2024年新高考数学一轮复习 第十章 第三节 概率与统计的综合问题

课时跟踪检测（七十四） 概率与统计的综合问题

1．(2022·盐城二模)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p(0<p<1). 现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次．记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为a(a>0)元．

(1)①写出X的分布列；

②证明：E(X)<；

(2)某公司意向投资该产品. 若p＝0.25，且试验成功则获利5a元，则该公司如何决策投资，并说明理由．

解：(1)①由题意，X＝1,2,3，…，10，

故P(X＝k)＝p(1－p)k－1，k＝1,2，…，9，P(X＝10)＝(1－p)9，

分布列如下：

②证明：E(X)＝p(1－p)0＋2p(1－p)1＋3p·(1－p)2＋…＋9p(1－p)8＋10(1－p)9，

记S＝(1－p)0＋2(1－p)1＋3(1－p)2＋…＋9(1－p)8，

(1－p)S＝(1－p)1＋2(1－p)2＋3(1－p)3＋…＋9(1－p)9，

作差可得，pS＝(1－p)0＋(1－p)1＋(1－p)2＋…＋(1－p)8－9(1－p)9＝－9(1－p)9，

则E(X)＝pS＋10(1－p)9＝＋(1－p)9＝<，即证．

(2)由(1)可知E(X)<＝4，则试验成本的期望小于4a，又获利5a大于成本的期望，则应该投资．

2.某市2022年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的频数分布表如表所示(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，频率视为概率)．

(1)分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数；

(2)甲厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布N(μ， σ2)，其中μ近似为样本平均数，并已求得σ＝11.95.该厂决定将消毒液分为A、B、C三个等级，其中质量指标值Z不高于2.6的为C级，高于38.45的为A级，其余为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题．

①甲厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B级消毒液的总瓶数；

②已知每瓶消毒液的等级与出厂价X(单位：元/瓶)的关系如表所示：

假定甲厂消毒液半年的生产量为1 000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为4千万元(含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内)，问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由．

附：若X～N(μ， σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 3.

解：(1)根据频率分布直方图的性质，可得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为甲＝(5×0.01＋15×0.02＋25×0.03＋35×0.025＋45×0.015)×10＝26.5，设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为n，则0.2＋0.1＋(n－20)×0.03＝0.5，解得n＝，即乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为.

(2)①由题意，甲厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布N(26.5, 11.952)，

所以P(2.6<Z≤38.45)＝P(μ－2σ<Z≤μ＋σ)＝[P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＋P(μ－σ<Z≤μ＋σ)]＝＝0.818 6，又由0.818 6×100 000＝81 860，所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B级消毒液有81 860瓶．

②设每瓶消毒液的利润为Y元，则Y的可能取值为10,5，－4，可得P(Y＝10)＝P(Z>38.45)＝P(Z>μ＋σ)＝[1－P(μ－σ<Z≤μ＋σ)]＝(1－0.682 7)＝0.158 65，

由①知P(Y＝5)＝P(2.6<Z≤38.45)＝0.818 6，

所以P(Y＝－4)＝1－0.158 65－0.818 6＝0.022 75，

故Y的分布列为

所以每瓶消毒液的平均利润为E(Y)＝10×0.158 65＋5×0.818 6＋(－4)×0.022 75＝5.588 5(元)，

故生产半年消毒液所获利润为5.588 5×1＝5.588 5(千万元)，

而5.588 5(千万元)>4(千万元)，所以甲厂能在半年之内收回投资．

3．根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为

其中α>0,0<p<1.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件Ai表示一个家庭有i个孩子(i＝0,1,2,3)，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多(例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多)．

(1)若p＝，求α，并根据全概率公式P(B)＝P(B|Ai)P(Ai)，求P(B)；

(2)为了调控未来人口结构，其中参数p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等)．

①若希望P(X＝2)增大，如何调控p的值？

②是否存在p的值使得E(X)＝，请说明理由．

解：(1)由题意，p＝，得＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝2α＋α＋α＋α＝α＝1，所以α＝，P(B|A1)＝C×，P(B|A2)＝C2，P(B|A3)＝C3＋C3.

由全概率公式，得P(B)＝(B|Ai)P(Ai)＝×＋C2α＋α(1－p)＝×＋α＋α(1－p)，又p＝，则P(B)＝α＝.

(2)①由＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝1，得＝p2－3p＋＋3，

记f(p)＝p2－3p＋＋3,0<p<1，

则f′(p)＝，

记g(p)＝2p3－3p2－1，则g′(p)＝6p2－6p＝6p(p－1)<0，

故g(p)在(0,1)单调递减．

∵g(0)＝－1，∴g(p)<0，∴f′(p)<0，f(p)在(0,1)单调递减．

因此增加p的取值，会减小，α增大，即P(X＝2)增大．

②假设存在p使E(X)＝＋2α＋3α(1－p)＝，又＝p2－3p＋＋3，

将上述两式相乘，得＋5－3p＝－5p＋＋5，化简得5p3－6p2＋2＝0，

设h(p)＝5p3－6p2＋2，则h′(p)＝15p2－12p＝3p(5p－4)，

则h(p)在单调递减，在单调递增，h(p)的最小值为h＝>0，

∴不存在p0使得h(p0)＝0.

故不存在p的值使得E(X)＝.

4．武汉又称江城，是湖北省省会，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，黄鹤楼与东湖便是其中的两个．为合理配置旅游资源，现对已参观黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否参观东湖的概率均为，游客之间选择意愿相互独立．

(1)从游客中随机抽取3人，记这3人的总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望．

(2)①若从游客中随机抽取m(m∈N*)人，记这m人的总分恰为m分的概率为Am，求数列{Am}的前10项和；

②在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的人的累计得分恰为n分的概率为Bn，探讨Bn与Bn－1(n≥2)之间的关系，并求数列{Bn}的通项公式．

解：(1)X的所有可能取值为3,4,5,6.

P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝C3＝，P(X＝5)＝C3＝，P(X＝6)＝3＝.

所以X的分布列为

所以E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝.

(2)①总分恰为m分的概率Am＝m，

所以数列{Am}是首项为，公比为的等比数列．

其前10项和S10＝＝.

②因为已调查过的人的累计得分恰为n分的概率为Bn，得不到n分的情况只有先得(n－1)分，再得2分，概率为Bn－1(n≥2)，

所以1－Bn＝Bn－1(n≥2)，

即Bn＝－Bn－1＋1(n≥2)，

所以Bn－＝－(n≥2)，

所以Bn－＝n－1.易知B1＝，

所以Bn＝－n－1＝＋n＝＋.

5．设(X，Y)是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为(ai，bj)，其中i，j∈N*，令pij＝P(X＝ai，Y＝bj)，称pij(i，j∈N*)是二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：

现有n(n∈N*)个相同的球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记放入1号盒子中的球的个数为X，放入2号盒子中的球的个数为Y.

(1)当n＝2时，求(X，Y)的联合分布列；

(2)设pk＝(X＝k，Y＝m)，k∈N且k≤n，计算pk.

解：(1)X的可能取值为0,1,2，Y的可能取值为0,1,2，

则P(X＝0，Y＝0)＝＝，

P(X＝0，Y＝1)＝C××＝，

P(X＝0，Y＝2)＝＝，

P(X＝1，Y＝0)＝C××＝，

P(X＝1，Y＝1)＝C××＝，

P(X＝2，Y＝0)＝＝，P(X＝1，Y＝2)＝P(X＝2，Y＝1)＝P(X＝2，Y＝2)＝0，

故(X，Y)的联合分布列为

(2)当k＋m>n时，P(X＝k，Y＝m)＝0，

故pk＝(X＝k，Y＝m)＝(X＝k，Y＝m)＝＝＝·2n－k＝Ck·n－k，所以pk＝，

设Z服从二项分布B，由二项分布的期望公式可得pk＝E(Z)＝.

6．在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20,25<xi<65)，其中xi表示年龄，yi表示脂肪含量，并计算得到＝48 280，＝15 480，iyi＝27 220，＝48，＝27，≈4.7.

(1)请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y关于x的经验回归方程＝＋x (，的计算结果保留两位小数)；

(2)科学健身能降低人体脂肪含量，下表是甲，乙两款健身器材的使用年限(整年)统计表：

某健身机构准备购进其中一款健身器材，以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，该机构选择购买哪一款健身器材，才能使用更长久？

参考公式：样本相关系数r＝＝；对于一组具有线性相关关系的数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，其经验回归方程 ＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.

解：(1)2＝2 304，2＝729，iyi－20＝1 300，－202＝2 200，－202＝900，r＝≈0.92，

因为y与x的样本相关系数接近1，所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．由题可得，＝＝＝≈0.59，

＝－＝27－0.59×48＝－1.32，

所以＝0.59x－1.32.

(2)以频率估计概率，设甲款健身器材的使用年限为X(单位：年)．

则X的分布列为

E(X)＝5×0.1＋6×0.4＋7×0.3＋8×0.2＝6.6，

设乙款健身器材的使用年限为Y(单位：年)．

则Y的分布列为

E(Y)＝5×0.3＋6×0.4＋7×0.2＋8×0.1＝6.1，

因为E(X)>E(Y)，所以该机构购买甲款健身器材能使用更长久．