考点27 复数9种常见考法归类（解析版）

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考点27 复数9种常见考法归类


考点一 复数的有关概念
（一）复数的实部与虚部
（二）共轭复数
（三）复数相等
（四）复数分类
考点二 待定系数求复数
考点三 复数的模
（一）求复数的模
（二）由复数模求参数
（三）与复数模相关的轨迹（图形）问题
考点四 复数的四则运算
（一）复数的运算
（二）复数范围内方程根的问题
考点五 复数的几何意义
（一）与复数对应点(向量)有关的运算
（二）判断复数对应点所在的象限
（三）根据复数对应坐标的特点求参数
考点六 复数的综合问题
考点七 复数的新定义问题
考点八 欧拉公式及其应用
考点九 复数与其他知识的交汇


1. 复数的概念
概念
定义
复数
把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位. 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部
复数集
全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R}
复数
相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R
复数
分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类：
复数
共轭
复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi
复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数
的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|. 即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z(a，b)到坐标原点的距离

2. 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b；
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(3)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．所以解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
①复数是实数的条件:①z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R);②z∈R⇔z=z;③z∈R⇔z2≥0.
②复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数⇔z+z=0(z≠0);③z是纯虚数⇔z2