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2021年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（文科）（二模）
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这是一份2021年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（文科）（二模），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（文科）（二模）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{x|3≤x＜5} B．{x|2＜x＜5} C．{3，4} D．{3，4，5}
2．（5分）设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．2
3．（5分）如图是某统计部门网站发布的《某市2020年2～12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）
下列说法错误的是（ ）
①2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%
②2020年9月CP1环比上升0.2%，同比无变化
③2020年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%
④2020年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
4．（5分）攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以四角攒尖为例，它的主要部分的轮席可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱长与底面外接圆的直径的比为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）若直线x+ay﹣a﹣1＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧的长为（ ）
A． B．π C．2π D．3π
6．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，则b等于（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（ ）
A．2﹣ B．2﹣ C．2﹣ D．2﹣
8．（5分）皮埃尔•德•费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的（p﹣1）次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集{2，3，5，6，8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），过点P（，0）的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且＝﹣3，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）＝2cos（）
B．不等式f（x）＞1的解集为（2kπ﹣，2kπ+π），k∈Z
C．函数f（x）的一个单调递减区间为[，]
D．若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为g（x），则g（x）是奇函数
11．（5分）已知a﹣5＝ln＜0，b﹣4＝ln＜0，c﹣3＝ln＜0，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AB上一点，且AD＝5DB．过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28π，则球O的表面积为（ ）
A．128π B．132π C．144π D．156π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）直线y＝x+b是曲线y＝lnx的一条切线，则实数b的值为 ．
14．（5分）已知向量与的夹角为60°，||＝3，||＝6，则2﹣在方向上的投影为 ．
15．（5分）如果函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f（）．若y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，那么在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是 ．
16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，A＝，若λb+c有最大值，则实数λ的取值范围是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：每题12分，共60．
17．（12分）2021年2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄严宣告：我国脱贫攻坚战取得全面胜利．目前，河南省53个贫困县已经全部脱贫摘帽，退出贫困县序列.2016年起，我省某贫困地区创新开展产业扶贫，响应第三产业的扶贫攻坚政策，经济收入逐年增加．该地的经济收入变化及构成比例如图所示：
年份
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
年份代号x
1
2
3
4
5
经济收入y（单位：百万元）
5
9
14
17
20
（Ⅰ）根据以上图表，试分析：与2016年相比，2020年第三产业与种植业收入变化情况；
（Ⅱ）求经济收入y关于x的线性回归方程，并预测2025年该地区的经济收入．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其回归直线＝x的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝﹣．
18．（12分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且{bn}的前n项和为Sn，2a1＝b1＝2，a5＝5（a4﹣a3），___．在①b5＝4（b4﹣b3），②bn+1＝Sn+2这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an﹣bn}的前n项和Tn．
19．（12分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，且AM＝2MA1，C1N＝2CN．证明：
（Ⅰ）点D在平面B1MN内；
（Ⅱ）MN⊥BD．
20．（12分）如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B．
（Ⅰ）证明：直线BC∥x轴；
（Ⅱ）设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF．证明：||AF|﹣|BF||＝8．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣a（x+1）．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）对任意x＞0，求证：﹣a（x+1）＞f（x）．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t是参数，α∈[0，）），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin（）﹣2cosθ．
（Ⅰ）写出曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2α﹣sinαcosα的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+a|（a＞0）．
（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，求实数a的取值范围．
2021年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（文科）（二模）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{x|3≤x＜5} B．{x|2＜x＜5} C．{3，4} D．{3，4，5}
【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{3，4，5}，B＝{x|0＜x﹣1＜4}＝{x|1＜x＜5}，
∴A∩B＝{3，4}．
故选：C．
【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，对数函数的定义域和单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．2
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝2i（1﹣i），z＝i+1．
则|z|＝．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）如图是某统计部门网站发布的《某市2020年2～12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）
下列说法错误的是（ ）
①2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%
②2020年9月CP1环比上升0.2%，同比无变化
③2020年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%
④2020年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
【分析】根据折线图数据，经数据分析可得结果．
【解答】解：根据折线图（下图）可得，其中上一条折线为月度同比折线图，下一条为月度环比折线图，
所以根据数据可得，9月份月度环比比上年上涨0.5%，同比比上年上涨2.1%，故①正确；
根据数据可得，3月份月度环比比上年下降0.2%，同比比上年上涨1.7%，故④正确；
因此②③错误．
故选：D．
【点评】本题考查折线图中数据分析，属于基础题．
4．（5分）攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以四角攒尖为例，它的主要部分的轮席可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱长与底面外接圆的直径的比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设底面正方形的外接圆的半径为R，求出正方形的边长，然后利用侧面等腰三角形的边角关系，求出侧棱长，计算比值即可．
【解答】解：正四棱锥的底面是正方形，其外接圆的半径为R，
则正方形的边长为，
因为正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，
设侧棱长为l，则有，
解得，
所以侧棱长与底面外接圆的直径的比为．
故选：D．
【点评】本题考查了正四棱锥的结构特征的理解和应用，考查了正方形外接圆的理解，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
5．（5分）若直线x+ay﹣a﹣1＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧的长为（ ）
A． B．π C．2π D．3π
【分析】求出直线过的定点M，再求出圆C的圆心C和半径，利用圆的性质可得当MC与直线AB垂直时弦长AB最小，进而可以求解．
【解答】解：直线x+ay﹣a﹣1＝0可化为：
（x﹣1）+a（y﹣1）＝0，则当x﹣1＝0且y﹣1＝0，即x＝1且y＝1时，等式恒成立，
所以直线恒过定点M（1，1），
设圆的圆心为C（2，0），半径r＝2，
当MC⊥直线AB时，|AB|取得最小值，且最小值为2＝2＝2，
此时弦长AB对的圆心角为，
所以劣弧长为×2＝π，
故选：B．
【点评】本题考查了直线的定点问题以及直线与圆的位置关系的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
6．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，则b等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由余弦定理得出b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，由已知ac＝6，a+c＝2b 代入后消去a，c，解关于b的方程即可．
【解答】解：由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac﹣2accosB①，
又S△ABC＝acsinB＝ac＝，∴ac＝6，②
∵a、b、c成等差数列，∴a+c＝2b，③，将②③代入①得 b2＝4b2﹣12﹣6，化简整理得b2＝4+2，解得b＝1+．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形正弦形式下的面积公式、余弦定理的应用．
7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（ ）
A．2﹣ B．2﹣ C．2﹣ D．2﹣
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，s＝1，x＝，不满足退出循环的条件x＜0.01；
再次执行循环体后，s＝1+，x＝，不满足退出循环的条件x＜0.01；
再次执行循环体后，s＝1++，x＝，不满足退出循环的条件x＜0.01；
…
由于＞0.01，而＜0.01，可得：
当s＝1++++…，x＝，此时，满足退出循环的条件x＜0.01，
输出s＝1+++…＝2﹣．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．
8．（5分）皮埃尔•德•费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的（p﹣1）次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集{2，3，5，6，8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】基本事件总数n＝＝20，利用列举法求出所取两个数（p，a）符合费马小定理包含的基本事件有9个，由此能求出所取两个数符合费马小定理的概率．
【解答】解：在数集{2，3，5，6，8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，
基本事件总数n＝＝20，
所取两个数（p，a）符合费马小定理包含的基本事件有：
（2，3），（2，5），（3，2），（3，5），（3，8），（5，2），（5，3），（5，6），（5，8），共9个，
∴所取两个数符合费马小定理的概率为P＝．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
9．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），过点P（，0）的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且＝﹣3，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用已知向量关系推出△AF1P∽△BF2P，且，由此建立等式关系即可求解．
【解答】解：由＝﹣3可知，F1A∥F2B，
所以△AF1P∽△BF2P，且，
即，化简可得，
即e2＝2，所以e＝（负值舍去），
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的性质以及向量共线的性质，涉及到三角形相似，考查了学生的运算能力，属于中档题．
10．（5分）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）＝2cos（）
B．不等式f（x）＞1的解集为（2kπ﹣，2kπ+π），k∈Z
C．函数f（x）的一个单调递减区间为[，]
D．若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为g（x），则g（x）是奇函数
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．再根据函数y＝Acos（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：根据函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，
可得A＝2，•＝+，∴ω＝．
结合五点法作图，可得•+φ＝0，∴φ＝﹣，f（x）＝2cos（﹣），故A错误；
不等式f（x）＞1，即 cos（﹣）＞，∴2kπ﹣≤﹣≤2kπ+，
求得 4kπ﹣≤x≤4kπ+π，故不等式的解集为（4kπ﹣，4kπ+π），k∈Z，故B错误；
当x∈[，]时，﹣∈[﹣，]，f（x）没有单调性，故C错误；
将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为
g（x）＝2cos（﹣﹣）＝2sin，则g（x）是奇函数，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查由函数y＝Acos（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．函数y＝Acos（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．
11．（5分）已知a﹣5＝ln＜0，b﹣4＝ln＜0，c﹣3＝ln＜0，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【分析】结合已知式子构造函数f（x）＝x﹣lnx，对其求导，结合导数分析函数在x＞1时单调性，进而可比较函数值大小．
【解答】解：令f（x）＝x﹣lnx，则＝，
当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减．
故f（5）＞f（4）＞f（3），
所以5﹣ln5＞4﹣ln4＞3﹣ln3，
因为a﹣5＝ln＝lna﹣ln5＜0，b﹣4＝ln＝lnb﹣ln4＜0，c﹣3＝ln＝lnc﹣ln3＜0，
所以a﹣lna＝5﹣ln5，b﹣lnb＝4﹣ln4，c﹣lnc＝3﹣ln3，
故a﹣lna＞b﹣lnb＞c﹣lnc，
所以f（a）＞f（b）＞f（c），
因为a﹣4＝lna﹣ln4＜0得0＜a＜4，
又a﹣lna＝4﹣ln4，
所以f（a）＝f（4），则0＜a＜1，
同理f（b）＝f（3），f（c）＝f（2），
所以0＜b＜1，0＜c＜1，
所以c＞b＞a．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数值大小的比较，函数的构造及单调性的应用是求解问题的关键．
12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AB上一点，且AD＝5DB．过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28π，则球O的表面积为（ ）
A．128π B．132π C．144π D．156π
【分析】设面ABC所截的截面圆的圆心为O'，外接球的球心为O，利用三角形外接圆的几何性质以及球的几何性质，分别求出截面圆面积的最小值和最大值，从而求出外接球的半径，由球的表面积公式求解即可．
【解答】解：因为AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，
所以，
设面ABC所截的截面圆的圆心为O'，外接球的球心为O，
则O'为BC的中点，且OO'⊥平面ABC，
则有O'A＝O'B＝O'C＝，
取AB的中点E，连结O'E，O'O，则O'E＝，
因为AD＝5DB，AB＝8，E为AB的中点，所以DE＝2，
所以，
设OO'＝x，则有OD2＝O'D2+OO'2＝20+x2，
则球的半径R2＝O'A2+x2＝52+x2＝25+x2，
故与OD垂直的截面圆的半径，
所以截面圆面积的最小值为πr2＝5π，
截面圆面积的最大值为πR2，
由题意可得πR2﹣5π＝28π，解得R2＝33，
所以球的表面积为S＝4πR2＝132π．
故选：B．
【点评】本题考查了三棱锥的外接球问题，解题的关键是掌握棱锥的几何性质以及球的几何性质，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）直线y＝x+b是曲线y＝lnx的一条切线，则实数b的值为 ln3﹣1 ．
【分析】欲实数b的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．
【解答】解：y′＝（lnx）′＝，令＝，得x＝3，
∴切点为（3，ln3），代入直线方程y＝x+b，
∴ln3＝×3+b，∴b＝ln3﹣1．
故答案为：ln3﹣1．
【点评】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
14．（5分）已知向量与的夹角为60°，||＝3，||＝6，则2﹣在方向上的投影为 3 ．
【分析】根据2﹣在方向上的投影为，然后根据向量数量积公式进行求解即可．
【解答】解：向量与的夹角为60°，||＝3，||＝6，
可得2﹣在方向上的投影为：＝＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的性质及其运算，以及一个向量在另一个向量方向上的投影，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
15．（5分）如果函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f（）．若y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，那么在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是 ．
【分析】依题意，y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，则≤sin，从而可得答案．
【解答】解：∵y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，且在△ABC中，A，B，C∈（0，π），A+B+C＝π，
∴≤sin＝sin＝，
∴sinA+sinB+sinC≤．
故答案为：．
【点评】本题考查函数恒成立问题，理解新定义凸函数是难点，考查理解与转化的能力，属于中档题．
16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，A＝，若λb+c有最大值，则实数λ的取值范围是 （，） ．
【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得λb+c＝sin（B+θ），其中tanθ＝，结合A的范围，由于λb+c存在最大值，可求tanθ＝＞1，进而解得λ的范围．
【解答】解：因为a＝1，A＝，由正弦定理得：＝，
所以λb+c＝（λsinB+sinC）＝λsinB+sin（﹣B）＝λsinB+（cosB﹣sinB）＝（λ﹣1）sinB+cosB＝sin（B+θ），其中tanθ＝，
由B∈（0，），
λb+c存在最大值，即B+θ＝有解，
即θ∈（，），可得λ﹣1＞0，解得λ＞，
又＞1，解得λ＜，
则实数λ的取值范围是（，）．
故答案为：（，）．
【点评】本题考查了正弦定理、辅助角公式、函数有解问题，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：每题12分，共60．
17．（12分）2021年2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄严宣告：我国脱贫攻坚战取得全面胜利．目前，河南省53个贫困县已经全部脱贫摘帽，退出贫困县序列.2016年起，我省某贫困地区创新开展产业扶贫，响应第三产业的扶贫攻坚政策，经济收入逐年增加．该地的经济收入变化及构成比例如图所示：
年份
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
年份代号x
1
2
3
4
5
经济收入y（单位：百万元）
5
9
14
17
20
（Ⅰ）根据以上图表，试分析：与2016年相比，2020年第三产业与种植业收入变化情况；
（Ⅱ）求经济收入y关于x的线性回归方程，并预测2025年该地区的经济收入．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其回归直线＝x的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝﹣．
【分析】（Ⅰ）利用图表中的数据信息进行分析比较即可；
（Ⅱ）求出样本中心，然后利用公式求出和，即可求出线性回归方程，再将x＝10代入求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）①与2016年相比，2020年第三产业的收入占比大幅度增加；
②2016年第三产业的收入为0.3百万元，2020年第三产业的收入为6百万元，收入大幅度增加；
③与2016年相比，种植业收入占比减少，但种植业收入依然保持增长；
（Ⅱ）由表格中的数据可知，，
，，
则＝＝，
所以＝﹣＝1.6，
故经济收入y关于x的线性回归方程为＝3.8x+1.6，
当x＝10时，＝39.6，则2025年该地区的经济收入预测为39.6百万元．
【点评】本题考查了线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
18．（12分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且{bn}的前n项和为Sn，2a1＝b1＝2，a5＝5（a4﹣a3），___．在①b5＝4（b4﹣b3），②bn+1＝Sn+2这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an﹣bn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）分别选①②，由等差数列的通项公式和数列的递推式、等比数列的通项公式，计算可得所求；
（Ⅱ）求得an﹣bn＝n﹣2n，由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
选①b5＝4（b4﹣b3），
（Ⅰ）由2a1＝b1＝2，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3），
可得1+4d＝5d，2q4＝4（2q3﹣2q2），
解得d＝1，q＝2，
则an＝1+n﹣1＝n，bn＝2•2n﹣1＝2n；
（Ⅱ）an﹣bn＝n﹣2n，
则Tn＝（1+2+3+…+n）﹣（2+4+8+…+2n）
＝n（n+1）﹣＝（n2+n）﹣2n+1+2．
选②bn+1＝Sn+2，
（Ⅰ）由2a1＝2，a5＝5（a4﹣a3），bn+1＝Sn+2，
可得1+4d＝5d，
解得d＝1，
由b1＝2，bn+1＝Sn+2，①
当n≥2时，bn＝Sn﹣1+2，②
①﹣②可得bn+1﹣bn＝Sn﹣Sn﹣1＝bn，
即bn+1＝2bn，
由n＝1时，b2＝S1+2＝b1+2＝4，
所以bn＝b2•2n﹣2＝2n，
上式对n＝1也成立，
所以an＝1+n﹣1＝n，bn＝2•2n﹣1＝2n；
（Ⅱ）an﹣bn＝n﹣2n，
则Tn＝（1+2+3+…+n）﹣（2+4+8+…+2n）
＝n（n+1）﹣＝（n2+n）﹣2n+1+2．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19．（12分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，且AM＝2MA1，C1N＝2CN．证明：
（Ⅰ）点D在平面B1MN内；
（Ⅱ）MN⊥BD．
【分析】（Ⅰ）连接MD，推导出MD∥B1N，由此能证明点D在平面B1MN内；
（Ⅱ）连接AC，BD，推导出AC⊥BD，AA1⊥BD，从而BD⊥平面ACC1A1，由此能证明MN⊥BD．
【解答】证明：（Ⅰ）连接MD，
∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，且AM＝2MA1，C1N＝2CN，
∴由平行线性质定理得到MD∥B1N，∴四边形MDNB1是平面图形，
∴点D在平面B1MN内；
（Ⅱ）连接AC，BD，
∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，
∴AC⊥BD，AA1⊥BD，
∵AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1，
∵MN⊂平面ACC1A1，∴MN⊥BD．
【点评】本题考查点在平面内、线线垂直的证明，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力等数学核心素养，是中档题．
20．（12分）如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B．
（Ⅰ）证明：直线BC∥x轴；
（Ⅱ）设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF．证明：||AF|﹣|BF||＝8．
【分析】（Ⅰ）设A，B的坐标，再设直线AO的方程，由题意可得C的坐标，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立求出两根之积，可得A，B的坐标的关系，进而可得B，C的纵坐标相等，即证明BC平行于x轴；
（Ⅱ）由题意可得E的坐标，再由BE⊥BF，可得•＝0，求出B的坐标，再由（Ⅰ）可得A的坐标，可证|AF|，|BF|之差为定值
【解答】解：（Ⅰ）证明：由抛物线的性质可得焦点F（2，0），准线方程为x＝﹣2，
设A（，y1），B（，y2），
所以直线AO的方程为：y＝x，由题意可得C（﹣2，﹣），
设直线AB的方程为：x＝my+2，
联立，整理可得y2﹣8my﹣16＝0，
所以y1y2＝﹣16，可得y2＝﹣，所以yC＝y2，
所以BC∥x轴；
（Ⅱ）证明：因为准线方程为x＝﹣2，由题意可得E（﹣2，0），
＝（﹣2﹣，﹣y2），＝（2﹣，﹣y2），
因为BE⊥BF，所以•＝0，
即y22+（﹣2﹣）（2﹣）＝0，解得y2＝，x2＝2﹣4，
由（Ⅰ）可得x1x2＝＝＝4，所以x1＝2+4，
|AF|＝x1+2，|BF|＝x2+2，
所以可证：||AF|﹣|BF||＝|x1﹣x2|＝8．
【点评】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣a（x+1）．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）对任意x＞0，求证：﹣a（x+1）＞f（x）．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为证明•﹣lnx＞0，令g（x）＝•﹣lnx，根据函数的单调性证明结论成立即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）＝﹣a＝，
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，
当a＞0时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，
∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；
综上：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，
当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；
（Ⅱ）证明：要证﹣a（x+1）＞f（x），即证•﹣lnx＞0，
令g（x）＝•﹣lnx，则g′（x）＝，
令r（x）＝2（x﹣1）ex﹣e2x，则r′（x）＝2xex﹣e2，
由r′（x）在（0，+∞）单调递增，且r′（1）＝2e﹣e2＜0，r′（2）＝3e2＞0，
∴存在唯一的实数x0∈（1，2），使得r′（x0）＝0，
∴r（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
∵r（0）＜0，r（2）＝0，∴当r（x）＞0时，x＞2，当r（x）＜0时，0＜x＜2，
∴g（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（2）＝1﹣ln2＞0，
综上，•﹣lnx＞0，即﹣a（x+1）＞f（x）．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t是参数，α∈[0，）），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin（）﹣2cosθ．
（Ⅰ）写出曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2α﹣sinαcosα的值．
【分析】（1）直接利用转换关系，在直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；
（2）利用极径的应用和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin（）﹣2cosθ，
根据转换为直角坐标方程为x2+y2＝2x+4y，
即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5．
（Ⅱ）曲线C1的参数方程是（t是参数，α∈[0，）），
转换为直角坐标方程为y＝kx+5，（k＞0），
利用圆心（1，2）到直线的距离公式，
解得k＝，（负值舍去），
故k＝2，
即tanα＝2，
所以sin，cos，
故sin2α﹣sinαcosα＝＝．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+a|（a＞0）．
（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；
（Ⅱ）由题意可得（|2x﹣4|+|x+a|）min≥a2﹣2a+4，a＞0，运用绝对值的几何意义和绝对值不等式的性质，求得最小值，解二次不等式，可得所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）若a＝1，不等式f（x）≥5即为|2x﹣4|+|x+1≥5，
等价为或或，
解得x≤﹣1或﹣1＜x≤0或x≥4，
所以原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[4，+∞）：
（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，
即为（|2x﹣4|+|x+a|）min≥a2﹣2a+4，a＞0，
而|2x﹣4|+|x+a|＝|x﹣2|+（|x﹣2|+|x+a|）≥|2﹣2|+|x﹣2﹣x﹣a|＝|a+2|＝a+2，
当x＝2时，上式取得等号，
所以a2﹣2a+4≤a+2，即a2﹣3a+2≤0，
解得1≤a≤2，
即a的取值范围是[1，2]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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2021年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（文科）（二模）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{x|3≤x＜5} B．{x|2＜x＜5} C．{3，4} D．{3，4，5}
2．（5分）设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．2
3．（5分）如图是某统计部门网站发布的《某市2020年2～12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）
下列说法错误的是（ ）
①2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%
②2020年9月CP1环比上升0.2%，同比无变化
③2020年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%
④2020年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
4．（5分）攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以四角攒尖为例，它的主要部分的轮席可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱长与底面外接圆的直径的比为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）若直线x+ay﹣a﹣1＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧的长为（ ）
A． B．π C．2π D．3π
6．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，则b等于（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（ ）
A．2﹣ B．2﹣ C．2﹣ D．2﹣
8．（5分）皮埃尔•德•费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的（p﹣1）次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集{2，3，5，6，8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），过点P（，0）的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且＝﹣3，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）＝2cos（）
B．不等式f（x）＞1的解集为（2kπ﹣，2kπ+π），k∈Z
C．函数f（x）的一个单调递减区间为[，]
D．若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为g（x），则g（x）是奇函数
11．（5分）已知a﹣5＝ln＜0，b﹣4＝ln＜0，c﹣3＝ln＜0，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AB上一点，且AD＝5DB．过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28π，则球O的表面积为（ ）
A．128π B．132π C．144π D．156π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）直线y＝x+b是曲线y＝lnx的一条切线，则实数b的值为 ．
14．（5分）已知向量与的夹角为60°，||＝3，||＝6，则2﹣在方向上的投影为 ．
15．（5分）如果函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f（）．若y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，那么在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是 ．
16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，A＝，若λb+c有最大值，则实数λ的取值范围是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：每题12分，共60．
17．（12分）2021年2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄严宣告：我国脱贫攻坚战取得全面胜利．目前，河南省53个贫困县已经全部脱贫摘帽，退出贫困县序列.2016年起，我省某贫困地区创新开展产业扶贫，响应第三产业的扶贫攻坚政策，经济收入逐年增加．该地的经济收入变化及构成比例如图所示：
年份
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
年份代号x
1
2
3
4
5
经济收入y（单位：百万元）
5
9
14
17
20
（Ⅰ）根据以上图表，试分析：与2016年相比，2020年第三产业与种植业收入变化情况；
（Ⅱ）求经济收入y关于x的线性回归方程，并预测2025年该地区的经济收入．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其回归直线＝x的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝﹣．
18．（12分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且{bn}的前n项和为Sn，2a1＝b1＝2，a5＝5（a4﹣a3），___．在①b5＝4（b4﹣b3），②bn+1＝Sn+2这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an﹣bn}的前n项和Tn．
19．（12分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，且AM＝2MA1，C1N＝2CN．证明：
（Ⅰ）点D在平面B1MN内；
（Ⅱ）MN⊥BD．
20．（12分）如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B．
（Ⅰ）证明：直线BC∥x轴；
（Ⅱ）设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF．证明：||AF|﹣|BF||＝8．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣a（x+1）．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）对任意x＞0，求证：﹣a（x+1）＞f（x）．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t是参数，α∈[0，）），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin（）﹣2cosθ．
（Ⅰ）写出曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2α﹣sinαcosα的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+a|（a＞0）．
（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，求实数a的取值范围．
2021年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（文科）（二模）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{x|3≤x＜5} B．{x|2＜x＜5} C．{3，4} D．{3，4，5}
【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{3，4，5}，B＝{x|0＜x﹣1＜4}＝{x|1＜x＜5}，
∴A∩B＝{3，4}．
故选：C．
【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，对数函数的定义域和单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．2
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝2i（1﹣i），z＝i+1．
则|z|＝．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）如图是某统计部门网站发布的《某市2020年2～12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）
下列说法错误的是（ ）
①2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%
②2020年9月CP1环比上升0.2%，同比无变化
③2020年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%
④2020年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
【分析】根据折线图数据，经数据分析可得结果．
【解答】解：根据折线图（下图）可得，其中上一条折线为月度同比折线图，下一条为月度环比折线图，
所以根据数据可得，9月份月度环比比上年上涨0.5%，同比比上年上涨2.1%，故①正确；
根据数据可得，3月份月度环比比上年下降0.2%，同比比上年上涨1.7%，故④正确；
因此②③错误．
故选：D．
【点评】本题考查折线图中数据分析，属于基础题．
4．（5分）攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以四角攒尖为例，它的主要部分的轮席可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱长与底面外接圆的直径的比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设底面正方形的外接圆的半径为R，求出正方形的边长，然后利用侧面等腰三角形的边角关系，求出侧棱长，计算比值即可．
【解答】解：正四棱锥的底面是正方形，其外接圆的半径为R，
则正方形的边长为，
因为正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，
设侧棱长为l，则有，
解得，
所以侧棱长与底面外接圆的直径的比为．
故选：D．
【点评】本题考查了正四棱锥的结构特征的理解和应用，考查了正方形外接圆的理解，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
5．（5分）若直线x+ay﹣a﹣1＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧的长为（ ）
A． B．π C．2π D．3π
【分析】求出直线过的定点M，再求出圆C的圆心C和半径，利用圆的性质可得当MC与直线AB垂直时弦长AB最小，进而可以求解．
【解答】解：直线x+ay﹣a﹣1＝0可化为：
（x﹣1）+a（y﹣1）＝0，则当x﹣1＝0且y﹣1＝0，即x＝1且y＝1时，等式恒成立，
所以直线恒过定点M（1，1），
设圆的圆心为C（2，0），半径r＝2，
当MC⊥直线AB时，|AB|取得最小值，且最小值为2＝2＝2，
此时弦长AB对的圆心角为，
所以劣弧长为×2＝π，
故选：B．
【点评】本题考查了直线的定点问题以及直线与圆的位置关系的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
6．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，则b等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由余弦定理得出b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，由已知ac＝6，a+c＝2b 代入后消去a，c，解关于b的方程即可．
【解答】解：由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac﹣2accosB①，
又S△ABC＝acsinB＝ac＝，∴ac＝6，②
∵a、b、c成等差数列，∴a+c＝2b，③，将②③代入①得 b2＝4b2﹣12﹣6，化简整理得b2＝4+2，解得b＝1+．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形正弦形式下的面积公式、余弦定理的应用．
7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（ ）
A．2﹣ B．2﹣ C．2﹣ D．2﹣
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，s＝1，x＝，不满足退出循环的条件x＜0.01；
再次执行循环体后，s＝1+，x＝，不满足退出循环的条件x＜0.01；
再次执行循环体后，s＝1++，x＝，不满足退出循环的条件x＜0.01；
…
由于＞0.01，而＜0.01，可得：
当s＝1++++…，x＝，此时，满足退出循环的条件x＜0.01，
输出s＝1+++…＝2﹣．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．
8．（5分）皮埃尔•德•费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的（p﹣1）次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集{2，3，5，6，8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】基本事件总数n＝＝20，利用列举法求出所取两个数（p，a）符合费马小定理包含的基本事件有9个，由此能求出所取两个数符合费马小定理的概率．
【解答】解：在数集{2，3，5，6，8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，
基本事件总数n＝＝20，
所取两个数（p，a）符合费马小定理包含的基本事件有：
（2，3），（2，5），（3，2），（3，5），（3，8），（5，2），（5，3），（5，6），（5，8），共9个，
∴所取两个数符合费马小定理的概率为P＝．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
9．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），过点P（，0）的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且＝﹣3，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用已知向量关系推出△AF1P∽△BF2P，且，由此建立等式关系即可求解．
【解答】解：由＝﹣3可知，F1A∥F2B，
所以△AF1P∽△BF2P，且，
即，化简可得，
即e2＝2，所以e＝（负值舍去），
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的性质以及向量共线的性质，涉及到三角形相似，考查了学生的运算能力，属于中档题．
10．（5分）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）＝2cos（）
B．不等式f（x）＞1的解集为（2kπ﹣，2kπ+π），k∈Z
C．函数f（x）的一个单调递减区间为[，]
D．若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为g（x），则g（x）是奇函数
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．再根据函数y＝Acos（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：根据函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，
可得A＝2，•＝+，∴ω＝．
结合五点法作图，可得•+φ＝0，∴φ＝﹣，f（x）＝2cos（﹣），故A错误；
不等式f（x）＞1，即 cos（﹣）＞，∴2kπ﹣≤﹣≤2kπ+，
求得 4kπ﹣≤x≤4kπ+π，故不等式的解集为（4kπ﹣，4kπ+π），k∈Z，故B错误；
当x∈[，]时，﹣∈[﹣，]，f（x）没有单调性，故C错误；
将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为
g（x）＝2cos（﹣﹣）＝2sin，则g（x）是奇函数，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查由函数y＝Acos（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．函数y＝Acos（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．
11．（5分）已知a﹣5＝ln＜0，b﹣4＝ln＜0，c﹣3＝ln＜0，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【分析】结合已知式子构造函数f（x）＝x﹣lnx，对其求导，结合导数分析函数在x＞1时单调性，进而可比较函数值大小．
【解答】解：令f（x）＝x﹣lnx，则＝，
当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减．
故f（5）＞f（4）＞f（3），
所以5﹣ln5＞4﹣ln4＞3﹣ln3，
因为a﹣5＝ln＝lna﹣ln5＜0，b﹣4＝ln＝lnb﹣ln4＜0，c﹣3＝ln＝lnc﹣ln3＜0，
所以a﹣lna＝5﹣ln5，b﹣lnb＝4﹣ln4，c﹣lnc＝3﹣ln3，
故a﹣lna＞b﹣lnb＞c﹣lnc，
所以f（a）＞f（b）＞f（c），
因为a﹣4＝lna﹣ln4＜0得0＜a＜4，
又a﹣lna＝4﹣ln4，
所以f（a）＝f（4），则0＜a＜1，
同理f（b）＝f（3），f（c）＝f（2），
所以0＜b＜1，0＜c＜1，
所以c＞b＞a．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数值大小的比较，函数的构造及单调性的应用是求解问题的关键．
12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AB上一点，且AD＝5DB．过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28π，则球O的表面积为（ ）
A．128π B．132π C．144π D．156π
【分析】设面ABC所截的截面圆的圆心为O'，外接球的球心为O，利用三角形外接圆的几何性质以及球的几何性质，分别求出截面圆面积的最小值和最大值，从而求出外接球的半径，由球的表面积公式求解即可．
【解答】解：因为AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，
所以，
设面ABC所截的截面圆的圆心为O'，外接球的球心为O，
则O'为BC的中点，且OO'⊥平面ABC，
则有O'A＝O'B＝O'C＝，
取AB的中点E，连结O'E，O'O，则O'E＝，
因为AD＝5DB，AB＝8，E为AB的中点，所以DE＝2，
所以，
设OO'＝x，则有OD2＝O'D2+OO'2＝20+x2，
则球的半径R2＝O'A2+x2＝52+x2＝25+x2，
故与OD垂直的截面圆的半径，
所以截面圆面积的最小值为πr2＝5π，
截面圆面积的最大值为πR2，
由题意可得πR2﹣5π＝28π，解得R2＝33，
所以球的表面积为S＝4πR2＝132π．
故选：B．
【点评】本题考查了三棱锥的外接球问题，解题的关键是掌握棱锥的几何性质以及球的几何性质，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）直线y＝x+b是曲线y＝lnx的一条切线，则实数b的值为 ln3﹣1 ．
【分析】欲实数b的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．
【解答】解：y′＝（lnx）′＝，令＝，得x＝3，
∴切点为（3，ln3），代入直线方程y＝x+b，
∴ln3＝×3+b，∴b＝ln3﹣1．
故答案为：ln3﹣1．
【点评】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
14．（5分）已知向量与的夹角为60°，||＝3，||＝6，则2﹣在方向上的投影为 3 ．
【分析】根据2﹣在方向上的投影为，然后根据向量数量积公式进行求解即可．
【解答】解：向量与的夹角为60°，||＝3，||＝6，
可得2﹣在方向上的投影为：＝＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的性质及其运算，以及一个向量在另一个向量方向上的投影，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
15．（5分）如果函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f（）．若y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，那么在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是 ．
【分析】依题意，y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，则≤sin，从而可得答案．
【解答】解：∵y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，且在△ABC中，A，B，C∈（0，π），A+B+C＝π，
∴≤sin＝sin＝，
∴sinA+sinB+sinC≤．
故答案为：．
【点评】本题考查函数恒成立问题，理解新定义凸函数是难点，考查理解与转化的能力，属于中档题．
16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，A＝，若λb+c有最大值，则实数λ的取值范围是 （，） ．
【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得λb+c＝sin（B+θ），其中tanθ＝，结合A的范围，由于λb+c存在最大值，可求tanθ＝＞1，进而解得λ的范围．
【解答】解：因为a＝1，A＝，由正弦定理得：＝，
所以λb+c＝（λsinB+sinC）＝λsinB+sin（﹣B）＝λsinB+（cosB﹣sinB）＝（λ﹣1）sinB+cosB＝sin（B+θ），其中tanθ＝，
由B∈（0，），
λb+c存在最大值，即B+θ＝有解，
即θ∈（，），可得λ﹣1＞0，解得λ＞，
又＞1，解得λ＜，
则实数λ的取值范围是（，）．
故答案为：（，）．
【点评】本题考查了正弦定理、辅助角公式、函数有解问题，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：每题12分，共60．
17．（12分）2021年2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄严宣告：我国脱贫攻坚战取得全面胜利．目前，河南省53个贫困县已经全部脱贫摘帽，退出贫困县序列.2016年起，我省某贫困地区创新开展产业扶贫，响应第三产业的扶贫攻坚政策，经济收入逐年增加．该地的经济收入变化及构成比例如图所示：
年份
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
年份代号x
1
2
3
4
5
经济收入y（单位：百万元）
5
9
14
17
20
（Ⅰ）根据以上图表，试分析：与2016年相比，2020年第三产业与种植业收入变化情况；
（Ⅱ）求经济收入y关于x的线性回归方程，并预测2025年该地区的经济收入．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其回归直线＝x的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝﹣．
【分析】（Ⅰ）利用图表中的数据信息进行分析比较即可；
（Ⅱ）求出样本中心，然后利用公式求出和，即可求出线性回归方程，再将x＝10代入求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）①与2016年相比，2020年第三产业的收入占比大幅度增加；
②2016年第三产业的收入为0.3百万元，2020年第三产业的收入为6百万元，收入大幅度增加；
③与2016年相比，种植业收入占比减少，但种植业收入依然保持增长；
（Ⅱ）由表格中的数据可知，，
，，
则＝＝，
所以＝﹣＝1.6，
故经济收入y关于x的线性回归方程为＝3.8x+1.6，
当x＝10时，＝39.6，则2025年该地区的经济收入预测为39.6百万元．
【点评】本题考查了线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
18．（12分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且{bn}的前n项和为Sn，2a1＝b1＝2，a5＝5（a4﹣a3），___．在①b5＝4（b4﹣b3），②bn+1＝Sn+2这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an﹣bn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）分别选①②，由等差数列的通项公式和数列的递推式、等比数列的通项公式，计算可得所求；
（Ⅱ）求得an﹣bn＝n﹣2n，由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
选①b5＝4（b4﹣b3），
（Ⅰ）由2a1＝b1＝2，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3），
可得1+4d＝5d，2q4＝4（2q3﹣2q2），
解得d＝1，q＝2，
则an＝1+n﹣1＝n，bn＝2•2n﹣1＝2n；
（Ⅱ）an﹣bn＝n﹣2n，
则Tn＝（1+2+3+…+n）﹣（2+4+8+…+2n）
＝n（n+1）﹣＝（n2+n）﹣2n+1+2．
选②bn+1＝Sn+2，
（Ⅰ）由2a1＝2，a5＝5（a4﹣a3），bn+1＝Sn+2，
可得1+4d＝5d，
解得d＝1，
由b1＝2，bn+1＝Sn+2，①
当n≥2时，bn＝Sn﹣1+2，②
①﹣②可得bn+1﹣bn＝Sn﹣Sn﹣1＝bn，
即bn+1＝2bn，
由n＝1时，b2＝S1+2＝b1+2＝4，
所以bn＝b2•2n﹣2＝2n，
上式对n＝1也成立，
所以an＝1+n﹣1＝n，bn＝2•2n﹣1＝2n；
（Ⅱ）an﹣bn＝n﹣2n，
则Tn＝（1+2+3+…+n）﹣（2+4+8+…+2n）
＝n（n+1）﹣＝（n2+n）﹣2n+1+2．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19．（12分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，且AM＝2MA1，C1N＝2CN．证明：
（Ⅰ）点D在平面B1MN内；
（Ⅱ）MN⊥BD．
【分析】（Ⅰ）连接MD，推导出MD∥B1N，由此能证明点D在平面B1MN内；
（Ⅱ）连接AC，BD，推导出AC⊥BD，AA1⊥BD，从而BD⊥平面ACC1A1，由此能证明MN⊥BD．
【解答】证明：（Ⅰ）连接MD，
∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，且AM＝2MA1，C1N＝2CN，
∴由平行线性质定理得到MD∥B1N，∴四边形MDNB1是平面图形，
∴点D在平面B1MN内；
（Ⅱ）连接AC，BD，
∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，
∴AC⊥BD，AA1⊥BD，
∵AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1，
∵MN⊂平面ACC1A1，∴MN⊥BD．
【点评】本题考查点在平面内、线线垂直的证明，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力等数学核心素养，是中档题．
20．（12分）如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B．
（Ⅰ）证明：直线BC∥x轴；
（Ⅱ）设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF．证明：||AF|﹣|BF||＝8．
【分析】（Ⅰ）设A，B的坐标，再设直线AO的方程，由题意可得C的坐标，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立求出两根之积，可得A，B的坐标的关系，进而可得B，C的纵坐标相等，即证明BC平行于x轴；
（Ⅱ）由题意可得E的坐标，再由BE⊥BF，可得•＝0，求出B的坐标，再由（Ⅰ）可得A的坐标，可证|AF|，|BF|之差为定值
【解答】解：（Ⅰ）证明：由抛物线的性质可得焦点F（2，0），准线方程为x＝﹣2，
设A（，y1），B（，y2），
所以直线AO的方程为：y＝x，由题意可得C（﹣2，﹣），
设直线AB的方程为：x＝my+2，
联立，整理可得y2﹣8my﹣16＝0，
所以y1y2＝﹣16，可得y2＝﹣，所以yC＝y2，
所以BC∥x轴；
（Ⅱ）证明：因为准线方程为x＝﹣2，由题意可得E（﹣2，0），
＝（﹣2﹣，﹣y2），＝（2﹣，﹣y2），
因为BE⊥BF，所以•＝0，
即y22+（﹣2﹣）（2﹣）＝0，解得y2＝，x2＝2﹣4，
由（Ⅰ）可得x1x2＝＝＝4，所以x1＝2+4，
|AF|＝x1+2，|BF|＝x2+2，
所以可证：||AF|﹣|BF||＝|x1﹣x2|＝8．
【点评】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣a（x+1）．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）对任意x＞0，求证：﹣a（x+1）＞f（x）．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为证明•﹣lnx＞0，令g（x）＝•﹣lnx，根据函数的单调性证明结论成立即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）＝﹣a＝，
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，
当a＞0时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，
∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；
综上：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，
当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；
（Ⅱ）证明：要证﹣a（x+1）＞f（x），即证•﹣lnx＞0，
令g（x）＝•﹣lnx，则g′（x）＝，
令r（x）＝2（x﹣1）ex﹣e2x，则r′（x）＝2xex﹣e2，
由r′（x）在（0，+∞）单调递增，且r′（1）＝2e﹣e2＜0，r′（2）＝3e2＞0，
∴存在唯一的实数x0∈（1，2），使得r′（x0）＝0，
∴r（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
∵r（0）＜0，r（2）＝0，∴当r（x）＞0时，x＞2，当r（x）＜0时，0＜x＜2，
∴g（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（2）＝1﹣ln2＞0，
综上，•﹣lnx＞0，即﹣a（x+1）＞f（x）．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t是参数，α∈[0，）），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin（）﹣2cosθ．
（Ⅰ）写出曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2α﹣sinαcosα的值．
【分析】（1）直接利用转换关系，在直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；
（2）利用极径的应用和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin（）﹣2cosθ，
根据转换为直角坐标方程为x2+y2＝2x+4y，
即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5．
（Ⅱ）曲线C1的参数方程是（t是参数，α∈[0，）），
转换为直角坐标方程为y＝kx+5，（k＞0），
利用圆心（1，2）到直线的距离公式，
解得k＝，（负值舍去），
故k＝2，
即tanα＝2，
所以sin，cos，
故sin2α﹣sinαcosα＝＝．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+a|（a＞0）．
（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；
（Ⅱ）由题意可得（|2x﹣4|+|x+a|）min≥a2﹣2a+4，a＞0，运用绝对值的几何意义和绝对值不等式的性质，求得最小值，解二次不等式，可得所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）若a＝1，不等式f（x）≥5即为|2x﹣4|+|x+1≥5，
等价为或或，
解得x≤﹣1或﹣1＜x≤0或x≥4，
所以原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[4，+∞）：
（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，
即为（|2x﹣4|+|x+a|）min≥a2﹣2a+4，a＞0，
而|2x﹣4|+|x+a|＝|x﹣2|+（|x﹣2|+|x+a|）≥|2﹣2|+|x﹣2﹣x﹣a|＝|a+2|＝a+2，
当x＝2时，上式取得等号，
所以a2﹣2a+4≤a+2，即a2﹣3a+2≤0，
解得1≤a≤2，
即a的取值范围是[1，2]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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