2023年内蒙赤峰市松山区中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年内蒙赤峰市松山区中考三模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年内蒙赤峰市松山区中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数是（    ）
A．2023 B． C． D．
2．如图，是一个由6个相同的正方体组成的立方体图形，它的俯视图是（    ）

A． B． C． D．
3．2023年5月8日是第76个世界红十字日，今年活动的主题是“携手人道、关爱生命”．热血奉献，与爱同行，感谢每一位捐献血液、护佑生命的无偿献血者．本年度截止到现在，全国已经无偿献血1亿5487.4万人人次，其中数据1亿5487.4万用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
5．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（    ）

A． B． C． D．
6．已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积是（    ）
A． B． C． D．
7．如图，平行四边形的对角线，交于点，若，，则的长不可能是（    ）
  
A．5 B．6 C．7 D．8
8．教师在引导学生探究人教版八年级上册四边形的内角和的度数时，是通过连接一条对角线分割成两个三角形来解决的，探究过程中蕴含的主要数学思想为（    ）
A．从一般到特殊思想 B．转化思想 C．类比思想 D．数形结合思想
9．某市的中考体育改革，初一初二的成绩占40%，初三毕业体育测试成绩占60%．其中一名考生的初一初二成绩是80分，初三成绩是90分，则该考生的综合成绩是（    ）
A．84 B．85 C．86 D．87
10．从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加10米，相邻的另一边减少10米，变成一个长方形的土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
11．为迎接中国共产主义青年团建团一百周年，某班50名同学进行了团史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．
成绩/分
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
人数
■
■
1
2
3
5
6
8
10
12
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（    ）
A．中位数，众数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数
12．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象关于x轴对称后，再向下平移2个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为(    )
A． B． C． D．
13．如图，由边长为的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（    ）
  
A． B． C． D．
14．如图，在正方形纸片中，点为正方形边上的一点（不与点，点重合），将正方形纸片折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，折痕为，连接、，交于点下列结论：①是等腰三角形；②；③平分；④；⑤，其中正确结论的个数是（    ）
  
A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题
15．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’不知客几何？”译文：“人同吃一碗饭，人同吃一碗羹，人同吃一碗肉，共用个碗，问有多少客人？”，则客人的个数为____．
16．如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为，则的值为_________．
  
17．如图，一个半径为的转动轮转动角时，传送带上的物体平移的距离是_________（结果用含π的式子表示）
  
18．观察下列等式：
，
，
，
，
，
．
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
根据上述规律填空：___________________________．

三、解答题
19．先化简，再求值：（xy2+x2y）×，其中x=π0﹣（）﹣1，y=2sin45°﹣．
20．已知：如图，
  
求作：，使得，
作法：①在射线上取点，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；
②连接；
③以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；连接，就是所求作的三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)请写出证明过程．
21．某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图．

请你根据图中信息，回答下列问题：
(1)本次共调查了_________名学生．
(2)在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于_________度．
(3)补全条形统计图（标注频数）．
(4)根据以上统计分析，估计该校1500名学生中最喜爱小品的人数为_________人．
(5)九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？
22．两栋居民楼之间的距离米，楼和均为层，每层楼高米．
(1)上午某时刻，太阳光线与水平面的夹角为，此刻楼的影子落在楼的第几层？
(2)当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，楼的影子刚好落在楼的底部．

23．已知，为上一点，过点的切线交弦的延长线于点．

(1)如图1，当弦为直径时，直接写出与的数量关系_________；
(2)如图2，当为非直径时，（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；
(3)如图2，已知，，求的长．
24．（2017内蒙古赤峰市）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；
（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．
25．抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于、两点，点在对称轴左侧，．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)求的面积；
(3)点在轴上，直线将面积分成两部分，请直接写出点坐标．
26．问题情境：
如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点，延长交于点，连接．
猜想证明：

(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；解决问题：
(3)如图①，若，，请直接写出的长．

参考答案：
1．B
【分析】根据倒数的定义，进行求解即可．
【详解】解：的倒数是
故选B．
【点睛】本题考查了倒数，熟练掌握互为倒数的两数之积为1，是解题的关键．
2．A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看，底层左边是一个正方形，上层是三个正方形．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图的画法是解决本题的关键．
3．D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：1亿5487.4万，
故选D．
【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数绝对值大于等于10时，n等于原数的整数数位个数减1，当原数绝对值小于1时， n等于原数的第一个不为0的数字前的0的个数的相反数．
4．D
【分析】根据二次根式的加减、乘除法则，逐项判定．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的加减和乘除运算法则．
5．D
【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可．
【详解】解：由题意可知
在中

∴(SSS)
∴
∴就是的平分线
故选：D
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．
6．A
【分析】根据弧长求得半径，然后由扇形的圆心角和半径长，直接根据扇形的面积公式求解．
【详解】解：∵扇形的圆心角为，弧长为，
∴,
∴,
∴扇形的面积是，
故选：A．
【点睛】本题考查了弧长公式与扇形面积公式，熟练掌握弧长公式与扇形面积公式是解题的关键．
7．D
【分析】根据平行四边形的性质求出和，在中，根据三角形三边关系即可得出的取值范围，进一步可得出结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
在中，由三角形三边关系定理得：，
即，
所以，选项A、B、C不符合题意，只有选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和平行四边形的性质，注意：平行四边形的对角线互相平分．
8．B
【分析】由于探究人教版八年级上册四边形的内角和的度数时，是通过连接一条对角线分割成两个三角形，从而根据三角形的内角和为探究出任意四边形的内角和等，所以这一过程体现的数学思想是转化思想．
【详解】解∶探究人教版八年级上册四边形的内角和的度数时，是通过连接一条对角线分割成两个三角形，从而探究出任意四边形的内角和等于，这一过程体现的数学思想是转化思想．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角以及数学思想．本题为了解决问题，将四边形转化为三角形，化未知为已知，化复杂为简单，充分体现了数学中的转化思想．
9．C
【分析】根据加权平均数求解即可．
【详解】解：该考生的综合成绩（分），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了加权平均数，熟记加权平均数公式是解题的关键．
10．A
【分析】矩形的长为（a+10）米，矩形的宽为（a-10）米，矩形的面积为（a+10）（a-10），根据平方差公式即可得出答案．
【详解】解：矩形的面积为（a+10）（a-10）=a2-100，
∴矩形的面积比正方形的面积a2小了100平方米，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，列出矩形的面积的代数式，根据平方差公式计算是解题的关键．
11．A
【分析】由题意可知，被遮盖的两个数据的和为3，故不影响众数和中位数．
【详解】解：根据题意，共有50名学生，被遮盖的数据为，
可以求得众数为90，中位数为第25,26个数的平均数，为88；
所以统计过程中与被遮盖的数据无关是中位数和众数．
故选A
【点睛】本题考查了平均数，方差，中位数，众数的概念，在计算平均数和方差时，每一个数据都要用上，而中位数是排列好后，找中间的数据，众数直接找出现次数最多的那个数，理解平均数，方差，中位数，众数的求法是解题的关键．
12．C
【分析】先确定二次函数的顶点坐标为，然后求得关于x轴对称的二次函数为，再利用点平移的规律得到平移后的顶点坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可．
【详解】解：二次函数顶点坐标为，点关于x轴对称的点为，开口向下，
∴二次函数的图象关于x轴对称的二次函数为，
再向下平移2个单位长度的二次函数顶点为，
∴将二次函数的图象关于x轴对称后，再向下平移2个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：关于x轴对称的二次函数，a互为相反数，由于抛物线平移后形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可以利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，掌握平移规律是解题的关键．
13．D
【分析】首先根据圆周角定理的推论可知，，然后在中，根据锐角三角函数的定义求出．
【详解】解：如图，连接、．
  
和所对的弧长都是，
根据圆周角定理的推论知，．
∵为直径，
∴,
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
，，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利用圆周角定理的推论把求的余弦值转化成求的余弦值，本题是一道比较不错的习题．
14．D
【分析】根据翻折不变性可知∶，即可判断①正确；过点作于．设交于，证明，可以判断②正确；根据翻折的性质证明，可以判断③正确；根据与不全等，可得，进而可以判断④错误；过点作于点，证明，可得，，再证明，得，进而可以判断⑤正确．
【详解】解∶根据翻折不变性可知∶，
∴是等腰三角形，故①正确；
如图，过点作于，交于，设交于．
  
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由折叠可知∶，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
由折叠可知∶，
∴，
∵，
∴，
∴平分，故③正确；
∵，
∴，
∵与不全等，
∴，故④错误；
如图，过点作于点，．
  
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故⑤正确．
综上所述∶结论正确的有∶①②③⑤，共4个．
故选∶ D．
【点睛】本题属于几何综合题，考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题属于中考选择题中的压轴题．
15．
【分析】设有个客人，根据题意列出方程，解出方程即可得到答案．
【详解】解：设有个客人，
根据题意，得：，
解得：，
即客人的个数为72，
故答案为：72．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．
16．4
【分析】根据三角形的面积公式可得，进而求出答案．
【详解】解：如图，过点作轴，垂足为，
  
∵，，
∴，
∴，
而，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行线段成比例，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义，求出的面积．
17．
【分析】先求出圆的半径，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：∵半径为，
∴转动轮转过角时传送带上的物体平移的距离是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象和弧长的计算，能熟记圆心角为，半径为的弧的长度是解此题的关键．
18．
【分析】等式左边的第二个数的百位数是第一个数的个位数，第二个数的个位数是第一个数的十位数，第二个数的十位数是第一个数的数位上数字的和，等式右边的两个数分别是左边两个数的对称数．
【详解】解：等式左边的第二个数的百位数是第一个数的个位数，第二个数的个位数是第一个数的十位数，第二个数的十位数是第一个数的数位上数字的和，等式右边的两个数分别是左边两个数的对称数．
∴．
故答案为：，，．
【点睛】本题考查的是有理数的乘法，其本质是探索规律，探索规律型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．
19．
【详解】分析：原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
详解：原式=xy（x+y）•=x﹣y，
当x=1﹣2=﹣1，y=﹣2=﹣时，
原式=﹣1．
点睛：此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．(1)见解析；
(2)见解析．

【分析】（1）根据题目中的作法，直接作图即可．
（2）根据等边对等角以及三角形外角的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示，
  
（2）证明：连接，，
由作图知：，，
∴，，
又，
∴．
【点睛】本题主要是考查了尺规作图能力和等边对等角的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握等边对等角的性质是解决该题的关键．
21．(1)50
(2)72
(3)见解析
(4)480
(5)

【分析】（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；
（3）先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图；
（4）用1500乘以样本中最喜爱小品类的人数所占的百分比即可；
（5）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：，
所以本次共调查了50名学生，
故答案为50；
（2）解：在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数=360°×=72°，
故答案为72；
（3）解：最喜欢舞蹈类的人数为50-10-14-16=10（人），
补全条形统计图为：

（4）解：1500×=480，
估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为480人，
故答案为480；
（5）解：用代表九年一班的学生，代表九年二班的学生，
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中抽取的名学生恰好来自同一个班级的结果数为，
所以抽取的名学生恰好来自同一个班级的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
22．(1)此刻楼的影子落在楼的第层；
(2)当太阳光线与水平面的夹角为度时，楼的影子刚好落在楼的底部．

【分析】（1）延长，交于点，过作于，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可；
（2）连接，利用利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．
【详解】（1）解：延长，交于点，过作于，

由图可知，，
∵，
在中，≈，
≈，
答：此刻楼的影子落在楼的第层；
（2）解：连接，∵，
∴，
答：当太阳光线与水平面的夹角为度时，楼的影子刚好落在楼的底部．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，难度一般，解答本题的关键是利用利用直角三角形的性质和三角函数解答．
23．(1)；
(2)成立，理由见解析；
(3)．

【分析】（1）连接，由等边对等角得，再由切线的性质及直径所对的圆周角是直角得，，从而即可得解；
（2）延长交于点，连接，由切线的性质得，再由直径所对的圆周角是直角得，从而得，再根据等角的余角相等及圆周角定理即可得证；
（3）证明，利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】（1）解：连接，

∵，
∴，
∵切于点，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故答案为；
（2）解：成立，理由如下：
延长交于点，连接，

∵切于点，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）解：∵，，
∴，
由（2）得，
∵，
∴，
∴即，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边对等角、相似三角形的判定及性质、切线的性质以及等角的余角相等，熟练掌握圆周角定理、等边对等角、相似三角形的判定及性质以及切线的性质是解题的关键．
24．（1）梨树苗的单价是5元；（2）梨树苗至少购买850棵
【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；
（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．
【详解】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，
依题意得：，
解得x=5．
经检验x=5是原方程的解，且符合题意．
答：梨树苗的单价是5元；
（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，
依题意得：（5+2）+5a≤6000，
解得a≥850．
答：梨树苗至少购买850棵．
25．(1)
(2)
(3)的坐标为或．

【分析】（1）由对称轴直线，以及点坐标确定出与的值，即可求出抛物线解析式；
（2），对称轴为直线，可得的横坐标为，点的横坐标为，进而代入解析式，得出，，根据，进而根据三角形的面积公式即可求解；
（3）由抛物线的对称轴及的长，确定出与的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出与坐标，利用待定系数法求出直线解析式，作出直线，与交于点，过作轴，与轴交于点，与轴交于点，由已知面积之比求出的长，确定出横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，确定出坐标，再利用待定系数法求出直线解析式，即可确定出的坐标．
【详解】（1）由题意得：，，
解得：，，
则此抛物线的解析式为；
（2）解：∵，对称轴为直线，
∴的横坐标为，点的横坐标为，
将代入，，解得：，则,
将代入，，解得：，则,
∵
∴到的距离为，
∴的面积为
（3）设直线解析式为，
把坐标代入得：，即，
作出直线，与交于点，过作轴，与轴交于点，与轴交于点，
  
可得，
，
点在轴上，直线将面积分成：两部分，
：：或：：，即：：或：：，
，
或，
当时，把代入直线解析式得：，
此时，直线解析式为，令，得到，即；
当时，把代入直线解析式得：，
此时，直线解析式为，令，得到，此时，
综上，的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质，二次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质等，有一定的难度，熟练掌握待定系数法和相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
26．(1)四边形是正方形，证明见解析
(2)，证明见解析
(3)

【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形
（2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论；
（3）作于，根据勾股定理求出，可得，由（2）可得，进而求出，根据勾股定理计算的长．
【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下：
∵将绕点B按顺时针方向旋转，
∴，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2），证明如下：
如图②所示，过点D作，垂足为H，则，

∴，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知四边形是正方形，
∴，
∴，
由旋转的性质可得：，
∴，  
∴，
（3）解：如图①所示，作于，

∵四边形是正方形
∴，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知：，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．