2023年内蒙古赤峰市中考数学试卷（含解析）

2023年内蒙古赤峰市中考数学试卷

一、选择题（本大题共14小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录以下剪纸图案中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年月日是第个“中国旅游日”，文化和旅游部公布的数据显示，今年“五一”假期国内旅游出游合计人次，同比增长将数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，数轴上表示实数的点可能是(    )

 

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  年月日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑某校对全校名学生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果分为，，，四个等级：非常了解；：比较了解；：了解；：不了解随机抽取了部分学生的调查结果，绘制成两幅不完整的统计图根据统计图信息，下列结论不正确的是(    )

 

A. 样本容量是 B. 样本中等级所占百分比是
C. 等级所在扇形的圆心角为 D. 估计全校学生等级大约有人

7.  已知，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，，点是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点在上则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

9.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，圆内接四边形中，，连接，，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  用配方法解方程时，配方后正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

13.  某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点处开始，绕侧面一周又回到点的彩带彩带宽度忽略不计，这条彩带的最短长度是(    )

A.
B.
C.
D.

14.  如图，把一个边长为的菱形沿着直线折叠，使点与延长线上的点重合，交于点，交延长线于点，交于点，于点，，则下列结论：，，，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

15.  分解因式：          ．

16.  方程的解为______ ．

17.  为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对地和地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来地去往地需要绕行到地的路线，改造成可以直线通行的公路如图，经勘测，千米，，，则改造后公路的长是______ 千米精确到千米；参考数据：，，，．

18.  如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点在抛物线上，点在直线上，若，则点的坐标是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
解不等式组：．

20.  本小题分
已知：如图，点在的边上．
求作：射线，使，且点在的平分线上．
作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，．
分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．
画射线．
以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．
画射线．
射线即为所求．
用尺规作图，依作法补全图形保留作图痕迹；
根据以上作图过程，完成下面的证明．
证明：平分，
______ ．
．
______ ______ 括号内填写推理依据
．
______ 填写推理依据

21.  本小题分
某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据成绩进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息．
【收集数据】
甲班名学生竞赛成绩：，，，，，，，，，
乙班名学生竞赛成绩：，，，，，，，，，
【整理数据】

【分析数据】

【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由；
甲班共有学生人，乙班共有学生人，按竞赛规定，分及分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？

22.  本小题分
某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共万件，准备销往东南亚国家和地区已知件甲种电子产品与件乙种电子产品的销售额相同；件甲种电子产品比件乙种电子产品的销售额多元．
求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？
若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于万元，则至少销售甲种电子产品多少件？

23.  本小题分
定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点“的是______ ；
点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”的坐标是______ ，直线的解析式是 ______ ，时，的取值范围是______ ；
如图，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点连接，，，判断的形状，并说明理由．

 

24.  本小题分
如图，是的直径，是上一点，过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．
求证：是切线；
若，，求的长．

25.  本小题分
乒乓球被誉为中国国球年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．

乒乓球到球台的竖直高度记为单位：，乒乓球运行的水平距离记为单位：，测得如下数据：

在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；

当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______ ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______ ；
求满足条件的抛物线解析式；
技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练如图，乒乓球台长为，球网高为现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值乒乓球大小忽略不计．

26.  本小题分
数学兴趣小组探究了以下几何图形如图，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．
【探究一】如图，把绕点逆时针旋转得到，同时得到点在直线上求证：；
【探究二】在图中，连接，分别交，于点，求证：∽；
【探究三】把三角尺旋转到如图所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，，连接交于点，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据相反数的含义以及求法，求出化简的结果即可．
此题主要考查了相反数的含义以及求法，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
分析被开方数的范围即可．
本题主要考查实数与数轴．给定某一无理数，在数轴上找到该点所在的区间，分析该无理数的范围即可，比较简单，
 

5.【答案】 

【解析】解：

，
则符合题意；
B.，
则不符合题意；
C.

，
则不符合题意；
D.，
则不符合题意；
故选：．
利用积的乘方法则，合并同类项法则，同底数幂乘法法则，完全平方公式将各项计算后进行判断即可．
本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：，即样本容量为，故本选项不符合题意；
B.样本中等级所占百分比是，故本选项不符合题意；
C.等级所在扇形的圆心角为：，故本选项符合题意；
D.估计全校学生等级大约有：人，故本选项不符合题意．
故选：．
用等级的人数除以等级的百分比可得样本容量；用等级人数除以总人数可得样本中等级所占百分比；用乘等级的百分比可得等级所在扇形的圆心角度数；用全校学生人数乘等级的百分比可得全校学生等级人数．
本题考查了条形统计图和扇形统计图等知识点，用样本估计总体，看懂图表是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式



．
，
，
．
故选：．
分别利用平方差公式和完全平方公式将括号去掉，再合并同类项并利用已知条件即可解答．
本题主要考查运用平方差公式和完全平方公式进行整式的混合运算能力，比较基础，一定的牢牢掌握．
 

8.【答案】 

【解析】解：由平移的性质可知，，
四边形是平行四边形，
在中，，，，
，
在中，，，点是的中点，
，
，点是的中点，
，，
点是的中点，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
四边形的周长为，
四边形的面积为．
故选：．
先论证四边形是平行四边形，再分别求出，，，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求出即可．
本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理等知识，推到四边形是平行四边形和是的中位线是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式

，
故选：．
利用分式的加法法则进行计算即可．
本题考查分式的加法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
利用圆内接四边形的性质及圆周角定理求得的度数，再结合已知条件求得的度数，然后利用圆周角定理求得的度数．
本题考查圆内接四边形性质及圆周角定理，结合已知条件求得的度数是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：把植树、种花、除草三个劳动项目分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中九年一班和九年二班恰好都抽到种花的结果有种，
这两个班级恰好都抽到种花的概率是，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中九年一班和九年二班恰好都抽到种花的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
先把移到方程的右边，然后方程两边都加，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面圆周长为，
圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为，
设扇形的圆心角为度，
，
解得，
，
作于点，
，
，
，
这条彩带的最短长度是．
故选：．
利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离．
本题考查平面展开最短路径问题，圆锥的计算，把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点．
 

14.【答案】 

【解析】解：由折叠性质可知：，，
，
．
．
故正确；
，，
．
，
故正确；
，
∽．
．
，
，故正确；
，
∽．
．
，
，
，
与不相似．
．
与不平行．故错误；
故选：．
由折叠性质和平行线的性质可得，根据等角对等边即可判断正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出，再求出即可判断正确；由∽得，求出即可判断正确；根据即可判断错误．
本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式进行分解，注意分解要彻底．
 

16.【答案】 

【解析】解：方程两边同时乘以得：
，
整理得：，
解得：，，
检验：当时，，是原方程的根，
当时，，是原方程的增根，舍去，
是原方程的根．
故答案为：．
解分式方程，先去分母，转化为整式方程再解，最后检验看是否有增根．
解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

在中，，，，，
千米，千米，
在中，，，，
千米，
千米．
答：改造后公路的长是千米．
故答案为：．
过点作于点，在中利用的余弦函数求出，利用的正弦函数求出，然后再中利用正切函数求出，进而可得出答案．
此题主要考查了解直角三角形，解答此题的关键理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义，难点是正确的作出辅助线构造直角三角形．
 

18.【答案】和 

【解析】解：根据点坐标，有，所，以点坐标，

设所在直线解析式为，其过点、，
 ，
解得，
所在直线的解析式为：，
当点在线段上时，设，，而，
，
，
因为，，，
有，
解得：，，所以点的坐标为：，
当在的延长线上时，
在中，，
，，
，
如图延长至，取，

则有为等腰三角形，，
，
又，
，
则为符合题意的点，
，
的横坐标：，纵坐标为；
综上点的坐标为：和．
先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时：是的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形，点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标．
本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置，是求解此题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；

，
由得，
即，
由得，
即，
则，
故原不等式组的解集为：． 

【解析】利用零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角的三角函数值，绝对值性质，二次根式的性质进行计算即可；
解两个不等式后求得它们解集的公共部分即可．
本题考查实数的运算及解一元一次不等式组，实数的相关运算法则和解一元一次不等式组的步骤是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

20.【答案】    等边对等角  内错角相等，两直线平行 

【解析】解：如图：
证明：平分，
．
．
等边对等角．
．
内错角相等，两直线平行．
故答案为：，等边对等角，内错角相等，两直线平行．
根据题中步骤作图；
根据角的平分线的性质及等腰三角形的性质证明．
本题考查了复杂作图，掌握平行线的判定定理及等腰三角形的性质是截图的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：甲班成绩从高到低排列为：、、、、、、、、、，故中位数；
众数，
乙班的方差为：；
故答案为：，，；
乙班成绩比较好，理由如下：
两个班的平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩比甲班稳定，所以乙班成绩比较好；
人，
答：估计这两个班可以获奖的总人数大约是人．
根据中位数，平均数和方差的定义进行求解即可；
根据方差越小成绩越整齐进行求解即可；
分别用甲乙两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在分及以上的人数占比即可得到答案．
本题主要考查了中位数，平均数，方差，用方差判断稳定性，用样本估计总体等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

22.【答案】解：设甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的销售单价是元；
设销售甲种电子产品万件，则销售乙种电子产品万件，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：至少销售甲种电子产品万件． 

【解析】设甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的销售单价是元，根据“件甲种电子产品与件乙种电子产品的销售额相同；件甲种电子产品比件乙种电子产品的销售额多元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设销售甲种电子产品万件，则销售乙种电子产品万件，利用销售总额销售单价销售数量，结合销售总额不低于万元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】，      或 

【解析】解：矩形的顶点坐标分别是，，，，
矩形的“梦之点”满足，，
点，是矩形的“梦之点”，点不是矩形的“梦之点”，
故答案为：，；
点是反比例函图象上的一个“梦之点”，
把代入得，
，
“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，
“梦之点”都在的图象上，联立，
解得或，
，
直线的解析式为，
时，的取值范围是或，
故答案为：，，或；
是直角三角形，
理由：点，是抛物线上的“梦之点”，
，
解得或，
，，
，
顶点，
，，，
，
是直角三角形．
根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上；
把代入求出解析式，再求于的交点即为，最后根据函数的图象判断时，的取值范围；
根据“梦之点”的定义求出点，的坐标，再求出顶点的坐标，最后求出，，，即可判断的形状．
本题是二次函数的综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，连接，，

，是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
又为的半径，
是切线；
解：如图，连接，

由知，
，
设，则，
，
，
，
即，
解得，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
，
由勾股定理得，，
，是的直径，
． 

【解析】先根据垂径定理得出，进而得出，再根据圆周角定理得出，结合已知得出，根据得出，于是有，从而问题得证；
在中，根据的正弦值设出，，再根据的长即可求出的值，然后证得，即可求出的长，根据勾股定理求出的长，最后根据垂径定理即可求出的长．
本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，熟知经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
 

25.【答案】   

【解析】解：描出各点，画出图象如下：

观察表格数据，可知当和时，函数值相等，
对称轴为直线，顶点坐标为，
抛物线开口向下，
最高点时，乒乓球与球台之间的距离是，
当时，，
乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；；
设抛物线解析式为，
将代入得，，
解得：，
抛物线解析式为；
当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值为，则平移距离为，
平移后的抛物线的解析式为，
 当时，，
，
解得：；
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值为．
根据描点法画出函数图象即可求解；
根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；待定系数法求解析式即可求解；
根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，当时，，代入进行计算即可求解．
本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
 

26.【答案】【探究一】证明：把绕点逆时针旋转得到，同时得到点在直线上，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
【探究二】证明：如图所示，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
公共角，
∽；
【探究三】解：，是正方形的对角线，
，，
，
，
，
即，
∽，
，，
如图所示，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上，

，，
，
，
≌，
，
，
，
，
∽，
，
即． 

【解析】【探究一】证明≌，即可得证；
【探究二】根据正方形的性质证明，根据三角形内角和定理得出，加上公共角，进而可证明；
【探究三】，先证明∽，得到，，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上，得出≌，根据全等三角形的性质得出，进而得到，可证明∽，根据相似三角形的性质得出，即可得出结论．
本题是相似形的综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解决问题的关键．