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新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 小题满分练3 (含解析)
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这是一份新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 小题满分练3 (含解析),共7页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题等内容,欢迎下载使用。
小题满分练3一、单项选择题1.若集合M={x|x<3},N={x|x2>4},则M∩N等于( )A.(-2,3) B.(-∞,-2)C.(2,3) D.(-∞,-2)∪(2,3)答案 D解析 ∵N=(-∞,-2)∪(2,+∞),∴M∩N=(-∞,-2)∪(2,3).2.(2020·全国Ⅰ)若z=1+2i+i3,则|z|等于( )A.0 B.1 C. D.2答案 C解析 ∵z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,∴|z|==.3.已知向量a,b满足|a|=,|b|=1,且|b+a|=2,则向量a与b的夹角的余弦值为( )A. B. C. D.答案 D解析 由题意可知,|b+a|2=b2+2a·b+a2=3+2a·b=4,解得a·b=,∴cos〈a,b〉===.4.(2020·全国Ⅰ)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 圆的方程可化为(x-3)2+y2=9,故圆心的坐标为C(3,0),半径r=3.如图,记点M(1,2),则当MC与直线垂直时,直线被圆截得的弦的长度最小,此时|MC|=2,弦的长度l=2=2=2.5.(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天答案 B解析 由R0=1+rT,R0=3.28,T=6,得r===0.38.由题意,累计感染病例数增加1倍,则I(t2)=2I(t1),即=,所以=2,即0.38(t2-t1)=ln 2,所以t2-t1=≈≈1.8.6.已知a>0,b>0,若不等式--≤0恒成立,则m的最大值为( )A.4 B.16 C.9 D.3答案 B解析 因为a>0,b>0,所以由--≤0恒成立,得m≤(3a+b)=10++恒成立,因为+≥2=6,当且仅当a=b时等号成立,所以10++≥16,所以m≤16,即m的最大值为16.7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),直线x=a与C的交点为A,B(B在A的下方),直线x=a与C的一条渐近线的交点D在第一象限,若=,则C的离心率为( )A. B.2 C. D.答案 B解析 将x=a代入-=1,得y2=,即y=±,则|AB|=.将x=a代入y=x,得y=,则|BD|=+.因为=,所以=,即=,解得e=2.8.(2020·重庆模拟)已知函数f(x)=x3-3x+1,若∀x1∈[a,b],∃x2∈[a,b],使得f(x1)=f(x2),且x1≠x2,则b-a的最大值为( )A.2 B.3 C.4 D.6答案 C解析 令f′(x)=3x2-3=0,解得x=±1,易得当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,f(x)在(-1,1)上单调递减,且f(-1)=3,f(1)=-1,作出函数f(x)的图象如图,令f(x)=3,解得x=-1或x=2,令f(x)=-1,解得x=1或x=-2,由图象可知,b-a的最大值为2-(-2)=4.二、多项选择题9.空气质量指数(简称:AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数,空气质量按照AQI大小分为六级:[0,50)为优,[50,100)为良,[100,150)为轻度污染,[150,200)为中度污染,[200,250)为重度污染,[250,300]为严重污染.下面记录了北京市22天的空气质量指数,根据图表,下列结论正确的是( )A.在北京这22天的空气质量中,按平均数来考查,最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量B.在北京这22天的空气质量中,有3天达到污染程度C.在北京这22天的空气质量中,12月29日空气质量最差D.在北京这22天的空气质量中,达到空气质量优的天数有7天答案 ABC解析 因为97>59,51>48,36>29,68>45,所以在北京这22天的空气质量中,按平均数来考察,最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量,即选项A正确;AQI不低于100的数据有3个:143,225,145,所以在北京这22天的空气质量中,有3天达到污染程度,即选项B正确;因为12月29日的AQI为225,为这22天中AQI的最大值,所以该天的空气质量最差,即选项C正确;AQI在[0,50)内的数据有6个:36,47,49,48,29,45,即达到空气质量优的天数有6天,所以选项D错误.10.(2020·山东新高考名校联考)某班期末考试数学成绩(满分150分)的频率分布直方图如图所示,其中分组区间为[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],根据频率分布直方图,判断下列说法正确的是( )A.估计本次考试数学成绩的平均数为114.8分B.估计本次考试数学成绩的众数为115分C.估计本次考试数学成绩的中位数为114分D.本次考试数学成绩110分以上的人数等于110分以下的人数答案 ABC解析 由频率分布直方图可知,本次数学成绩的平均数为85×0.04+95×0.06+105×0.24+115×0.36+125×0.16+135×0.12+145×0.02=114.8,A正确;由图易知本次考试数学成绩的众数为115分,B正确;前三组的频率和为(0.004+0.006+0.024)×10=0.34,所以中位数应落在[110,120)之间,中位数为110+×10≈114(分),C正确;因为0.04+0.06+0.24<0.36+0.16+0.12+0.02,故本次考试数学成绩在110分以上的人数多于110分以下的人数.11.将函数f(x)=cos-1的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是( )A.最大值为,图象关于直线x=对称B.图象关于y轴对称C.最小正周期为πD.图象关于点对称答案 BCD解析 将函数f(x)=cos-1的图象向左平移个单位长度,得到y=cos-1=cos(2x+π)-1=-cos 2x-1的图象;再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)=-cos 2x的图象,对于函数g(x),它的最大值为,由于当x=时,g(x)=-,不是最值,故g(x)的图象不关于直线x=对称,故A错误;由于该函数为偶函数,故它的图象关于y轴对称,故B正确;它的最小正周期为=π,故C正确;当x=时,g(x)=0,故函数g(x)的图象关于点对称,故D正确.12.(2020·济南质量评估)若实数a,b满足2a+3a=3b+2b,则下列关系式中可能成立的是( )A.0<a<b<1 B.b<a<0C.1<a<b D.a=b答案 ABD解析 设f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x,f(x)和g(x)在(-∞,+∞)上均为增函数,且f(0)=g(0),f(1)=g(1).x∈(-∞,0)时,f(x)<g(x);x∈(0,1)时,f(x)>g(x);x∈(1,+∞)时,f(x)<g(x).由函数f(x)与g(x)的图象可知,若f(a)=2a+3a=3b+2b=g(b),则b<a<0或0<a<b<1或a>b>1或a=b.三、填空题13.5的展开式中xy2的系数为________.答案 -270解析 5的展开式中xy2的项为C×2×(-3x)3=-270xy2,故其系数为-270.14.在如图所示的图形中,每个三角形上各有一个数字,若六个三角形上的数字和为20,则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为14.现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上,则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为________.答案 解析 由题意可知,若该图形为“和谐图形”,则另外两个三角形上的数字之和恰为20-14=6.从1,2,3,4,5中任取两个数字的所有情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,而其中数字之和为6的情况有(1,5),(2,4),共2种,所以所求概率P=.15.在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥BD,AB=BD=2,E为CD的中点,若异面直线AC与BE所成的角为60°,则BC=________.答案 2解析 取AD的中点F,连接EF,BF,如图所示,则EF∥AC,∠BEF为异面直线AC与BE所成的角,所以∠BEF=60°.设BC=x,则BE=EF=,BF=,从而△BEF为等边三角形,则=,解得x=2.故BC=2.16.定义p(n)为正整数n的各位数字中不同数字的个数,例如p(555)=1,p(93)=2,p(1 714)=3.在等差数列{an}中,a2=9,a10=25,则an=________,数列{p(an)}的前100项和为________.答案 2n+5 227解析 因为a2=9,a10=25,所以公差为d==2,所以an=9+2(n-2)=2n+5.因为a1=7,a100=205,且an为奇数,所以当an=7,9,11,33,55,77,99,111时,p(an)=1;当an=101,113,115,117,119,121,131,133,141,151,155,161,171,177,181,191,199时,p(an)=2.在数列{an}中,小于100的项共有47项,这47项中满足p(an)=2的共有47-7=40(项),故数列{p(an)}的前100项和为1×8+2×(40+17)+3×(100-8-40-17)=227.