2022年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（理科）（二模）

这是一份2022年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（理科）（二模），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（理科）（二模）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|x2＝2x}，集合B＝{x∈Z|0＜x＜3}，则A∪B＝（　　）
A．{2} B．{0，1，2} C．{x|0＜x＜3} D．{x|0≤x＜3}
2．（5分）已知i是虚数单位，若，则|z|＝（　　）
A．1 B． C．2 D．4
3．（5分）设a＝20.2，，c＝log25，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
4．（5分）在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（　　）
A．9.5尺 B．10.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺
5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AA1，M是AA1的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为（　　）
A．﹣32 B．32 C．﹣64 D．64
7．（5分）函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则（　　）

A．，
B．y＝f（x+2）是奇函数
C．直线x＝﹣4是f（x）的对称轴
D．函数f（x）在[3，4]上单调递减
8．（5分）某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，则他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（　　）
A．240种 B．480种 C．540种 D．720种
9．（5分）若平面上两点A（﹣2，0），B（1，0），动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹与直线l：y＝k（x﹣2）的公共点的个数为（　　）
A．2 B．1
C．0 D．与实数k的取值有关
10．（5分）2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（N0表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（　　）（参考数据：log23≈1.6）
A．2600年 B．3100年 C．3200年 D．3300年
11．（5分）已知F1，F2是双曲线C：（a＞0）的左、右焦点，点A在双曲线的右支上，点P（，2）是平面内一定点，若对任何实数m，直线2x+y+m＝0与双曲线C至多有一个公共点，则|AP|+|AF2|的最小值（　　）
A． B． C． D．
12．（5分）已知数列{an}满足a2＝2，a2n＝a2n﹣1+2n（n∈N*），a2n+1＝a2n+（﹣1）n（n∈N*），则数列{an}第2022项为（　　）
A．21012﹣2 B．21012﹣3 C．21011﹣2 D．21011﹣1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）曲线y＝sinx﹣2cosx在点（π，2）处的切线方程是 　 　．
14．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|＝3，则△F1PF2的面积为 　 　．
15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝2CD＝2，将△ACD沿AC折叠形成三棱锥D1﹣ABC．当二棱锥D1﹣ABC体积最大时，则此时三棱锥外接球体积为 　 　．

16．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣2，g（x）＝x2+ax（a∈R），h（x）＝kx﹣2k+1（k∈R），给出下列四个命题，其中真命题有 　 　．（写出所有真命题的序号）
①存在实数k，使得方程|f（x）|＝h（x）恰有一个根；
②存在实数k，使得方程|f（x）|＝h（x）恰有三个根；
③任意实数a，存在不相等的实数x1、x2，使得f（x1）﹣f（x2）＝g（x1）﹣g（x2）；
④任意实数a，存在不相等的实数x1、x2，使得f（x1）﹣f（x2）＝g（x2）﹣g（x1）．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60分
17．（12分）随着北京冬奥会的进行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年．某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对滑雪运动没有兴趣．
（Ⅰ）完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？

有兴趣
没有兴趣
合计
男



女



合计



（Ⅱ）该俱乐部拟派甲、乙、丙三人参加滑雪选拔赛，选拔赛共有两轮，两轮都获胜选拔才能通过．已知甲在每轮比赛获胜的概率为，乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和，其中（p∈R），判断甲，乙，丙三人谁通过选拔的可能性最大，并说明理由．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若，且AD＝2，求△ABC面积的最大值．
19．（12分）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AB＝AA1＝2A1D1＝2，∠ABC＝60°，平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求锐二面角A﹣DD1﹣C的正切值．

20．（12分）已知抛物线C：x2＝4y，过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线，A，B是切点．
（Ⅰ）若点N的纵坐标为﹣2，求证：直线AB恒过定点；
（Ⅱ）若|AB|＝m（m＞0），求△ABN面积的最大值（结果用m表示）．
21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数g（x）＝aex﹣x+lna，若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．已知M是曲线C1上的动点，将OM绕点O逆时针旋转90°得到ON，设点N的轨迹为曲线C2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）设点Q（1，0），若射线l：与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△ABQ的面积．
[选修：不等式选讲]（10分）
23．已知f（x）＝|x﹣a|．
（Ⅰ）若f（x）≥|2x﹣1|的解集为[0，2]，求实数a的值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈R，不等式f（x）+|x+2a|＞2a+3恒成立，求实数a的取值范围．

2022年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（理科）（二模）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|x2＝2x}，集合B＝{x∈Z|0＜x＜3}，则A∪B＝（　　）
A．{2} B．{0，1，2} C．{x|0＜x＜3} D．{x|0≤x＜3}
【分析】先分别求出集合A，B，然后结合集合的并集运算可求．
【解答】解：A＝{x|x2＝2x}＝{0，2}，集合B＝{x∈Z|0＜x＜3}＝{1，2}，
则A∪B＝{0，1，2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．
2．（5分）已知i是虚数单位，若，则|z|＝（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：∵＝＝i﹣3i＝﹣2i，
∴|z|＝．
故选：C．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．（5分）设a＝20.2，，c＝log25，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【分析】易知1＜20.2＜2，sin＝，log25＞2，从而比较大小即可．
【解答】解：∵1＜20.2＜2，sin＝，log25＞2，
∴sin＜20.2＜log25，
即b＜a＜c，
故选：C．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
4．（5分）在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（　　）
A．9.5尺 B．10.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺
【分析】由已知结合等差数列的性质先求出d，然后结合通项公式可求．
【解答】解：设冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列{an}，
则a1＝18.5，a4＝15.5，
故3d＝15.5﹣18.5＝﹣3，
所以d＝﹣1，
a7＝a1+6d＝18.5﹣6＝12.5．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式在实际问题中的应用，属于基础题．
5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AA1，M是AA1的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据AD1∥C1可知所求角为∠C1BM，利用余弦定理可求得cos∠C1BM，从而得到异面直线AD1与BM所成角的余弦值．
【解答】解：连接A1C1，C1M，BC1，

∵AB∥CD∥C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1，
∴AD1与BM所成角即为BC1与BM所成角，即∠C1BM，
不妨设AA1＝1，则AB＝2，
∵，，，
∴，
即异面直线AD1与BM所成角的余弦值为．
故选：D．

【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了转化思想，属于基础题．
6．（5分）的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为（　　）
A．﹣32 B．32 C．﹣64 D．64
【分析】先令x＝1，由此求出a的值，然后根据二项式定理求出展开式的常数项即可求解．
【解答】解：令x＝1，则展开式的各项系数和为（2﹣a）（1﹣2）4＝2﹣a＝3，解得a＝﹣1，
所以二项式为（2x2+）（x﹣）4，
则二项式的展开式的常数项为2x＝﹣64，
故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
7．（5分）函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则（　　）

A．，
B．y＝f（x+2）是奇函数
C．直线x＝﹣4是f（x）的对称轴
D．函数f（x）在[3，4]上单调递减
【分析】利用最高点纵坐标求出A，利用特殊点（0，1）求出φ的值，再结合特殊点（0，）求出ω的值，然后结合余弦函数的图象和性质逐项判断．
【解答】解：显然A＝2，由f（0）＝1得，
结合“五点法作图”可知，由得，
据图可知，即T＞2，所以0＜ω＜π，
因为f（）＝，则，k∈Z，
，所以k＝0时符合题意，所以f（x）＝，
故A错误；
对于B，f（0+2）＝2cosπ＝﹣2≠0，故y＝f（x+2）图象不过原点，f（x+2）不是奇函数，B错误；
对于C，f（﹣4）＝2cos（﹣π）＝﹣2，为f（x）的最小值，故x＝﹣4为函数f（x）的对称轴，C正确；
对于D，x∈[3，4]时，∈[]，因为y＝﹣2cosx在[]上不单调，故D错误．
故选：C．

【点评】本题考查三角函数的据图求式问题，以及三角函数的图象和性质，属于中档题．
8．（5分）某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，则他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（　　）
A．240种 B．480种 C．540种 D．720种
【分析】先选后排，然后结合排列组合中的定序问题倍缩法求解即可．
【解答】解：先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选取3个，然后与舞蹈和小品共同5个节目按舞蹈在前、小品在后排序，
则不同的演出顺序种数有＝240种，
故选：A．
【点评】本题考查了排列组合及简单的计数问题，重点考查了排列组合中的定序问题，属基础题．
9．（5分）若平面上两点A（﹣2，0），B（1，0），动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹与直线l：y＝k（x﹣2）的公共点的个数为（　　）
A．2 B．1
C．0 D．与实数k的取值有关
【分析】设出点P（x，y），直接法求出点P的轨迹方程，再由直线过定点，判断公共点的个数．
【解答】解：设点P（x，y），由题意：|PA|＝2|PB|得：，
整理得到点P的轨迹方程为x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，
因为直线y＝k（x﹣2）过定点（2，0），即所求圆的圆心，
故直线和圆2个交点，
故选：A．
【点评】本题主要考查轨迹方程及其应用，直线与圆的位置关系等知识，属于中等题．
10．（5分）2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（N0表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（　　）（参考数据：log23≈1.6）
A．2600年 B．3100年 C．3200年 D．3300年
【分析】根据题意列出不等式，求出2292＜t＜2865，从而求出正确答案．
【解答】解：由题意得：N0＜N0•＜N0，
∴＜＜，
∴，
解得：2292＜t＜2865，
故选：A．
【点评】本题考查了指数、对数的基本运算，属于易做题．
11．（5分）已知F1，F2是双曲线C：（a＞0）的左、右焦点，点A在双曲线的右支上，点P（，2）是平面内一定点，若对任何实数m，直线2x+y+m＝0与双曲线C至多有一个公共点，则|AP|+|AF2|的最小值（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据直线2x+y+m＝0与双曲线公共点个数可知其与双曲线渐近线平行或重合，由此可求得a，利用双曲线定义可得|AP|+|AF2|＝|AP|+|AF1|﹣2，可知当F1，A，P三点共线时取得最小值．
【解答】解：由双曲线方程可知其渐近线方程为：，
∵直线2x+y+m＝0与双曲线C至多有一个公共点，
∴2x+y+m＝0与双曲线渐近线重合或平行，
∴，解得：a＝1，
∴双曲线，则，
由双曲线定义知：|AF1|﹣|AF2|＝2a＝2，
∴|AP|+|AF2|＝|AP|+|AF1|﹣2≥|PF1|﹣2（当且仅当F1，A，P三点共线时取等号），

又，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的定义和性质，属于中档题．
12．（5分）已知数列{an}满足a2＝2，a2n＝a2n﹣1+2n（n∈N*），a2n+1＝a2n+（﹣1）n（n∈N*），则数列{an}第2022项为（　　）
A．21012﹣2 B．21012﹣3 C．21011﹣2 D．21011﹣1
【分析】由题意得a2n﹣a2（n﹣1）＝（﹣1）n﹣1+2n，利用累加法即可求得结论．
【解答】解：∵数列{an}满足a2＝2，a2n＝a2n﹣1+2n（n∈N*），a2n+1＝a2n+（﹣1）n（n∈N*），
∴a2n＝a2n﹣1+2n＝a2（n﹣1）+（﹣1）n﹣1+2n，
所以，a2n﹣a2（n﹣1）＝（﹣1）n﹣1+2n，
∴a4﹣a2＝（﹣1）1+22，
a6﹣a4＝（﹣1）2+23，
a8﹣a6＝（﹣1）3+23，
......．
a2022﹣a2020＝（﹣1）1010+21011，
将上述各式两边分别取和，
得a2022﹣a2＝﹣1+1﹣1+1+....+1+22+23+.......+21011＝，
所以，a2022＝a2+21012﹣4＝21012﹣2，
故选：A．
【点评】本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查等比数列的前n项和公式及学生的运算能力，属中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）曲线y＝sinx﹣2cosx在点（π，2）处的切线方程是 　x+y﹣2﹣π＝0　．
【分析】求出曲线在x＝π处的导数值，得到切线的斜率，再求出切线方程即可．
【解答】解：因为y＝sinx﹣2cosx，所以y′＝cosx+2sinx，则当x＝π时，y′＝﹣1，
又因为x＝π时，y＝2，故曲线在（π，2）处的切线方程为y﹣2＝﹣（x﹣π），
整理得x+y﹣2﹣π＝0，
故答案为：x+y﹣2﹣π＝0．
【点评】本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，属于基础题．
14．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|＝3，则△F1PF2的面积为 　7　．
【分析】由椭圆的方程求出a，b，c的值，再根据|OP|＝3推出△PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形，结合椭圆的定义以及勾股定理即可求出结果．
【解答】解：由椭圆可得c2＝a2﹣b2＝16﹣7＝9，
∴c＝3，∴|F1F2|＝2c＝6，
又∵O为F1F2的中点，|OP|＝3，
∴△PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形，即PF1⊥PF2，
∴＝36，
又∵|PF1|+|PF2|＝2a＝8，
∴（|PF1|+|PF2|）2＝＝64，
∴|PF1||PF2|＝14，
∴△F1PF2的面积为|PF1||PF2|＝7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义，考查了焦点三角形的面积，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝2CD＝2，将△ACD沿AC折叠形成三棱锥D1﹣ABC．当二棱锥D1﹣ABC体积最大时，则此时三棱锥外接球体积为 　　．

【分析】找到体积最大时的状态，结合三棱锥的几何特点，求得外接球球心，再求半径和体积即可．
【解答】解：在等腰梯形ABCD中，因为AD＝DC＝BC，AB＝2，
容易知∠DAB＝60°，∠ADC＝120°，∠ACB＝90°，
当三棱锥D1﹣ABC体积最大时，此时平面AD1C⊥平面ABC，
又面AD1C∩面ABC＝AC，且BC⊂面ABC，BC⊥AC，故BC⊥面AD1C，
因为∠BCA＝90°，故△BCA为直角三角形，不妨取斜边AB的中点为M，
则MA＝MC＝MB，过M作平面ABC的垂线MP，

取AC中点为H，连接D1H，因为D1A＝D1C，故D1H⊥AC，
又面AD1C⊥面ABC，面AD1C∩ABC＝AC，D1H⊂面AD1C，故D1H⊥面ABC，
故D1H∥MP，则D1，H，O，M四点共面．
因为AD1＝AC，取△AD1C的外心为N，过N作D1H的垂线交MP于点O，
则OD1＝OC＝OA＝OB，故该三棱锥的外接球球心为O，设其半径为R，
则由图可知：，又OD1＝R，
在△AD1C中，由正弦定理可得，故D1N＝1，
又，故，，
故三棱锥外接球体积＝．
故答案为：．

【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
16．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣2，g（x）＝x2+ax（a∈R），h（x）＝kx﹣2k+1（k∈R），给出下列四个命题，其中真命题有 　①②④　．（写出所有真命题的序号）
①存在实数k，使得方程|f（x）|＝h（x）恰有一个根；
②存在实数k，使得方程|f（x）|＝h（x）恰有三个根；
③任意实数a，存在不相等的实数x1、x2，使得f（x1）﹣f（x2）＝g（x1）﹣g（x2）；
④任意实数a，存在不相等的实数x1、x2，使得f（x1）﹣f（x2）＝g（x2）﹣g（x1）．
【分析】①②画出函数|f（x）|＝|ex﹣2|图象，结合h（x）＝kx﹣2k+1经过定点（2，1），数形结合进行判断；
③转化为两函数的交点问题，可以举出反例；
④转化为两函数交点问题，能够得到一组二次函数，均过原点，且开口向下，利用图象，数形结合得以证明．
【解答】解：画出|f（x）|＝|ex﹣2|的函数图象，如图：

h（x）＝kx﹣2k+1经过定点（2，1），从图中可以看出存在实数k，使得方程|f（x）|＝h（x）恰有一个根；①正确；
存在实数k，使得方程|f（x）|＝h（x）恰有三个根，②正确；
要想对任意实数a，存在不相等的实数x1，x2，使得f（x1）﹣f（x2）＝g（x1）﹣g（x2），
只需函数f（x）＝ex﹣2，g（x）＝x2+ax（a∈R）始终有两个交点，
当a＝1时，g（x）＝x2+x＝（x+）2+，开口向上，且最小值为，
此时图象如图所示：由于指数函数的增长速度高于二次函数，显然此时两函数只有一个交点，故③错误；

要想对任意实数a，存在不相等的实数x1、x2，使得f（x1）﹣f（x2）＝g（x2）﹣g（x1），
即f（x1）﹣f（x2）＝﹣[g（x1）﹣g（x2）]，
只需f（x）＝ex﹣2与﹣g（x）＝﹣x2﹣ax，无论a取何值都有两个交点，
其中﹣g（x）＝﹣x2﹣ax＝﹣（x+）2+开口向下，且有最大值为≥0，且恒过（0，0），
画出两函数图象如下，其中﹣g（x）＝﹣x2﹣ax＝﹣（x+）2+为一组抛物线，用虚线表示：

无论a取何值，都有两个交点，④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了利用函数图象研究函数零点、转化思想、数形结合思想、难点是准确画出每种情况的图象，属于难题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60分
17．（12分）随着北京冬奥会的进行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年．某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对滑雪运动没有兴趣．
（Ⅰ）完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？

有兴趣
没有兴趣
合计
男



女



合计



（Ⅱ）该俱乐部拟派甲、乙、丙三人参加滑雪选拔赛，选拔赛共有两轮，两轮都获胜选拔才能通过．已知甲在每轮比赛获胜的概率为，乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和，其中（p∈R），判断甲，乙，丙三人谁通过选拔的可能性最大，并说明理由．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【分析】（I）根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及独立性检验公式，即可求解．
（II）根据已知条件，分别求出甲，乙，丙通过选拔的概率，通过比较大小，即可求解．
【解答】解：（I）由题意，从某中学随机抽取了100人进行调查，
可得男生有50人，女生有50人，
又由滑雪运动有兴趣的人数占总数的，所以有人，没有兴趣的有25人，
因为女生中有5人对滑雪运动没有兴趣，所以男生中对滑雪无兴趣的有20人，有兴趣的有30人，
女生有兴趣的有45人，可得如下2×2列联表：

有兴趣
没有兴趣
合计
男
30
20
50
女
45
5
50
合计
75
25
100
所以，
所以有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关．
（II）甲获胜的概率最大，理由如下：
甲在两轮中均获胜的概率为，
乙在两轮中均获胜的概率为，
丙在两轮中均获胜的概率为，
∵，
∴，
∵，
∴P1﹣P3＞0显然P1﹣P2＞0，
∴P1＞P2，P1＞P3，即甲获胜的概率最大．
【点评】本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于中档题．
18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若，且AD＝2，求△ABC面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得，根据题意，由∠ADB+∠ADC＝π，利用余弦定理得，联立方程利用基本不等式可求bc≤6，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
由正弦定理得：，
又B∈（0，π），sinB＞0，
所以，即：，可得，
又A∈（0，π），
所以；
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得：，①
又因为，
所以，且∠ADB+∠ADC＝π，即cos∠ADB+cos∠ADC＝0，
由余弦定理，得，②
将①②联立得：，即bc≤6，（当且仅当时等号成立），
所以．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．（12分）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AB＝AA1＝2A1D1＝2，∠ABC＝60°，平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求锐二面角A﹣DD1﹣C的正切值．

【分析】（Ⅰ）取ABAD的中点M、N，连接CMCN、AC，由题意，CM⊥AB，CN⊥AD，由平面ADD1A1⊥平面ABCD，可得CN⊥平面ADD1A1，进而有CN⊥AA1，同理CM⊥AA1，根据线面垂直的判断定理即可求解；
（Ⅱ）取CD中点E，结合（Ⅰ），分别以ABAEAA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法即可求解．
【解答】（Ⅰ）证明：取AB、AD的中点M、N，连接CM、CN，
∵ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴CM⊥AB，CN⊥AD．

∵平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ABCD∩ADD1A1＝AD．
∴CN⊥平面ADD1A1，AA1⊂平面ADD1A1．∴CN⊥AA1，
同理CM⊥AA1，CM⊂平面ABCD，CN⊂平面ABCD，且CM∩CN＝C，
∴AA1⊥平面ABCD．
（Ⅱ）取CD中点E，分别以AB、AE、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系：
∴，
∴．
记平面ADD1A1的法向量为，显然，

设平面CDD1的法向量为，∴，
∴，记锐二面角A﹣D1D﹣CD的大小为θ．
∴，∴，
∴锐二面角A﹣DD1﹣C的正切值为．


【点评】本题主要考查线面垂直的判定，空间向量及其应用，二面角的计算等知识，属于中等题．
20．（12分）已知抛物线C：x2＝4y，过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线，A，B是切点．
（Ⅰ）若点N的纵坐标为﹣2，求证：直线AB恒过定点；
（Ⅱ）若|AB|＝m（m＞0），求△ABN面积的最大值（结果用m表示）．
【分析】（1）利用导数求出直线NA和直线NB的方程，由直线NA和直线NB都过N（x0，y0），即可求出直线AB的方程，再根据点N的纵坐标为﹣2，即可得到直线AB恒过定点，
（2）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式求出|AB|，利用点到直线距离公式求出△ABN的高，即可求出△ABN面积的最大值
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由y＝x2，y′＝x，则直线NA的斜率为，
则直线NA的方程为y﹣y1＝（x﹣x1），整理得x1x﹣2y+2y1﹣x12＝0，由于x12＝4y1，即x1x﹣2y﹣2y1＝0，
同理可得直线NB的方程为x2x﹣2y﹣2y2＝0，
又直线NA和直线NB都过N（x0，y0），则x1x0﹣2y0﹣2y1＝0，x2x0﹣2y0﹣2y2＝0，
从而A，B均为直线x0x＝2（y0+y）上的点，故直线AB的方程为x0x＝2（y0+y），
又y0＝﹣2，故直线AB的方程为x0（x﹣0）＝2（y﹣2），
故直线AB过定点（0，2）；
（2）设N（x0，y0），由（1）知直线AB的方程为x0x＝2（y0+y），
把它与抛物线x2＝4y联立得，x2﹣2x0x+4y0＝0，其中Δ＝4x02﹣16y0＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得x1+x2＝2x0，x1+x2＝4y0，
则|AB|＝＝＝m，
∴4x02﹣4y0＝，又点N到直线AB的距离d＝＝，
∴S＝|AB|•d＝וm＝≤（当x0＝0时，有最大值），
故△ABN面积的最大值为．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，利用导数求得切线斜率是关键，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数g（x）＝aex﹣x+lna，若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为只需使lna＝ln（x+1）﹣x有两个根，设M（x）＝ln（x+1）﹣x，结合函数M（x）的单调性得到只需lna＜0，求出a的取值范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为{x|x＞﹣﹣1}，
f′（x）＝﹣1＝﹣，令f′（x）＞0，解得﹣1＜x＜0，令f′（x）＜0，解得x＞0，
故函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单减区间为（0，+∞）．
（Ⅱ）要使函数F（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点，
即f（x）＝g（x）有两个实根，
即ln（x+1）﹣x+1＝aex﹣x+lna有两个实根，
即ex+lna+x+lna＝ln（x+1）+x+1，
整理为ex+lna+x+lna＝eln（x+1）+ln（x+1），
设函数h（x）＝ex+x，则上式为h（x+lna）＝h（ln（x+1）），
因为h′（x）＝ex+1＞0恒成立，所以h（x）＝ex+x单调递增，所以x+lna＝ln（x+1），
所以只需使lna＝ln（x+1）﹣x有两个根，设M（x）＝ln（x+1）﹣x，
由（1）可知，函数M（x））的单调递增区间为（﹣1，0），单减区间为（0，+∞），
故函数M（x）在x＝0处取得极大值，M（x）max＝M（0）＝0，
当x→﹣1时，M（x）→﹣∞，当x→+∞时，M（x）→﹣∞，
要想lna＝ln（x+1）﹣x有两个根，只需lna＜0，解得0＜a＜1．
所以a的取值范围是（0，1）．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查转化思想，是难题．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．已知M是曲线C1上的动点，将OM绕点O逆时针旋转90°得到ON，设点N的轨迹为曲线C2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）设点Q（1，0），若射线l：与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△ABQ的面积．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（Ⅱ）利用点到直线的直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ），曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，
根据，转换为极坐标方程为ρ＝2cosθ，
已知M是曲线C1上的动点，将OM绕点O逆时针旋转90°得到ON，设点N的轨迹为曲线C2，
C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（2）由题意可以，，
所以．
又Q到射线l的距离为．
故△ABQ的面积为．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
[选修：不等式选讲]（10分）
23．已知f（x）＝|x﹣a|．
（Ⅰ）若f（x）≥|2x﹣1|的解集为[0，2]，求实数a的值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈R，不等式f（x）+|x+2a|＞2a+3恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）不等式等价于|x﹣a|≥|2x﹣1|，两边平方整理为3x2+（2a﹣4）x+1﹣a2≤0，根据不等式与对应方程的关系求出a的值；
（Ⅱ）利用绝对值不等式求出f（x）+|x+2a|＞3|a|，由此求关于a的不等式解集即可．
【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）≥|2x﹣1|，即|x﹣a|≥|2x﹣1|，
两边平方整理得：3x2+（2a﹣4）x+1﹣a2≤0，
由题意可知0和2是方程3x2+（2a﹣4）x+1﹣a2＝0的两个实数根，
由根与系数的关系知，解得a＝﹣1．
（Ⅱ）因为f（x）+|x+2a|＞|x﹣a|+|x+2a|≥|（x﹣a）﹣（x+2a）|＝3|a|，
所以要使不等式f（x）+|x+2a|＞2a+3恒成立，只需3|a|＞2a+3，
当a≥0时，3a＞2a+3，解得a＞3，即a＞3．
当a＜0时，﹣3a＞2a+3，解得，即．
综上所述，实数a的取值范围是．
【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题．
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