2020-2021学年江苏省无锡一中高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省无锡一中高二（上）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省无锡一中高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）如果命题，命题，那么命题是命题的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（5分）在平面内，到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是　　
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线
3．（5分）在等差数列中，，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（5分）等比数列的各项均为正实数，其前项和为．若，，则　　
A．32 B．31 C．64 D．63
5．（5分）若椭圆的焦距为2，则实数的值为　　
A．5 B．2 C．2或9 D．5或7
6．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为　　
A．174 B．184 C．188 D．160
7．（5分）已知数列满足，．设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
8．（5分）数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于　　
A．9 B．10 C．11 D．12
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）设等差数列的前项和为．若，，则有　　
A． B． C． D．
10．（5分）已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是　　
A．双曲线的方程为
B．双曲线的离心率为
C．曲线经过双曲线的一个焦点
D．焦点到渐近线的距离为1
11．（5分）下列说法正确的是　　
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“、、成等比数列”的充要条件
D．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件
12．（5分）已知，两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，设声速为340米秒，下列说法正确的是　　
A．爆炸点在以，为焦点的椭圆上
B．爆炸点在以，为焦点的双曲线的一支上
C．若监测点的声强是监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到监测点的距离为米
D．若监测点的声强是监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到监测点的距离为680米
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．（5分）“，”的否定　　．
14．（5分）椭圆的右焦点为，以点为焦点的抛物线的标准方程是　　．
15．（5分）已知是椭圆的一个焦点，为上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则的离心率为　　．
16．（5分）如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且，固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且、在直线的异侧，在移动过程中，当取得最大值时，的面积为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和．
18．（10分）已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”．
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19．（12分）已知直线与椭圆交于，两点．
（1）在，条件下，求的面积的最大值；
（2）当，时，求直线的方程．
20．（12分）已知各项均为正数的数列，其前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
21．（12分）某同学尝试用数学模型来说明隔离和医疗两大因素在对抗传染病时的作用．模型假设如下：
假设1、传染病在人群中的表现有潜伏期和爆发期两种形式，潜伏期无症状，爆发期可以被人识别，无论在潜伏期还是爆发期的病人都具有相同的传染性．潜伏期时间记为，以潜伏期时间为一个传染周期；
假设2、记为一个病人在一个传染周期内平均感染人数；
假设3、某一固定区域（如某个城市）的人群，保持原有的生活习惯，即不变．
（1）第一模型：无干预模型．在上述模型假设中，取天，，假设初始的潜伏期人数为1万人，那么1天后将有1万人处于爆发期，1.2万人处于潜伏期，感染总人数为2.2万人，，请问9天后感染总人数是多少？
（2）第二模型：无限医疗模型．增加两个模型假设：
假设4、政府和社会加大医疗投入，将所有爆发期的病人“应收尽收”；
假设5、潜伏期病人在传染健康人群后转为爆发期病人，然后被收入医院，收入医院的病人即失去传染性；
在第二模型中，取天，，假设初始的潜伏期人数为1万人，请问多少天后感染总人数将超过1000万？
（参考数据：，，，，，，，．
22．（14分）已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为，为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，是椭圆上两点（异于顶点），且的面积为，设射线，的斜率分别为，，求的值；
（3）设直线与椭圆交于，两点（直线不过顶点），且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点．

2020-2021学年江苏省无锡一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）如果命题，命题，那么命题是命题的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由，反之不成立．即可判断出关系．
【解答】解：由，反之不成立．
命题是命题的充分不必要条件．
故选：．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）在平面内，到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是　　
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线
【分析】确定的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得出结论．
【解答】解：动点到定点的距离与到定直线的距离相等，
所以的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
故选：．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（5分）在等差数列中，，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据等差中项的性质即可求出．
【解答】解：由等差数列的性质，得，
解得，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础试题．
4．（5分）等比数列的各项均为正实数，其前项和为．若，，则　　
A．32 B．31 C．64 D．63
【分析】解法一：设首项为，公比为，因为，所以，由条件得，解出即可得出．
解法二：设首项为，公比为，由，又，可得，再利用通项公式即可得出．
【解答】解法一：设首项为，公比为，因为，所以，
由条件得，解得，
所以，
故选：．
解法二：设首项为，公比为，由，又，
，
又因为，所以，所以，
故选：．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5分）若椭圆的焦距为2，则实数的值为　　
A．5 B．2 C．2或9 D．5或7
【分析】由已知可得的范围，然后分椭圆焦点在轴与轴求解，结合已知列式求得值．
【解答】解：由题意，，即．
若椭圆焦点在轴上，则，，，
由已知可得，解得；
若椭圆焦点在轴上，则，，，
由已知可得，解得．
实数的值为5或7．
故选：．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础的计算题．
6．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为　　
A．174 B．184 C．188 D．160
【分析】设此数列为，可得：，，，，．利用即可得出．
【解答】解：设此数列为，可得：，，，，．
．
．
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5分）已知数列满足，．设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】先由题设条件求得，然后求出，再根据数列的单调性求出实数的取值范围即可．
【解答】解：由题设可知：数列是首项、公比均为的等比数列，
，，
又数列是单调递增数列，
恒成立，
即恒成立，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式及数列的单调性，属于基础题．
8．（5分）数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于　　
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】先根据题设推出与公差的关系及的范围，再求得，判断与的正负，进而得到正确选项．
【解答】解：设数列的公差为，
由可得：，
整理得：，，即，
，
从而可知：当时，；当时，，
，
又，
，故中最大，
故选：．
【点评】本题主要考查利用等差数列的通项公式及其性质求数列的前项和的最值问题，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）设等差数列的前项和为．若，，则有　　
A． B． C． D．
【分析】设等差数列的公差为，由题设求得与，进而选出正确选项．
【解答】解：设等差数列的公差为，由题设可得：，解得：，
，，
故选：．
【点评】本题主要考查等差数列基本量的计算，属于基础题．
10．（5分）已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是　　
A．双曲线的方程为
B．双曲线的离心率为
C．曲线经过双曲线的一个焦点
D．焦点到渐近线的距离为1
【分析】由双曲线的渐近线为，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断；再求出双曲线的焦点坐标判断，；求出焦点到渐近线的距离，判断．
【解答】解：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，
把点代入，得，即．
双曲线的方程为，故正确；
由，，得，
双曲线的离心率为，故错误；
取，得，，曲线过定点，故正确；
双曲线的焦点坐标，焦点到渐近线的距离为，故正确．
故选：．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查双曲线方程的求法，考查双曲线的简单性质，是中档题
11．（5分）下列说法正确的是　　
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“、、成等比数列”的充要条件
D．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件
【分析】．由，反之不成立，即可判断出正误；
．，解得范围，即可判断出正误；
．“”是“、、成等比数列”的必要不充分条件，即可判断出正误；
．不正确，例如：，，．
【解答】解：．由，反之不成立，可得“”是“”的必要不充分条件，正确；
．，解得，或．因此“”是“”的充分不必要条件，正确；
．“”是“、、成等比数列”的必要不充分条件，因此不正确；
．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件，不正确，例如：，，．
故选：．
【点评】本题考查了等比数列的性质、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．（5分）已知，两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，设声速为340米秒，下列说法正确的是　　
A．爆炸点在以，为焦点的椭圆上
B．爆炸点在以，为焦点的双曲线的一支上
C．若监测点的声强是监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到监测点的距离为米
D．若监测点的声强是监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到监测点的距离为680米
【分析】由题意可得、两监测点与爆炸点的距离差为（米，结合双曲线定义可知爆炸点在以，为焦点的双曲线的一支上；再由声强关系可得爆炸点到的距离是到距离的2倍，结合双曲线定义即可求得爆炸点到的距离．
【解答】解：由声速为340米秒可知，、两监测点与爆炸点的距离差为（米，
又，两监测点间距离为800米米，
因此爆炸点在以、为焦点的双曲线上．
又爆炸点离处比处更远，可知爆炸点应在靠近处的一支上．
故错误，正确；
设爆炸点为，
因为监测点的声强是监测点的4倍，且声强与距离的平方成反比，
所以，
因为听到同一爆炸声的时间差为，
所以，
故，，
所以爆炸点到监测点的距离为680米，
故错误，正确．
故选：．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查双曲线的应用，考查学生的计算能力，正确计算是关键，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．（5分）“，”的否定　，　．
【分析】根据一个命题的否定定义解决．
【解答】解：由命题的否定义知：要否定结论同时改变量词
故答案是，
【点评】本题考查一个命题的否定的定义．
14．（5分）椭圆的右焦点为，以点为焦点的抛物线的标准方程是　　．
【分析】由椭圆方程求得的坐标，即可得到抛物线的焦点坐标，由此可设抛物线方程，并求得，则答案可求．
【解答】解：由椭圆，得，，，
则椭圆右焦点，
又抛物线的焦点为，
抛物线方程为，且，则．
抛物线方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆及抛物线的几何性质，是基础题．
15．（5分）已知是椭圆的一个焦点，为上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则的离心率为　　．
【分析】根据为等边三角形，可得在△中，，在根据直角形和椭圆定义可得；
【解答】解：连接，由为等边三角形可知在△中，
，，，于是，
故曲线的离心率．
故答案为：．

【点评】本题考查了椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，属中档题．
16．（5分）如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且，固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且、在直线的异侧，在移动过程中，当取得最大值时，的面积为　　．

【分析】由题意画出图形，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线的性质求得的轨迹为，再利用双曲线定义把取得最大值转化为取最大值，可得的位置，写出所在直线方程，联立直线方程与双曲线方程求得的纵坐标，再由三角形面积公式求解．
【解答】解：如图，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，
设的内切圆切、、分别于、、，
则，
点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，
且，，，
的轨迹方程为．
，
，
则，
则当为线段与双曲线右支的交点时，最大，
所在直线方程为，即．
联立，解得．
的面积为．
故答案为：．

【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和．
【分析】本题第（1）题先设等差数列的公差为，然后根据等差数列的通项公式和等比中项的性质可列出关于公差的一元二次方程，解出的值，即可计算出等差数列的通项公式；
第（2）题先根据第（1）题的结果计算出等差数列的前项和为的表达式，然后计算出数列的通项公式，再运用分组求和法，裂项相消法和等比数列的求和公式即可计算出前项和．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则
，，，
，，成等比数列，
，即，
化简整理，得，
解得（舍去），或，
，．
（2）由（1），可得，
故，




．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及求前项和问题．考查了转化与化归思想，方程思想，分组求和法，裂项相消法，等差数列和等比数列的求和公式，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．
18．（10分）已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”．
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【分析】（1）若是真命题，则，由此能求出的取值范围．
（2）由（1）得，是真命题时，的取值范围是．为真命题时，，解出的取值范围，根据是的必要不充分条件，即可得出．
【解答】解：（1）若是真命题，则，
解得：．
所以的取值范围是．（4分）
（2）由（1）得，是真命题时，的取值范围是．
为真命题时，，
所以的取值范围是．（6分）
因为是的必要不充分条件，
所以，所以，等号不同时取得，
所以（10分）
【点评】本题考查了圆锥曲线的标准方程、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19．（12分）已知直线与椭圆交于，两点．
（1）在，条件下，求的面积的最大值；
（2）当，时，求直线的方程．
【分析】（1）当时，设，，，，求出，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解最大值．
（2）当时，设，，，，由，得，利用韦达定理以及判别式，求出弦长，然后求解即可．
【解答】解：（1）当时，，所以，两点关于轴对称，
设，，，，
所以
所以，
所以
当且仅当，即，等号成立，
所以的面积的最大值为1．
（2）当时，设，，，，
由，得，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以直线的方程为．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
20．（12分）已知各项均为正数的数列，其前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【分析】本题第（1）题先代入计算出，当时，根据公式，代入进行计算，转化整理即可发现数列是首项为1，公差为1的等差数列，即可计算出数列的通项公式；
第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前项和．
【解答】解：（1）由题意，当时，，解得，
当时，，
化简，得
整理，得，
，
，即，
数列是首项为1，公差为1的等差数列，
，．
（2）由（1），知
，
，

两式相减，可得


，
．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前项和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．
21．（12分）某同学尝试用数学模型来说明隔离和医疗两大因素在对抗传染病时的作用．模型假设如下：
假设1、传染病在人群中的表现有潜伏期和爆发期两种形式，潜伏期无症状，爆发期可以被人识别，无论在潜伏期还是爆发期的病人都具有相同的传染性．潜伏期时间记为，以潜伏期时间为一个传染周期；
假设2、记为一个病人在一个传染周期内平均感染人数；
假设3、某一固定区域（如某个城市）的人群，保持原有的生活习惯，即不变．
（1）第一模型：无干预模型．在上述模型假设中，取天，，假设初始的潜伏期人数为1万人，那么1天后将有1万人处于爆发期，1.2万人处于潜伏期，感染总人数为2.2万人，，请问9天后感染总人数是多少？
（2）第二模型：无限医疗模型．增加两个模型假设：
假设4、政府和社会加大医疗投入，将所有爆发期的病人“应收尽收”；
假设5、潜伏期病人在传染健康人群后转为爆发期病人，然后被收入医院，收入医院的病人即失去传染性；
在第二模型中，取天，，假设初始的潜伏期人数为1万人，请问多少天后感染总人数将超过1000万？
（参考数据：，，，，，，，．
【分析】（1）记为天后感染总人数，则，，从而得到9天后感染总人数的值．
（2）记为第天收入医院的人数，则，，，是首项为1，公比为1.2的等比数列，再利用等比数列的前项和公式即可求解．
【解答】解：（1）记为天后感染总人数，则，，
所以，
故9天后感染总人数是1207万人．
（2）记为第天收入医院的人数，则，，，
由题意知，是首项为1，公比为1.2的等比数列，
所以，
若天后总感染人数超过1000万，即，
所以
所以，
又因为，
所以，所以
故29天后感染总人数将超过1000万．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了等比数列的实际应用，是中档题．
22．（14分）已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为，为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，是椭圆上两点（异于顶点），且的面积为，设射线，的斜率分别为，，求的值；
（3）设直线与椭圆交于，两点（直线不过顶点），且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点．
【分析】（1）利用椭圆的离心率以及椭圆的上顶点到右顶点的距离为，列出方程组，求解，，得到椭圆方程．
（2）设，，，设直线，直线，联立直线与椭圆方程，求出的坐标，结合点到直线的距离，转化求解三角形的面积，推出．
（3）设，，，，直线的斜率存在时，设直线，
由，结合韦达定理，通过，推出或，得到直线系方程，求出定点坐标；直线的斜率不存在时，判断直线过定点即可．
【解答】解：（1）由题得，所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，，，
设直线，直线，
联立，所以，
同理得，
点到直线的距离，，
所以，
平方得，
所以．
（3）证明：设，，，，
直线的斜率存在时，设直线，
由，得，
所以，
由题得，
所以，
化简得，
代入韦达定理得，
所以或，
当时，，定点为，为右顶点（舍．
当时，，定点为，满足题意．
直线的斜率不存在时，设直线，
，所以（不妨设在第一象限）
又因为，
所以，
化简得，所以，
所以或（舍，
所以，直线过点，
综上所得直线过定点．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
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日期：2021/2/23 14:34:13；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394