2021-2022学年江苏省淮安市高中校协作体高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省淮安市高中校协作体高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）

1．（5分）已知复数（其中为虚数单位），则　　

A． B．2 C． D．3

2．（5分）在长方形中，为的中点，设，，则等于　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知，，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）在中，角、、所对的边分别是、、，且，，，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．（5分）　　

A． B． C． D．

7．（5分）设，为基底向量，已知向量，，，若，，三点共线，则的值是　　

A．2 B． C． D．3

8．（5分）在中，，，，若该三角形有两个解，则范围是　　

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共有4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡相应位置上）

9．（5分）下面关于复数，正确的是　　

A． B． 

C．的虚部为 D．的共轭复数为

10．（5分）已知是单位向量，且，则　　

A． B．与垂直 

C． D．与的夹角为

11．（5分）下列各式中值为1的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

12．（5分）对于中，有如下判断，其中正确的判断是　　

A．若，，，则符合条件的有两个 

B．若，则为等腰三角形 

C．若，则 

D．若，则是钝角三角形

三、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分.其中第16题共有2空．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．（5分）已知复数为纯虚数，若（其中为虚数单位），则实数的值为 　　．

14．（5分）已知向量，若与的夹角为锐角，则的取值范围为 　　．

15．（5分）如图所示，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为 　　．

16．（5分）已知，则　　，　　．

四、解答题（本大题共有6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分.请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知复数，．

（1）求；

（2）复数，对应的向量分别是，，其中为坐标原点，当时，求的值．

18．（12分）如图，在中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，．

（Ⅰ）用向量，表示；

（Ⅱ）设向量，，求的值．

19．（12分）已知．

（1）若为锐角，求的值；

（2）求的值．

20．（12分）已知向量，，．

（1）求，的值；

（2）若，求实数，的值；

（3）若，求实数的值．

21．（12分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若，求的面积的最大值．

22．（12分）已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点，作扇形的内接矩形，记，矩形的面积为．

（1）写出与的函数关系式，并化简；

（2）求矩形面积的最大值，并求此时的取值．

2021-2022学年江苏省淮安市高中校协作体高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）

1．（5分）已知复数（其中为虚数单位），则　　

A． B．2 C． D．3

【解答】解：，

．

故选：．

2．（5分）在长方形中，为的中点，设，，则等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：

，

故选：．

3．（5分）已知，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

故选：．

4．（5分）在中，角、、所对的边分别是、、，且，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，，，

由正弦定理得，，

所以，

因为，所以，

所以为锐角，

所以．

故选：．

5．（5分）在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：，

复数对应的点位于第四象限．

故选：．

6．（5分）　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

故选：．

7．（5分）设，为基底向量，已知向量，，，若，，三点共线，则的值是　　

A．2 B． C． D．3

【解答】解：因为，，，

所以，

若，，三点共线，

则，

所以存在实数使得，

故，

所以，．

故选：．

8．（5分）在中，，，，若该三角形有两个解，则范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由正弦定理得，，

即，

所以，

因为该三角形有两个解，

所以且，

解得．

故选：．

二、多项选择题（本大题共有4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡相应位置上）

9．（5分）下面关于复数，正确的是　　

A． B． 

C．的虚部为 D．的共轭复数为

【解答】解：，

，故正确，

，故正确，

的虚部为，故错误，

的共轭复数为，故正确．

故选：．

10．（5分）已知是单位向量，且，则　　

A． B．与垂直 

C． D．与的夹角为

【解答】解：，即，，故错误；

，可得即，故正确；

，即，故错误；

，与的夹角为，故正确．

故选：．

11．（5分）下列各式中值为1的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：，原式，

，原式，

，原式，

，原式

，

故选：．

12．（5分）对于中，有如下判断，其中正确的判断是　　

A．若，，，则符合条件的有两个 

B．若，则为等腰三角形 

C．若，则 

D．若，则是钝角三角形

【解答】解：选项，给出的条件为（两边一夹角），符合这个条件的三角形有且只有一个，所以选项错误；

选项，由，可得，则为等腰三角形，所以选项正确；

选项，，，，，所以选项正确；

选项，边角转换得，，为钝角，则是钝角三角形，所以选项正确．

故选：．

三、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分.其中第16题共有2空．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．（5分）已知复数为纯虚数，若（其中为虚数单位），则实数的值为 　　．

【解答】解：（其中为虚数单位），

，

，，

复数为纯虚数，

，，解得．

故答案为：．

14．（5分）已知向量，若与的夹角为锐角，则的取值范围为 　　．

【解答】解：与的夹角为锐角，且与不共线，

由，得，解得，

当与共线时，，解得，

故实数的取值范围为．

故答案为：．

15．（5分）如图所示，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为 　6　．

【解答】解：由题意，，

由余弦定理可得，

所以灯塔与灯塔的距离为．

故答案为：6．

16．（5分）已知，则　　，　　．

【解答】解：；

，

故答案为：；．

四、解答题（本大题共有6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分.请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知复数，．

（1）求；

（2）复数，对应的向量分别是，，其中为坐标原点，当时，求的值．

【解答】解：（1），

．

（2）当时，，

复数，对应的向量分别是，，其中为坐标原点，

，，

．

18．（12分）如图，在中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，．

（Ⅰ）用向量，表示；

（Ⅱ）设向量，，求的值．

【解答】解：（Ⅰ）在中，为中线上一点，，

；

（Ⅱ）由，

，，三点共线，

，

．

19．（12分）已知．

（1）若为锐角，求的值；

（2）求的值．

【解答】解：（1）因为，

又为锐角，

所以，，

所以．

（2）由，可得，

所以，

所以．

20．（12分）已知向量，，．

（1）求，的值；

（2）若，求实数，的值；

（3）若，求实数的值．

【解答】解：（1）向量，，

，．

（2）向量，，，，

，，，，，

，解得，

即的值为，的值为．

（3），且，，

，

解得，

故实数的值为．

21．（12分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若，求的面积的最大值．

【解答】解：（1）由及正弦定理得，

，

，，

，

，；

（2）由（1）知，．

由余弦定理，，

得，

即，当且仅当时，等号成立，

所以当时，取得的最大值为64，

，

的面积的最大值为．

22．（12分）已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点，作扇形的内接矩形，记，矩形的面积为．

（1）写出与的函数关系式，并化简；

（2）求矩形面积的最大值，并求此时的取值．

【解答】解：（1）在直角中，，，

在直角中，，

又，

所以，

所以，

即；

（2）因为，

所以，

所以当，即时，．

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