2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．（5分）已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为　　

A． B．3 C． D．

2．（5分）已知向量，，若与垂直，则实数　　

A．2 B． C． D．8

3．（5分）已知为任意角，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）已知的内角，，的对边长分别是，，，设向量，，，若，则角的大小为　　

A． B． C． D．

5．（5分）如图，已知，用，表示，则等于　　

A． B． C． D．

6．（5分）明朝早期，郑和在七下西洋的过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海，形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术 “过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位，其采用的主要工具为牵星板．由12块正方形木板组成，最小的一块边长约为2厘米（称一指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂垂直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下边缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，与其相切，依高低不同替换、调整木板，木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为九指板，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知，，，均为锐角，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知向量，，若是实数，且，则的最小值为　　

A． B．1 C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．（5分）已知复数在复平面上对应的点为，为虚数单位，则下列正确的是　　

A． B． C． D．是实数

10．（5分）已知，是实数，，，为向量，则下列运算中正确的有　　

A． B．若，则 

C． D．

11．（5分）设函数，则　　

A．最大值为2 B．是偶函数 

C．图象关于点，对称 D．在区间上单调递增

12．（5分）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幕减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是　　

A．周长为 

B．三个内角，，满足关系 

C．外接圆半径为 

D．中线的长为

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．（5分）若复数，为虚数单位，则　　．

14．（5分）若平面向量满足，，且，则与夹角的大小为　　．

15．（5分）中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为　　米秒．

16．（5分）如图，在菱形中，，，，分别为，上的点，，，若线段上存在一点，使得，则　　，　　．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知复数，，是虚数单位）．

（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；

（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值．

18．（12分）阅读一下一段文字：，，两式相减得：，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点．

（1）若，，求的值；

（2）若，，求的值．

19．（12分）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并进行求解．

问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，，，点，是边上的两个三等分点，，_______，求的长和外接圆的半径．

20．（12分）亚洲第三大摩天轮“水城之眼”是我市的地标建筑，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标．

（1）某数学课外活动小组为了测量摩天轮的最高点距地面的高度，选取了与点在地面上的射影在同一水平面内的两个测量基点，（如图所示）；现测得，两点间的距离是390米，求最高点距地面的高度；

（2）若摩天轮最低点距地面的距离米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转动一周需要20分钟．

①从游客进入摩天轮位于最低点处的轿厢开始计时，转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，（单位：米）关于（单位：分钟）的函数解析式；

②若只有当轿厢的高度超过47.5米时才能俯瞰东昌湖的美景，请计算游客在摩天轮旋转一周的过程中有多长时间可以俯瞰东昌湖的美景．

21．（12分）已知，，，，，将曲线的图象向右平移得到函数的图象．

（1）若，，，求的值；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

22．（12分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．

（1）设函数，试求的相伴特征向量；

（2）记向量的相伴函数为，求当且，时，的值；

（3）已知，，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．

2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．【解答】解：复数，

的虚部为．

故选：．

2．【解答】解：，，解得．

故选：．

3．【解答】解：由得，，，

为任意角，，

是的必要不充分条件．

故选：．

4．【解答】解：向量，，，若，

，

由正弦定理知：，即

由余弦定理知：，

．

，

．

故选：．

5．【解答】解：由，可得，

则，所以，

故选：．

6．【解答】解：由题意知九指为厘米，

，

则．

故选：．

7．【解答】解：，均为锐角，，，

，，

，且为锐角，

．

故选：．

8．【解答】解：，，

，，

，

时，取最小值．

故选：．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．【解答】解：由题意，，故错误；

，故错误；

，故正确；

为实数，故正确．

故选：．

10．【解答】解：，满足向量的运算法则，所以正确；

当时，，但是，不一定相等，所以不正确；

是与共线的向量，表示与共线的向量，所以两个向量不一定相等，所以不正确；

，满足向量的数量积的运算法则，所以正确；

故选：．

11．【解答】解：函数

，

，

，为偶函数，故正确；

的单调递增区间为，即，函数在，单调递增，所以选项不符合题意．

的最大值是，故选项不符合题意．

由，，解得，，可得当时，其图象关于点，对称，故正确．

故选：．

12．【解答】解：现有满足，

所以，

设，，，，

利用余弦定理，

由于，

所以．

所以，故，所以三个内角，，成等差数列，故正确；

利用，

所以，解得．

所以：，，，

所以的周长为，故正确；

利用正弦定理，外接圆半径为，故错误；

如图所示：

利用正弦定理，解得，所以，

利用余弦定理：，

解得，故正确．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．【解答】解：，

．

故答案为：．

14．【解答】解：根据题意，设与夹角为，

，则，

又由平面向量满足，，

则有，

解可得，

又由，则，

故答案为：．

15．【解答】解：如图所示，

依题意知，，

，

由正弦定理知，

（米，

在中，（米，

国歌长度约为46秒，

升旗手升旗的速度应为（米秒），

故答案为：．

16．【解答】解：设，

则，

，

，，

．

故答案为：，．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【解答】解：（1），，，

在复平面内对应的点落在第一象限，

，解得，即实数的取值范围是；

（2）由虚数是实系数一元二次方程的根，

得，即，

整理得，

，解得．

18．【解答】解：（1），

（2）设，，

，由（1）知，即①，

，同理得，即②，

由①②解得，，

．

19．【解答】解：若选择条件①

因为，所以

设，则．

又，，

所以在中，，

即，

即，

解得或（舍去）．

在中，，

所以，

同理，

所以．

由正弦定理可得，

所以外接圆的半径，

若选择条件②

因为点，是边上的三等分点，且，所以．

因为，所以，

所以，所以．

在中，，

所以．

同理，

所以，

由正弦定理可得，

所以外接圆的半径．

若选择条件③

设，则．

在中，，

同理在中，，

因为，所以，

所以，

在中，，

所以．

同理，

所以．

由正弦定理可得，

所以外接圆的半径．

20．【解答】解：（1）由题意得，，

在中，由正弦定理得：，

即，

又，，

所以，

所以，

所以最高点距地面的高度米；

（2）①以的中点为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

因为，，

所以摩天轮的半径为米，

所以米，

由题意得，20分钟转一周，所以每分钟转弧度，

设从点开始计时，分钟时轿厢运动到，

则转过的，

所以，

设，，由三角函数的定义可得，

，

而，

所以游客距地面的高度关于时间的函数解析式为；

②当轿厢的高度超过47.5米时，即，

整理得，

所以，

解得，

因为，所以只有当时，符合题意，

即旋转一周中有分钟可以俯瞰东昌湖的美景．

21．【解答】解：（1）

，

由，得，又，，

得，

所以，解得，

则．

（2）将曲线的图象向右平移，得到函数，

，

所以恒成立，

原不等式等价于对任意恒成立，

令，，，即 在，上恒成立，

设，对称轴，

当时， 成立，

当时，（1），解得，此时，

当时，，解得，此时，

综上，实数的取值范围为．

22．【解答】解：（1），

所以，

故函数的伴随特征向量，

（2）由于，

所以，

由于，

所以，则，

故．

（3）由于为函数的伴随向量，

故．

所以，

设，由于，，

所以，，

由于，

所以，

故，

整理得，

所以，

由于，

所以，

故，

由于，

当且仅当时，，

所以在的图象上存在点使得成立．

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日期：2021/8/3 15:55:39；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394