2020-2021学年江苏省盐城一中、射阳中学等五校高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省盐城一中、射阳中学等五校高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．（5分）曲线的准线方程是　　

A． B． C． D．

2．（5分）若关于的不等式的解集是，那么的值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

3．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的　　

A．充分条件 B．必要条件 

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

4．（5分）下列不等式成立的是　　

A．若，则 B．若，，则 

C．若，则 D．若，则

5．（5分）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是　　

A．，， B．，， 

C．， D．，

6．（5分）已知正数，满足，则的最大值为　　

A．6 B．8 C．4 D．16

7．（5分）若椭圆和双曲线有相同的焦点，，是两条曲线的一个交点，则的值是　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为　　

A．12 B．18 C．24 D．32

二、多项选择题：本题共4题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分.

9．（5分）已知是是充要条件，是的充分不必要条件，那么　　

A．是的的充分不必要条件 B．是的的必要不充分条件 

C．是 的充分不必要条件 D．是 的必要不充分条件

10．（5分）某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，若每次购买吨，运费为8万元次．一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则下列说法正确的是　　

A．当时费用之和有最小值 B．当时费用之和有最小值 

C．最小值为320万元 D．最小值为360万元

11．（5分）在平面直角坐标系中，下列结论正确的是　　

A．椭圆上一点到右焦点的距离的最小值为2 

B．若动圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹是抛物线 

C．方程表示的曲线是双曲线的右支 

D．若椭圆的离心率为，则实数

12．（5分）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的是　　

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）命题“，”的否定是　　．

14．（5分）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　　．

15．（5分）在等差数列中，，其前项和为，若，则的值为　　．

16．（5分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，定点，和动点，满足：，且是底边长为的等腰三角形，则双曲线的标准方程为　　．

四、解答题：本题共6题，第17题10分，其余每小题10分，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知命题：实数满足；命题：实数满足方程表示双曲线．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（12分）（1）解关于的不等式：；

（2）已知正数，满足，求的最小值，并写出等号成立的条件．

19．（12分）在①，，②，，③，，这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题．

已知等比数列的公比是，，且有_____（n∈N．

（1）求证：；

（2）求数列的前项和为．

20．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，且．直线与椭圆相交于，两点．

（1）当时，求实数的取值范围；

（2）当时，的面积为4，求直线的方程．

21．（12分）已知数列满足，且，数列满足，且，．

（1）求证：数列是等差数列，并求通项；

（2）解关于的不等式：．

22．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点为椭圆的上顶点．椭圆以椭圆的长轴为短轴，且与椭圆有相同的离心率．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作斜率分别为，的两条直线，，直线与椭圆，分别交于点，，直线与椭圆，分别交于点，．

（ⅰ）当时，求点的纵坐标；

（ⅱ）若，两点关于坐标原点对称，求证：为定值．

2020-2021学年江苏省盐城一中、射阳中学等五校高二（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．（5分）曲线的准线方程是　　

A． B． C． D．

【分析】利用抛物线的准线方程求解即可．

【解答】解：抛物线的准线方程是，

故选：．

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．

2．（5分）若关于的不等式的解集是，那么的值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】不等式的解集是，即有，是的两根，由韦达定理即可得到．

【解答】解：不等式的解集是，

即有，是的两根，

即有，，

解得，成立．

故选：．

【点评】本题考查二次不等式的解法，考查韦达定理的运用，考查运算能力，属于基础题．

3．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的　　

A．充分条件 B．必要条件 

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

【分析】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，

【解答】解：若为真命题，则命题是命题的充分条件；

“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件结论．

故“好货”是“不便宜”的充分条件．

故选：．

【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．

4．（5分）下列不等式成立的是　　

A．若，则 B．若，，则 

C．若，则 D．若，则

【分析】由不等式的性质逐一判断即可．

【解答】解：对于，若，则，所以，故正确；

对于，，因为，，所以，

所以，所以，故错误；

对于，若时，，故错误；

对于，若，满足，但，故选项错误．

故选：．

【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．

5．（5分）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是　　

A．，， B．，， 

C．， D．，

【分析】根据条件进行转化，由等式求出在的范围，求补集即可，

【解答】解：由，得，因为，所以，

若命题“存在，使得等式成立”是假命题，

即实数的取值集合为，，．

故选：．

【点评】本题主要特称命题的应用，利用条件进行转化是解决本题的关键．

6．（5分）已知正数，满足，则的最大值为　　

A．6 B．8 C．4 D．16

【分析】根据不等式及即可得出的最大值．

【解答】解：；

，

当且仅当时等号成立；

的最大值为8．

故选：．

【点评】本题考查了重要不等式性质在求最值中的应用，属于基础题．

7．（5分）若椭圆和双曲线有相同的焦点，，是两条曲线的一个交点，则的值是　　

A． B． C． D．

【分析】设在第一象限，，，运用椭圆和双曲线的定义，可得，的方程，解方程求得，，可得所求乘积．

【解答】解：设在第一象限，，，

由椭圆的定义可得，

由双曲线的定义可得，

解得，，

则，

故选：．

【点评】本题考查椭圆与双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

8．（5分）已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为　　

A．12 B．18 C．24 D．32

【分析】由等比数列的通项公式化简已知等式得到，化简并把上式代入，设，则函数，配方后根据二次函数的性质求出最大值，从而求出的最小值．

【解答】解：由题意知等比数列中，则公比，

因为，

所以，

即，

所以，

所以，

所以，

设，则，，

所以取最大值1时，取到最小值24．

故选：．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式，换元法、构造函数法，以及二次函数的性质，属于数列与函数结合较难的题，属于中档题．

二、多项选择题：本题共4题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分.

9．（5分）已知是是充要条件，是的充分不必要条件，那么　　

A．是的的充分不必要条件 B．是的的必要不充分条件 

C．是 的充分不必要条件 D．是 的必要不充分条件

【分析】根据是的充分不必要条件，是的充要条件，判断出、能推出，但推不出、，根据充要条件的定义得到结论．

【解答】解：是的充要条件且是的充分不必要条件，

，，但推不出，

是的必要不充分条件，

，但推不出，

是 的充分不必要条件，

故选：．

【点评】本题考查充分条件，必要条件，充要条件的判断，解题时要认真审题，属于基础题．

10．（5分）某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，若每次购买吨，运费为8万元次．一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则下列说法正确的是　　

A．当时费用之和有最小值 B．当时费用之和有最小值 

C．最小值为320万元 D．最小值为360万元

【分析】设一年的总运费与总存储费用之和为，则，再利用基本不等式即可求出的最小值，以及此时的值．

【解答】解：设一年的总运费与总存储费用之和为，则：

，

由基本不等式得：，当且仅当即时，等号成立，

当时，取得最小值320万元．

故选：．

【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．

11．（5分）在平面直角坐标系中，下列结论正确的是　　

A．椭圆上一点到右焦点的距离的最小值为2 

B．若动圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹是抛物线 

C．方程表示的曲线是双曲线的右支 

D．若椭圆的离心率为，则实数

【分析】求出椭圆右顶点到右焦点的距离判断；由抛物线的定义判断；由双曲线的定义判断；求出焦点在轴上的值判断．

【解答】解：对于，椭圆的长半轴长，半焦距，

椭圆的右顶点到右焦点的距离最小为，故正确；

对于，若动圆过点且与直线相切，则圆心到的距离等于到直线的距离，则圆心的轨迹是抛物线，故正确；

对于，方程的几何意义是平面内动点到两个定点，距离差等于6的点的轨迹，表示以，为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故正确；

对于，椭圆的离心率为，当焦点在轴上时，，，则，

则，解得，故错误．

故选：．

【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查双曲线与抛物线的定义，是中档题．

12．（5分）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】先由题设求得，进而求得及，然后求得，再结合的单调性即可得到正确选项．

【解答】解：由，两式相减整理得：，，

又，，

，，故选项正确，选项错误；

又，

，故选项正确；

又在上单调递增，，故选项正确，

故选：．

【点评】本题主要考查数列的通项公式及前项和公式、裂项相消法在数列求和中的应用、数列的单调性的应用，属于中档题．

三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）命题“，”的否定是　，　．

【分析】命题的否定就是把存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定即可．

【解答】解：含存在性量词的否定就是将“”改成“”，将改成

故答案为，

【点评】本题主要考查了命题的否定，是命题中的简单题，属于基础题．

14．（5分）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　　．

【分析】由题意可得△，运用二次不等式的解法可得所求范围．

【解答】解：关于的不等式在上恒成立，

可得△，即，

即，可得，

解得．

故答案为：．

【点评】本题考查二次不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．

15．（5分）在等差数列中，，其前项和为，若，则的值为　10　．

【分析】根据，得到公差，由此能求出的值．

【解答】解：在等差数列中，，其前项和为，，

，解得，

．

故答案为：10．

【点评】本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．

16．（5分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，定点，和动点，满足：，且是底边长为的等腰三角形，则双曲线的标准方程为　　．

【分析】由直线的斜率公式可得，，三点共线，求得直线的倾斜角，由等腰三角形可得，可得，结合，，的关系和直线的斜率公式，解方程可得，，进而得到双曲线方程．

【解答】解：由定点，和动点，，

可得，

即有，，三点共线，

而，所以，，

在等腰三角形中，，

，

解得，

又，，

解得，，

所以双曲线的方程为．

故答案为：．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线的斜率公式和等腰三角形的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

四、解答题：本题共6题，第17题10分，其余每小题10分，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知命题：实数满足；命题：实数满足方程表示双曲线．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【分析】（1）由为真命题，利用双曲线的定义即可求得的取值范围；

（2）由是的充分不必要条件，得到关于的不等式组，解出即可．

【解答】解：（1）命题：实数满足方程表示双曲线，为真命题，

所以，解得．

（2）若是的充分不必要条件，

则，解得．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查命题的真假，考查解不等式以及双曲线的定义，属于中档题．

18．（12分）（1）解关于的不等式：；

（2）已知正数，满足，求的最小值，并写出等号成立的条件．

【分析】（1）解分式不等式，需要先移项，通分，转化为整式不等式求解即可．

（2）正数，满足，把1代入，化简利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：（1），解得，

故不等式：的解集为．

（2）解：正数，满足，

，

当且仅当时取等号．

的最小值为3．

【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

19．（12分）在①，，②，，③，，这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题．

已知等比数列的公比是，，且有_____（n∈N．

（1）求证：；

（2）求数列的前项和为．

【分析】（1）根据所选条件和题设得到数列的前3项之间的关系式，再根据数列是等比数列，即可求得首项与公比，从而证明结论；

（2）先由（1）和题设求得，再利用分组求和法求得．

【解答】解：（1）证明：若选①：

由，，等比数列的公比是，，可得：，

即，解得：或（舍，

；

若选②：

由，，等比数列的公比是，，可得：，

即，解得：，，

；

若选③：

由，，等比数列的公比是，，可得：，

即，解得：，，

；

（2）解：由（1）可得：，

．

【点评】本题主要考查等比数列基本量的计算及分组求和法在数列求和中的应用，属于中档题．

20．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，且．直线与椭圆相交于，两点．

（1）当时，求实数的取值范围；

（2）当时，的面积为4，求直线的方程．

【分析】（1）由已知列关于，的方程组，求解，的值，可得椭圆方程，与直线联立，利用判别式大于0即可求得实数的取值范围；

（2）把代入，与椭圆方程联立，利用弦长公式求弦长，再写出点到直线的距离，代入三角形面积公式，由三角形面积为4求解，则直线的方程可求．

【解答】解：（1）由题意，，解得，

椭圆的标准方程为．

当时，直线，

联立，得．

由△，解得；

（2）当时，直线，

联立，化简得．

设，，，，

，．

，

到直线的距离，

的面积，

解得，

直线的方程为．

【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．

21．（12分）已知数列满足，且，数列满足，且，．

（1）求证：数列是等差数列，并求通项；

（2）解关于的不等式：．

【分析】（1）由题意可得即，可得 数列是等差数列，根据首项和公差，求得它的通项公式．

（2）由题意求得，关于的不等式即．检验可得，当时，不等式不成立，当，3，4时，不等式成立．令，根据当时，是一个递减数列，可得，当时，不等式不会成立，从而得出结论．

【解答】（1）证明：由数列满足，且，，且，

即，数列是等差数列．

首项为，公差为，，．

（2）由数列满足，且，，，

．

关于的不等式：，即，即．

检验可得，当时，不等式不成立，当，3，4时，不等式成立．

当时，，不满足不等式．

当时，令，，

故数列是一个减数列，

故当时，不等式不会成立，

综上所述，，3，．

【点评】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式，递推数列的性质，属于中档题．

22．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点为椭圆的上顶点．椭圆以椭圆的长轴为短轴，且与椭圆有相同的离心率．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作斜率分别为，的两条直线，，直线与椭圆，分别交于点，，直线与椭圆，分别交于点，．

（ⅰ）当时，求点的纵坐标；

（ⅱ）若，两点关于坐标原点对称，求证：为定值．

【分析】（1）由已知求得椭圆的离心率与短半轴长，再由离心率公式结合隐含条件求得与的值，则椭圆方程可求；

（2）（ⅰ）求出点坐标，可得直线，的方程，分别与椭圆方程联立求得与的横坐标，再由向量等式求解，进一步可得点纵坐标；

（ⅱ）由与关于原点对称可得，化简，，作和整理即可证明为定值．

【解答】解：（1）由题意可得，椭圆的离心率等于椭圆的离心率为，椭圆的短半轴长为，

设椭圆的长半轴长为，半焦距为，

则，解得，，

椭圆的标准方程为；

（2）由题意，，可得直线

联立，得，

联立，得．

由知，，解得，

故；

同理可得，由，两点关于坐标原点对称知，

，即，则；

而，

同理可得，，

．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．

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日期：2021/2/23 14:39:42；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394