江苏省淮安市高中校协作体2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

淮安市高中校协作体2021-2022学年第一学期期中考试

高二数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）

1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是(　　)C

A．0°              B．45°             C．90°              D．135°

2.抛物线的准线方程为（     ）D

A．    B．    C．  D．

3.已知直线经过点和点，直线，直线.

若，，则的值为（   ）A

A．           B．             C．               D．

4.设是等差数列的前n项和，若则（       ）A

A． B． C． D．

5.若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）C

A．   B． C．  D．

6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已经,,

动点满足,则动点轨迹与圆的位置关系是（   ）D

A．相交 B．相离 C．内切 D．外切

7. 斐波那契(约1170~1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草，万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,…,数列

满足，，设，

则（    ）D

A．2019            B．2020           C．2021         D．2022

8. 过椭圆的右焦点作轴的垂线，交椭圆于A，B两点，

直线过椭圆的左焦点和上顶点.若以为直径的圆与直线存在公共点，则的离心率的取值范围是（    ）A

A． B． C． D．

二､多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 请把答案填涂在答题卡相应位置上

9.椭圆的焦距为，则的值为（     ）AB

A．9 B．23 C． D．

10.若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中正确的是（    ）BCD

A．若，则曲线为椭圆

B．若曲线为椭圆，且长轴在轴上，则

C．若曲线为双曲线，则或

D．曲线可能是圆.

11.以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（    ）AC

A.         B.         C.      D.

12. 已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则下列结论正确的是（     ）ABC

A． B．为中点     C．  D．

三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13. ①在数列中，若是常数，则数列是等差数列；

②设数列是等差数列，若则

③数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有

④若数列是等差数列，则，…也成等差数列．

上述命题中，其中正确的命题的序号为                     . ①②③④

14. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，

若，则线段的长为________．12

15. 已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆上，则的值是________．

16. 已知分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点．

（1）的值为________；20

（2）若，且的面积为，求b的值为________．   8   

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.(本小题满分10分) .

已知等差数列的前项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求的最大值及相应的的值.

解：（1）在等差数列中，∵,

∴，………………………………………………………………………2分

解得，…………………………………………………………………………4分

∴；………………………………………………………6分

（2）∵，

∴ ，……………………8分

∴当或时，有最大值是20…………………………………………10分

18.(本小题满分12分)

已知双曲线的离心率为，抛物线（）

的焦点为，准线为，交双曲线的两条渐近线于、两点，的面积为8.

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）求抛物线的方程.

解:（1）由题意，双曲线的离心率为，

可得，解得，可得，…………4分

所以双曲线的渐近线方程为.…………6分

（2）由抛物线，可得其准线方程为，…………7分

代入双曲线渐近线方程得，，………9分

所以，…………10分

则，解得，

所以抛物线的方程为.…………12分

19.(本小题满分12分)

在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，

补充在下面的横线上，并解答．

问题：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且______．

（1）求抛物线的标准方程．

（2）若直线与抛物线交于两点，求的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解:方案一  选择条件①．

（1）由抛物线的定义可得．…………………………………2分

因为，所以，解得．   

故抛物线的标准方程为．        ……………………………4分

（2）设，，，由（1）可知． …………………5分

由，消去得，……………………………7分

则，，

所以，…………………………9分

又，，所以，

故． …………11分  

因为点到直线的距离，

所以的面积为．…………12分

方案二  选择条件②．

（1）因为，所以，，……………………………2分

因为点在抛物线上，所以，即，解得，   

所以抛物线的标准方程为．   …………………………………4分

（2）设，，由（1）可知．  ………………………5分

由，得，………………………………7分

则，，

所以，…………………………9分

又，，所以，

故．………11分

因为点到直线的距离，

所以的面积为．………12分

方案三  选择条件③．

（1）当轴时，，所以．    …………………2分

故抛物线的标准方程为．          …………………4分

（2）设，，解法同上 .

20.(本小题满分12分)

（1）在平面直角坐标系中，直线与圆相切于点,

圆心在直线上. 求圆的方程；

（2）已知圆与圆相交，

求实数的取值范围．

解：（1）（方法一）

设圆的方程是，则圆心，半径是，………1分

因为圆心在直线上，所以，……①…………………………2分

因为圆与直线相切，所以线心距，……②………3分

又切点在圆上，所以……③………………4分

①代入②得，，………④

①代入③得，………⑤

由④和⑤得，

整理得所以，…………………………………5分

所求圆的方程是………………………6分

方法二：设圆心，半径是，

则圆方程是……………………2分

因为圆与直线相切于点,

所以与直线垂直，所以,………4分

所以圆心，

所以，…………………………5分

所求圆的方程是。……………………………6分

（2）圆化为

，………………………………7分

由已知得，所以，……8分

因为两圆相交，所以，

，………………………………10分

所以，，，

所以，。……………………………12分

21. (本小题满分12分)

已知椭圆：过点，长轴长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作直线与椭圆交于，两点，当为线段中点时，

求直线的方程．

解：（1）因为椭圆的长轴长为，所以，得……………1分

又椭圆：（）过点，

所以，得．                    ………………3分

所以椭圆的标准方程为．                ………………4分

（2）直线的斜率不存在时，过点的直线的方程为，

此时线段中点为，不合题意．  ……………………………………5分

所以可设直线的方程为，即，

设，．……………………………………………………………6分

将代入消去得

， ……………………………8分

当时，，  

又为线段中点时，所以，

于是，解得， 且此时，……………………………10分

所以直线的方程为，即.…………………………12分

另解（2）方法二：直线的斜率不存在时，过点的直线的方程为，

此时线段中点为，不合题意．…………………………………5分

所以直线的斜率必存在，设其为，设，，………………………6分

因为为的中点，则，所以，………………………7分

将、坐标代入椭圆的标准方程为得，，………………8分

两式相减得：，整理得：，

所以，，

所以.………………………………………………………10分

所以直线的方程为，即.

因为点在椭圆内部，所以直线必与椭圆相交于两点，此直线即为所求. ………12分

22.(本小题满分12分)

如图，椭圆经过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），

证明：直线与的斜率之和为2.

解：（1）由题意知，又，………………2分

解得，所以椭圆的方程为.………………4分

(II) 设，，

由题设知，直线的方程为，…………6分

将直线代入，得

 ，………………8分

由已知，或

则，………………9分

从而直线与的斜率之和

        .

即直线与的斜率之和是2. ………………………12分