【点评】本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
21．（18分）对于数列{an}，记V（n）＝|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an﹣an﹣1|（n＞1，n∈N*）．
（1）若数列{an}通项公式为：an＝），求V（5）；
（2）若数列{an}满足：a1＝a，an＝b，且a＞b，求证：V（n）＝a﹣b的充分必要条件是ai+1≤ai（i＝1，2，…，n﹣1）；
（3）已知V（2022）＝2022，若yt＝），t＝1，2，…，2022．求|y2﹣y1|+|y3﹣y2|+…+|y2022﹣y2021|的最大值．
【分析】（1）直接求出a1＝0，a2＝1，a3＝0，a4＝1，a5＝0，即可求V（5）；
（2）用定义法，分充分性和必要性分别进行证明；
（3）先计算出，利用放缩法和裂项求和法求出S（2022）的最大值．
【解答】解：（1）由通项公式得：a1＝0，a2＝1，a3＝0，a4＝1，a5＝0，
所以V（5）＝|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+|a4﹣a3|+|a5﹣a4|＝1+1+1+1＝4；
（2）证明：充分性：若数列{an}的前n项单调不增，即an≤…≤a2≤a1．
此时有：；
必要性：用反证法．
若数列{an}不满足ai﹣1≤ai（i＝1，2，⋯，n﹣1），
则存在k（1≤k≤n﹣1），使得ak+1＞ak，那么
≥|ak﹣a1|+（ak+1﹣ak）+|an﹣ak+1|≥|an﹣a1+ak﹣ak+1|+（ak+1﹣ak），
由于ak+1＞ak，a＞b，
所以|a﹣b+ak+1﹣ak|+（ak+1﹣ak）＞a﹣b，与已知V（n）＝a﹣b矛盾，
所以假设不成立，必要性得证；
综上所述：V（n）＝a﹣b的充分必要条件是ai+1≤ai（i＝1，2，⋯，n﹣1）．
（3）解：由，
令，则，
所以

＝，（因为|a2﹣a1|+2|a3﹣a2|+⋯+2021|a2022﹣a2021|≥|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+⋯+|a2022﹣a2021|＝2022）
当且仅当|a2﹣a1|＝2022，a2＝a3＝⋯＝a2022＝0时，|y2﹣y1|+|y3﹣y2|+⋯+|y2022﹣y2021|取得最大值2021．
【点评】本题主要考查了数列的递推关系，充分必要条件的证明以及数列的求和问题，属于综合题．
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