2022回族自治区银川一中高三二模数学（理）试题含解析

2022年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题卷

银川一中第二次模拟考试

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据图象判断出阴影部分为，由此求得正确答案.

【详解】，

由图象可知，阴影部分表示.

故选：A

2. 已知为虚数单位，复数满足为纯虚数，则的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先设，代入化简，由纯虚数定义求出，即可求解.

【详解】设，所以，

因为为纯虚数，所以，解得，

所以的虚部为：.

故选：D.

3. 命题“，则”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（    ）

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】首先判断原命题的真假，写出其逆命题，即可判断其真假，再根据互为逆否命题的两个命题同真假，即可判断；

【详解】解：因为命题“，则”为真命题，所以其逆否命题也为真命题；

其逆命题为：则，显然也为真命题，故其否命题也为真命题；

故命题“，则”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题有4个；

故选：D

4. 设为等差数列的前项和，若，，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.

详解：设该等差数列的公差为，

根据题中的条件可得，

整理解得，所以，故选B.

点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.

5. 下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误；

对于B选项，成立的条件为，故错误；

对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误；

对于D选项，由于，故，正确.

故选：D

6. 下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 （    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】A.利用指数函数的性质判断；B.利用正切函数的性质判断；C.利用正弦函数的性质判断；D.利用函数的图象判断.

【详解】A. ，不是奇函数，故错误；

B. 在上递增，但在定义域上不单调，故错误；

C. 在上递增，但在定义域R上不单调，故错误；

D. ，其图象如图所示：

由图象知：定义域上既是奇函数又是增函数，故正确，

故选：D

7. 有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先将4人分成3组，其一组有2人，然后将3个项目进行排列，可求出每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数，再求出4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数，再利用古典概型的概率公式求解即可

【详解】先将4人分成3组，其一组有2人，另外两组各1人，共有种分法，

然后将3个项目全排列，共有种排法，

所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为种，

因为4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数种，

所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率为，

故选：D

8. 设，那么等于（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，写出，作差即可.

【详解】由题意，，

则，

所以，

即.

故选：C.

【点睛】本题考查数学归纳法，正确弄清由到时增加和减少的项是解题的关键，属于基础题.

9. 为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对地区随机选取个居民进行了环保知识问卷调查（满分为100分），并根据问卷成绩（不低于60分记为及格）绘制成如图所示的频率分布直方图（分为，，，，，六组），若问卷成绩最后三组频数之和为360，则下面结论中正确的是（    ）

A.

B. 问卷成绩在内的频率为0.5

C.

D. 以样本估计总体，若对地区5000人进行问卷调查，则约有2000人及格

【答案】A

【解析】

【分析】根据所有小矩形的面积之和为1求出，即可判断C，求出最后三组频率之和，根据频数，可判断A；根据频率等于小矩形的面积计算出成绩在内的频率即可判断B；求出及格的频率，从而可求出及格人数，即可判断D.

【详解】解：，

解得，故C错误；

，故A正确；

问卷成绩在内的频率为，故B错误；

不低于60分频率为，

则约有人及格，故D错误.

故选：A.

10. 果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为，若采摘后5天，这种水果失去的新鲜度为20%，采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为40%，采摘下来的这种水果失去50%的新鲜度大概是（参考数据：）（    ）

A. 第10天 B. 第12天 C. 第14天 D. 第16天

【答案】B

【解析】

【分析】按照题目所给条件，求出m和a即可.

【详解】依题意有 ，解得 ，m=0.1，代入 得 ，

当h=05时，两边取对数得，

故选：B.

11. 已知函数，若在上有且仅有2个最大值点，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】讨论、时，取最大值时的值，由其周期性找到第三个最大值对应的值，由此确定的取值范围.

【详解】当时，，

当时，第1次取到最大值，

当时，，

当时，第2次取到最大值，

由知：当时，第3次取到最大值．

∴．

故选：C

【点睛】关键点点睛：讨论的范围，通过确定第二、三个最大值对应的值，进而得到的取值范围.

12. 已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.

【详解】因为实数，满足，

所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点），

当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分，

当时，其图象不存在，

当时，其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，

作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：

任意一点到直线的距离

所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，

双曲线，其中一条渐近线与直线平行，

通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，

设与其图像第一象限相切于点，

由

因为或（舍去）

所以直线与直线的距离为

此时，

所以的取值范围是．

故选：B．

【点睛】三种距离公式：

（1）两点间的距离公式：

平面上任意两点间的距离公式为；

（2）点到直线的距离公式：

点到直线的距离;

（3）两平行直线间的距离公式：

两条平行直线与间的距离.

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 向量是单位向量，，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得，利用向量的模的运算代入求值即可得答案.

【详解】∵，

∴.

故答案为：.

14. 已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：

①若α∩γ=a，β∩γ=b，且ab，则αβ；

②若a，b相交且都在α，β外，aα，bβ，则αβ；

③若aα，aβ，则αβ；

④若a⊂α，aβ，α∩β=b，则ab.

其中正确命题的序号是________.

【答案】④

【解析】

【分析】根据线线、线面、面面之间的位置关系即可得出结果.

【详解】解析：①错误，α与β也可能相交；

②错误，α与β也可能相交；

③错误，α与β也可能相交；

④正确，由线面平行的性质定理可知.

故答案为：④

15. 设，圆，若动直线与圆交于点A、C，动直线与圆交于点B、D，则的最大值是________．

【答案】

【解析】

【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值.

【详解】，

圆心M(1，3)，半径r＝，

过定点E(2,1)，

过定点E(2,1)，

且⊥，

如图，设AC和BD中点分别为F、G，则四边形EFMG为矩形，

设，，则，

则＝

，当且仅当即时取等号.

故答案为：.

16. 已知，，，成等比数列，且.若，则___________（填“>”或“<”）；___________（填“>”或“<”）

【答案】    ①. >    ②. <

【解析】

【分析】根据式子的结构构造函数，判断出，得到，求出.对q进行分类讨论：和不合题意矛盾，得到，即可比较大小.

【详解】因为，所以.

记，则.

令，得：；令，得：；

函数在上单增，在上单减，

所以对任意，都有，即恒成立，

所以，即，

所以，所以.

因为，所以.

当时，则，，与题意矛盾，故舍去；

当时,则,即.又,所以,与题意矛盾,故舍去；

所以,从而,即；

,故，即.

故答案为：>,<

【点睛】数列中比较大小的方法：

（1）根据通项公式，利用函数的单调性比较大小；

（2）利用作差法（作商法）比较.

三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积.

（1）求B；

（2）若a､b､c成等差数列，的面积为，求b.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由三角形面积公式和同角三角函数的关系化简已知式子可求得B；

（2）由a､b､c成等差数列，可得，再由的面积为，可得，然后利用余弦定理可求得结果

【小问1详解】

∵，

∴，即，

∵，∴.

【小问2详解】

∵､､成等差数列，

∴，两边同时平方得：，

又由（1）可知：，

∴，

∴，，

由余弦定理得，，

解得，

∴

18. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.

（1）求证：平面；

（2）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）通过平面ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论；

（2）通过设，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可得结果.

【详解】（1）证明：由题意以为原点建立空间直角坐标系，如图：

因为，，由勾股定理得等腰底边上的高为2，

依题意可得，，，，

，，，.

又因为，分别为和的中点，所以，，

依题意，可得为平面的一个法向量，，

由此可得，

又因为直线平面，

所以平面；

（2）解：依题意，可设，其中，则，

从而，

又为平面的一个法向量，

由已知得，

整理得，

又因为，解得.

所以线段的长为.

【点睛】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，属于中档题.

19. 已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.

（1）求双曲线的方程；

（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）-4

【解析】

【分析】（1）直接由离心率和点代入双曲线求得即可；

（2）先表示出，再通过点P横坐标的范围求出最小值.

【小问1详解】

依题又，

所以，，故双曲线的方程为.

【小问2详解】

由已知得，，设，

于是，，

因此，

由于，所以当时，取得最小值，为.

20. 某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．

（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；

（2）若累计得分为i的概率为，（初始得分为0分，）．

①证明数列，（i＝1，2，…，19）是等比数列；

②求活动参与者得到纪念品的概率．

【答案】（1）5；（2）①证明见解析；②．

【解析】

【分析】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，即可求出X的期望；

（2）①根据累计得分为i的概率为，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式，再根据构造法即可证出数列是等比数列；

②根据①可求出，再根据累加法即可求出，然后由从而解出．

【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，而，即随机变量X可能取值为3，4，5，6，

，，

，．

∴X的分布列为：

E（X）＝＝5．

（2）①证明：n＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点，，则，累计得分为i分的情况有两种：

（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累计得i﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为，

（Ⅱ）累计得分为i﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为，

∴，∴，（i＝2，3，•••，19），∴数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列．

②∵数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列，

∴，

∴，，•••，，

各式相加，得：，

∴，（i＝1，2，•••，19），

∴活动参与者得到纪念品的概率为：

．

【点睛】本题第一问解题关键是明确得1分的次数为服从二项分布，从而找到所求变量与的关系，列出分布列，求得期望；第二问①主要是递推式的建立，分析判断如何得到分的情况，进而得到，利用数列知识即可证出，②借由①的结论，求出，分析可知，从而解出．

21. 已知函数，.

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）设函数在上的最大值和最小值分别为和，若，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接求导后得到，直接写出切线即可；

（2）直接求导确定单调性，端点作差确定最大值，得到不等式，结合单调性求解即可.

【小问1详解】

若，，，

因，，

所以曲线在处的切线方程为.

【小问2详解】

由题意知，则，

因为，所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

设，

则当时，，

所以当时，.

则在上的最小值为，最大值为，

所以，

设，则当时，，单调递增，

由，可得，

即的取值范围是.

22. 选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线过原点且倾斜角为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.在平面直角坐标系中，曲线与曲线关于直线对称.

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线过原点且倾斜角为，设直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交于，两点，当变化时，求面积的最大值.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

【分析】(Ⅰ)法一：将化为直角坐标方程，根据对称关系用上的点表示出上点的坐标，代入方程得到的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将化为极坐标方程，根据对称关系将上的点用上的点坐标表示出来，代入极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用和的极坐标方程与的极坐标方程经坐标用表示，将所求面积表示为与有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.

【详解】(Ⅰ)法一：由题可知，的直角坐标方程为：，

设曲线上任意一点关于直线对称点为，

所以

又因为，即，

所以曲线的极坐标方程为：

法二：由题可知，的极坐标方程为： ，

设曲线上一点关于 的对称点为，

所以

又因为，即，

所以曲线的极坐标方程为：

(Ⅱ)直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：

设，

所以解得，解得

因为：，所以

当即时，，取得最大值为：

【点睛】本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题.求解面积的关键是能够明确极坐标中的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解.

23. 已知函数

（1）若不等式解集为，求实数a的值.

（2）若，求证:.

【答案】（1）2    （2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由绝对值不等式得解集求参数，首先得到，分与两种情况下求解；（2）利用绝对值三角不等式和基本不等式进行证明.

【小问1详解】

即，

所以，即，显然.

当时，，则，解得：；

当时，，则，无解.

综上可知，.

【小问2详解】

证明：

，

等号成立的条件是与同号，

，，，当且仅当，即时等号成立，

，

，