2021-2022学年江苏省盐城中学高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省盐城中学高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）若复数，其中为虚数单位，则的虚部为　　

A． B． C． D．

2．（5分）在中，，，，则　　

A． B．5 C．6 D．

3．（5分）在中，，，若，，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）若，是两条不重合的直线，垂直于平面，则“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）设，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）在矩形中，已知，，，，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）在中，，，的对边分别为，，．若，当角最大时，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）在四边形中，，，，，则四边形面积的最大值为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．（5分）已知向量，，则　　

A． 

B．向量在向量上的投影向量是 

C． 

D．向量在向量上的投影向量是

10．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，则　　

A．若，，，则有两解 

B．若，则为直角三角形 

C．若，则为锐角三角形 

D．若，则

11．（5分）如图，正方体的棱长为1，点是△内部（不包括边界）的动点，若，则线段长度的可能取值为　　

A． B． C． D．

12．（5分）已知的内角，，满足，面积满足，记，，分别为，，所对的边，下列说法中不正确的是　　

A． B． C． D．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．（5分）已知，，则的最大值是 　　．

14．（5分）国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为，则　　．

15．（5分）如图，在圆锥中，为底面圆的直径，，为上的点，，为底面圆周上的点，，则异面直线与所成角的余弦值为 　　．

16．（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，为的面积，点是的外接圆圆上一动点，当取得最大值时，的最大值为 　　．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（10分）已知复数满足，且，其中为虚数单位．

（1）求复数；

（2）若复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求．

18．（12分）已知向量，，，．

（1）若时，求的值；

（2）若，求的值．

19．（12分）在中，角，，的对边分别为，，．已知．

（1）求角；

（2）若，判断的形状，并说明理由．

20．（12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是线段上的一点，，．

（1）试确定实数，使平面，并给出证明；

（2）当时，证明：平面．

21．（12分）如图，某公园有一块等腰直角三角形的空地，．为迎接“五一”观光游，现对该地块进行改造，在边界上选择中点，修建观赏小径、，点、分别在边界、上（不含端点），且，在区域和区域内种植郁金香，区域内种植牡丹．设．

（1）当，求区域的面积；

（2）求区域的面积的取值范围．

22．（12分）在中，已知．

（1）若点为的中点，，求；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省盐城中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）若复数，其中为虚数单位，则的虚部为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

的虚部为．

故选：．

2．（5分）在中，，，，则　　

A． B．5 C．6 D．

【解答】解：因为在中，，

所以，

又，，

所以由余弦定理，可得，

可得，

则解得，（负值舍去）．

故选：．

3．（5分）在中，，，若，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，，，

，

故选：．

4．（5分）若，是两条不重合的直线，垂直于平面，则“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：当，是两条不重合的直线，垂直于平面，若“”，则“”，

所以“”能推出“”；

当，是两条不重合的直线，垂直于平面，若“”，则“ “或“在平面内”，

所以“”不能推出“”；

由充要条件的定义可得：

若，是两条不重合的直线，垂直于平面，则“”是“”的充分而不必要条件，

故选：．

5．（5分）设，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

．

，

，即．

故选：．

6．（5分）在矩形中，已知，，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：以点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，

设，则，，

，则两式相减化简可得，

又，，，，

，

．

故选：．

7．（5分）在中，，，的对边分别为，，．若，当角最大时，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由可得，

所以，

（当且仅当，即时取等号），

所以的最小值为，此时角最大，且有，

故，

又，所以，

故选：．

8．（5分）在四边形中，，，，，则四边形面积的最大值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由于四边形中，，，，，

如图所示：

所以为等边三角形；

设，

所以，利用分割法，，

；

；

当时取得最大值．

故选：．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．（5分）已知向量，，则　　

A． 

B．向量在向量上的投影向量是 

C． 

D．向量在向量上的投影向量是

【解答】解：对于选项，，，则不成立，即选项错误；

对于选项，向量在向量上的投影向量是，即选项正确；

对于选项，，即选项正确；

对于选项，向量在向量上的投影向量是，即选项错误，

故选：．

10．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，则　　

A．若，，，则有两解 

B．若，则为直角三角形 

C．若，则为锐角三角形 

D．若，则

【解答】解：对，因为，所以有两解，故正确；

对，因为，所以，故，故正确；

对，由可得，则，所以，故为钝角，故错误；

对，，所以，所以，所以，，，所以，即，故正确．

故选：．

11．（5分）如图，正方体的棱长为1，点是△内部（不包括边界）的动点，若，则线段长度的可能取值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：取中点，在正方体中，

，是的中点，，同理，

面，

又点是△内部（不包括边界）的动点，

一定在线段上运动

在中，，，

故，，

故到的距离，

故，

故选．

12．（5分）已知的内角，，满足，面积满足，记，，分别为，，所对的边，下列说法中不正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：的内角，，满足，

，

，

，

，

化为，

．

设外接圆的半径为，

由正弦定理可得：，

由，及正弦定理得，

即，

面积满足，

，即，

由可得，故错误，

，即，故正确，

，即，但，不一定正确，故错误

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．（5分）已知，，则的最大值是 　3　．

【解答】解：由复数模的运算性质，

易得当与反向时，

取最大值，

又，

时，满足条件，

此时，

故答案为：3．

14．（5分）国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为，则　　．

【解答】解：大正方形面积为100，小正方形面积为4，

大正方形边长为10，小正方形的边长为2．

，

．

两边平方得：，

．

是直角三角形中较小的锐角，，

，，，

故答案为：．

15．（5分）如图，在圆锥中，为底面圆的直径，，为上的点，，为底面圆周上的点，，则异面直线与所成角的余弦值为 　　．

【解答】解：如右图，以直线为轴，直线为轴，

以底面圆内过且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，

根据题意，可得，0，，，0，，，0，，，，，

，，设异面直线与所成角为，

，

故答案为：．

16．（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，为的面积，点是的外接圆圆上一动点，当取得最大值时，的最大值为 　　．

【解答】解：由，

则，

则，

即，

即，

即，

又，

由，

由余弦定理可得，即，

当且仅当时取等号，此时，同时取最大值，

即当时，取得最大值，

由正弦定理可得，

即的外接圆的半径为1，

又点是的外接圆圆上一动点，

建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，，，

则，

即的最大值为，

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（10分）已知复数满足，且，其中为虚数单位．

（1）求复数；

（2）若复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求．

【解答】解：（1）复数，可得，

又，

可得，即

可得．

（2），，在复平面上对应点分别为，，．

，，，

，，，

．

18．（12分）已知向量，，，．

（1）若时，求的值；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1）向量，，，，

若时，则，

，

；

（2）因为，所以，

所以，所以，所以，

所以．

所以，

．

所以

．

19．（12分）在中，角，，的对边分别为，，．已知．

（1）求角；

（2）若，判断的形状，并说明理由．

【解答】解：（1）在三角形中，由已知可得，

由正弦定理得：，

可得：，

，解得：．．可得：．

（2），由正弦定理得，，

即，即，，

，，，，或，

或，

当，，当，，

为直角三角形．

20．（12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是线段上的一点，，．

（1）试确定实数，使平面，并给出证明；

（2）当时，证明：平面．

【解答】解：（1）根据题意，时，平面，

证明：当时，，为的中点，连接，与交于点，连接，

为中点，为的中点，则有，平面，

故有平面，

（2）证明：根据题意，连接，与交于点，连接，

底面，则，

又由，则面，则有，

中，，，，则，

，则，

则有，则有，则有，即，

又由，

故平面．

21．（12分）如图，某公园有一块等腰直角三角形的空地，．为迎接“五一”观光游，现对该地块进行改造，在边界上选择中点，修建观赏小径、，点、分别在边界、上（不含端点），且，在区域和区域内种植郁金香，区域内种植牡丹．设．

（1）当，求区域的面积；

（2）求区域的面积的取值范围．

【解答】解：（1），在中，，，

由正弦定理得：，解得，

；

（2）由题意知，，

在中，由正弦定理得：，

，

在中，同理可得，

．

设，则，

，，故，，

设，任意，有，

，，，，

，即，

故在，上为减函数，同理在上为增函数．

当，时，有．

，．

22．（12分）在中，已知．

（1）若点为的中点，，求；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1），

，

设的角，，的对边分别为，，，则，

且，

又由余弦定理得，故且，

且，

联立解得，即；

（2）由（1）得，

又，

，当且仅当时等号成立，

，当且仅当时等号成立，

，当且仅当时等号成立，

恒成立，

实数的取值范围为．

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