2023年广东省肇庆市高要区中考一模数学试题（含解析）

2023年广东省肇庆市高要区中考一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．9的算术平方根是（ ）

A．﹣3 B．±3 C．3 D．

2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(　　　)

A． B． C． D．

3．如图，若，，则等于（    ）

A． B． C． D．

4．数据显示，国产大飞机的单价约为653000000元，数据653000000用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

5．下列说法正确的是（    ）

A．“任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件 B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式

C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确 D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是

6．不等式组的解集在数轴上表示为（    ）

A． B． C． D．

7．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为（    ）

A．165 B．170 C．175 D．180

8．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（   ）

A．2+2x+2x2=18 B．2(1+x)2=18 C．(1+x)2=18 D．2+2(1+x)+2(1+x)2=18

9．已知：如图1，在△ABC中，AB=AC．小明的作法如图2所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的（    ）

A．中心 B．内心 C．外心 D．重心

10．二次函数的图象如右图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是(　　)

A． B． C． D．

二、填空题

11．计算_________.

12．若使分式有意义，则x的取值范围是_______________．

13．分解因式： ab－2a＝_________．

14．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，，，则_______．

15．如图，在等腰中，，．分别以点，，为圆心，以的长为半径画弧分别与的边相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）

三、解答题

16．已知，求代数式的值．

17．某中学数学兴趣小组为了了解参加数学学科节学生的年龄情况，随机抽取了其中部分学生的年龄，经过数据整理，绘制出如下不完整的统计图，依据相关信息解答以下问题：

(1)求被抽取的学生人数，被抽取的学生的年龄的众数，并补全条形统计图．

(2)若共有600名学生参加了本次数学学科节活动，请估计活动中年龄在15岁及以上的学生人数．

18．如图，点，分别在的边，上，，连接，．若，

(1)证明：．

(2)证明：为菱形．

19．为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根种跳绳共需300元．

(1)求，两种跳绳的单价各是多少元？

(2)若该班准备购买，两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买种跳绳多少根？

20．如图，矩形的边，分别与反比例函数的图象相交于点、，与相交于点．

(1)若点的坐标为，求点、、的坐标；

(2)求的长度．

21．2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时、在地面雷达站C处测得点A的仰角为，在地面雷达站B处测得点A的仰角为．已知，O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离（结果精确到，参考数据）．

22．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，E是AC上一点，以AE为直径作⊙O，若⊙O恰好经过点D．

（1） 求证：直线BC与⊙O相切；

（2）若BD＝3，，求⊙O的半径的长．

23．如图，直线与x轴、y轴分别交于两点，抛物线经过B、C两点，且与x轴交于点A．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)已知点M是第一象限内抛物线上的一个动点，过点M作平行于y轴交直线于点N，连接，求四边形面积S的最大值，并求出此时点M的坐标．

参考答案：

1．C

【详解】试题分析：9的算术平方根是3，

故选C．

考点：算术平方根．

2．C

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项进行分析判断即可得出答案．

【详解】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故错误；

B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故错误；

C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故正确；

D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故错误；

故选：C．

【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后两部分能够完全重合；中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转180°后两部分能够重合．

3．D

【分析】根据邻补角的定义及平行线的性质可得的度数．

【详解】解：如图所示，

∵，

∴，

∵，

∴，

故选：D．

【点睛】本题主要考查邻补角的定义及平行线的性质,熟练掌握性质是解题的关键.

4．B

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此即可求解．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值．

5．A

【分析】由三角形的内角和定理可判断A，由抽样调查与普查的含义可判断B，C，由简单随机事件的概率可判断D，从而可得答案．

【详解】解：“任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件，表述正确，故A符合题意；

调查全国中学生的视力情况，适合采用抽样调查的方式，故B不符合题意；

抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越不准确，故C不符合题意；

十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率不是，与三种灯的闪烁时间相关，故D不符合题意；

故选A

【点睛】本题考查的是必然事件的含义，调查方式的选择，简单随机事件的概率，三角形的内角和定理的含义，掌握“以上基础知识”是解本题的关键．

6．C

【分析】求出不等式组的解集，然后再对照数轴看即可．

【详解】解：不等式组的解集为：，其在数轴上的表示如选项C所示，

故选C．

【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

7．A

【分析】根据中位数的定义直接解答即可．

【详解】解：把这些数从小到大排列，中位数是第8个数，

则这些运动员成绩的中位数为．

故选：A．

【点睛】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．

8．D

【分析】设增长率记作x，则第二天的票房为，第三天的票房为，然后根据三天后累计票房收入达18亿元列出方程即可．

【详解】解：设增长率记作x，则第二天的票房为，第三天的票房为，

由题意得：，

故选D．

【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键在于能够表示出第二天和第三天的票房．

9．C

【分析】根据三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．即可判断．

【详解】解：由作图过程可知：AD是∠BAC的平分线，

∵AB=AC，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴点O是等腰三角形AB和BC的垂直平分线的交点，是△ABC的外心．

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，等腰三角形的性质，三角形外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

10．B

【分析】由已知二次函数的图象开口方向可以知道的取值范围，对称轴可以确定的取值范围，然后就可以确定反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象

【详解】解：∵的图象开口向下，

∴，

对称轴在轴的左侧，

∴，

∴，

∴反比例函数在第二、四象限，正比例函数在第二、四象限，

故选：B．

【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数、正比例函数的图象与性质，判断出的符号是解题的关键．

11．0

【分析】根据绝对值的性质及有理数减法运算法则计算即可．

【详解】解：2-2=0．

故答案为：0．

【点睛】本题考查绝对值及有理数减法运算．熟练掌握绝对值的性质及有理数减法运算法则是解题的关键．

12．

【分析】由分母不为零可得，从而可得答案．

【详解】解：∵分式有意义，

∴，

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为零”是解本题的关键．

13．a（b－2）

【分析】直接提取公因式a即可．

【详解】提取公因式a，得ab－2a＝a（b－2）．

故答案为a（b－2）．

【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解法则是解题的关键．

14．

【分析】证明，则，根据，计算求解即可．

【详解】解：由正方形的性质可得，，

在和中，

∵，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

15．

【分析】三角形面积公式S=，扇形面积公式：S＝，阴影面积=三角形面积—180°扇形的面积，计算即可．

【详解】∵等腰中，，．

∴AB=BC•sin45°=，

∴S△ABC=，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴，

以2为半径，180°扇形是半圆=，

阴影面积=8-．

故答案为：8-．

【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，三角形面积，熟知扇形的面积公式的运用，解题的关键是阴影面积=等腰直角三角形的面积-以2为半径180°扇形面积．

16．-2

【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．

【详解】解：

，

∵，

∴，

∴原式．

【点睛】本题考查代数式的运算，熟练掌握单项式乘多项式，平方差公式是解题的关键．

17．(1)被抽取的学生人数；众数是15岁；14岁的学生有人，补全图解析

(2)240人

【分析】（1）根据被抽取的学生中12岁的有6人，占总调查人数的12%，求出总调查人数即可；根据众数的定义求出结果即可；求出14岁学生的人生，然后补全统计图即可；

（2）用15岁及以上的学生所占的百分比乘以600即可得出答案．

【详解】（1）解：由条形统计图和扇形统计图，可知，

被抽取的学生人数：（人），

被抽取的学生的年龄15岁最多，故众数是15岁；

14岁的学生有：（人），

补全的条形统计图如图所示；

（2）解：16岁的学生有2（人），

（人），

答：估计活动中年龄在15岁及以上的学生有240人．

【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的信息关联，求众数，解题的关键是数形结合，熟练掌握扇形统计图和条形统计图的特点．

18．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质和菱形的判定定理即可得到结论．

【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，

，

在和中，

，

；

（2）证明：，

，

为菱形．

【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．

19．(1)A种跳绳的单价为30元，种跳绳的单价为50元

(2)至多可以购买种跳绳20根

【分析】（1）设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元．由题意：若购买3根种跳绳和1根种跳绳共需元；若购买5根A种跳绳和3根种跳绳共需300元．列出二元一次方程组，解方程组即可；

（2）设购买种跳绳根，则购买A种跳绳根，由题意：总费用不超过1780元，列出一元一次不等式，解不等式即可．

【详解】（1）解：设A种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元．

根据题意得：，

解得：，

答：A种跳绳的单价为30元，种跳绳的单价为50元．

（2）设购买种跳绳根，则购买A种跳绳根，

由题意得：，

解得：，

答：至多可以购买种跳绳20根．

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，正确列出一元一次不等式．

20．(1)；；

(2)

【分析】（1）根据点的坐标为，确定，，再由待定系数法确定直线的解析式为：，直线的解析式为，然后联立求解即可确定交点坐标；

（2）根据，，，确定，，再由勾股定理求解即可．

【详解】（1）点的坐标为，

点横坐标为4，点纵坐标为2，

代入反比例函数解析式得：，

∴，，

设直线的解析式为：，

将点B代入得：，

∴直线的解析式为：，

设直线的解析式为，

，解得，

直线的解析式为，

∴联立方程组，

解得，

；

（2）∵，，，

∴，，

∴．

【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数的综合问题，待定系数法确定函数解析式及交点问题，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．

21．

【分析】在中，求出，在中，由，，求得，进一步即可得到B、C两个雷达站之间的距离．

【详解】解：在中，，，，

∴，

在中，，，

∴，

∴，

即B、C两个雷达站之间的距离为．

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合并准确计算是解题的关键．

22．（1）见解析；（2）

【分析】（1）连接OD．根据已知条件证明OD∥AB．进而可得BC是⊙O的切线；

（2）连接DE，根据三角函数可得AD＝5，AB＝4，根据AE是⊙O的直径，可得∠ADE＝90°，证明△ABD∽△ADE，对应边成比例即可得⊙O的半径的长．

【详解】（1）解：连接OD．

∵AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠2．

又∵OA＝OD，

∴∠2＝∠3．

∴∠1＝∠3．

∴OD∥AB．

∵∠B＝90°，

∴∠ODC＝90°．

∴BC是⊙O的切线；

（2）连接DE，

在Rt△ABC中，∠B＝90°，

∵BD＝3，，

∴AD＝5，AB＝4，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ADE＝90°，

∵∠1＝∠2，∠B＝∠ADE＝90°，

∴△ABD∽△ADE，

∴，即

∴．

∴⊙O的半径为．

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．

23．(1)抛物线解析式为

(2)当时，的最大值，此时点

【分析】（1） 利用直线解析式求出点B，C的坐标，代入抛物线解析式即可；

（2）先求出线段，设，求出，根据求出解析式，再利用函数的性质解答．

【详解】（1）解：由得，

∴，令，得，

∴，

由题意得：，

解得，

∴抛物线解析式为 ．

（2）当时，，

解得，

∴，

∴，

如图，设 ，

∴，

 ∴

∵，

∴当时，的最大值，此时点．

【点睛】此题考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，图形面积问题，正确掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．