宁夏回族自治区银川一中2023届高三二模数学（理）试题

这是一份宁夏回族自治区银川一中2023届高三二模数学（理）试题，共15页。试卷主要包含了作答时，务必将答案写在答题卡上，世界数学三大猜想，已知向量，，且，则实数的值为等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷（银川一中第二次模拟考试）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数在复平面内对应的点为，是的共轭复数，则（    ）A. B. C. D.2.已知集合，，若，则（    ）A. B. C. D.3.已知命题的否定为“，”，则下列说法中正确的是（    ）A.命题为“，”且为真命题B.命题为“，”且为假命题C.命题为“，”且为假命题D.命题为“，”且为真命题4.世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“”由我国数学家陈景润在1966年取得，哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和.在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（    ）A. B. C. D.5.执行如图所示程序框图，则输出的的值是（    ）A. B. C. D.6.下列函数中，定义域和值域不相同的是（    ）A. B. C. D.7.已知向量，，且，则实数的值为（    ）A.8  B. C.4 D.8.已知焦点在轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，则双曲线的离心率是（    ）A. B.2 C. D.9.如图，生活中有很多球缺状的建筑，球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球冠面积公式为，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高.现有一个球被平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为，则这两个球缺的体积之比为（    ）A. B. C. D.10.已知关于的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（    ）A. B. C. D.111.为了降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，给光源加上一个不透光材料做的灯罩，可以起到十分显著的效果.某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角这一水平夹角来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角用表示.若图中，，且，则（    ）A.44 B.66 C.88 D.11012.曲线，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）A. B.C.  D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______.7816  6572  0802  6314  0702  4369  1128  059814.在等比数列中，、是函数的极值点，则______.15.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，异面直线与的夹角为______.16.若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）已知为等差数列的前项和，，.（1）求的通项公式；（2）若，的前项和为，证明：.18.（12分）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；（3）下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图.已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）.19.（12分）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，抛物线C过点.（1）求抛物线的标准方程；（2）已知直线与抛物线交于，两点，且，证明：直线过定点.20.（12分）如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径.（1）弦上是否存在点，使得平面，请说明理由；（2）若，，点，，，都在半径为的球面上，求二面角的余弦值.21.（12分）已知函数.（1）若在处有极值，问是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. ；（2）若，设.①求证：当时，；②设，求证：（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，常数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为.（1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）若直线和相交于，两点，以为直径的圆与直线相切，求的值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的最小值为2，且，求的最小值.参考答案1.【答案】A【详解】依题意，，则，所以.2.【答案】D【详解】由题意可知，，即，所以，所以，.3.【答案】C【详解】∵命题的否定为特称命题，∴：，，当时，，∴为假命题，ABD错误，C正确.4.【答案】B【详解】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，随机选取两个不同的数，基本事件总数，其和为奇数包含的基本事件有：，，，，，，共6个，所以.5.【答案】B【详解】由题意可知，流程图的功能为计算的值，裂项求和可得：.6.【答案】D【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；对于D：的定义域为；当时，；当时，；所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；7.【答案】A【详解】因为，，.所以.所以.8.【答案】A【详解】由题意设一条渐近线的倾斜角为，，则另一条渐近线的倾斜角为，由双曲对称性可得，∴，则一条渐近线的斜率为，设双曲线的长半轴长为，短半轴长为，则，故离心率为，9.【答案】C【详解】设小球缺的高为，大球缺的高为，则，①由题意可得：，即：，②所以由①②得：，，所以小球缺的体积，大球缺的体积，所以小球缺与大球缺体积之比为.10.【答案】B【详解】由题意可得，解得或，设两个根为，，由两根为正根可得，解得，综上知，.故两个根的倒数和为，∵，∴，，故，∴，故两个根的倒数和的最小值是.11.【答案】B【详解】，即，所以，，解得.12.【答案】B【详解】由题意得：，即，即曲线上的点为圆上或圆外的点，由得：或，由得：或或或，由图象可知：当时，直线与曲线有四个不同交点；∴实数的取值范围为.二、填空题13.【答案】11【详解】由题设，依次取出的编号为08、02、14、07、11、05，所以第5个个体的编号为11.14.【答案】2【详解】，由题，是方程的两个不等实根，则由韦达定理，，所以，又是，的等比中项且与，同号，则，.15.【答案】60°【详解】如图所示，把展开图恢复到原正方体.连接，.由正方体可得且，∴四边形是平行四边形，∴.∴或其补角是异面直线与所成的角.由正方体可得：，∴是等边三角形，∴.∴异面直线与所成的角是60°.故答案为：60°16.【答案】1【详解】设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，则，是函数和的图象与曲线交点的横坐标，易知与的图象关于直线对称，而曲线也关于直线对称，因此点，关于直线对称，从而，，所以.三、解答题17.【答案】（1）由设数列的公差为，则解得，，所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以；（2）由，可得，所以，又，故.18.【答案】【详解】（1）令时间为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，甲乙微信记步数都不低于10000，故.（2）由（1）知：，1，2，，，，的分布列为：012（3）根据频率分布直方图知：微信记步数落在，，，，（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，人，人，人，由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，根据折线图知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求.19.【答案】（1）因为抛物线过点，∴，解得，∴抛物线的标准方程为.（2）设，，直线的方程为，，联立，化为，，∴，，∵，∴，， 解得，满足，直线的方程为，∴直线过定点.20.【答案】（1）当点为的中点时，平面，证明如下：取的中点，连接，∵，分别为，的中点，则，平面，平面，∴平面，又∵，平面，平面，∴平面，，，平面，∴平面平面，由于平面，故平面.（2）∵是的直径，可得，即，且，，故，，又∵平面，且，平面，∴，，即，，两两垂直，且点，，，都在半径为的球面上，可知该球为以、、为长、宽、高的长方体的外接球，则，可得，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立直角坐标系，则，，，，得，，设为平面的一个法向量，则，令，则，，可得，且为平面的一个法向量，设二面角为，则，所以二面角的余弦值为.21.【答案】由题可知，∴.（1）由，可得，.又当时，，故在区间单调递减，在单调递增.故函数在处取得极值，所以.∵，.∴，当时，由上述讨论可知，单调递增，故不等式对任意及恒成立，即：，即：对恒成立，令，，即，且，整理得，且，解得：，即为所求.（2）①∵，∴，当时，，∴在上单调递减，∴即证.②由①可得：令：，得，即：∴即证.22.【答案】（1）将曲线的参数方程消去，得的普通方程为，且因为，所以，将，，，，代入，得，即，，，即为的极坐标方程，由直线的方程化简得，化简得，即为的直角坐标方程.（2）将直线代入，得，即，.故以为直径的圆圆心为，半径.圆心到直线的距离，由已知得，解得.23.【答案】（1）当时，等价于，当时，，则，当时，，则，当时，，则，综上所述，不等式的解集为.（2）∵，当且仅当等号成立，∴，即，∵，∴，∴，当且仅当，即，即，时，等号成立，故的最小值为9.