2020-2021学年江苏省苏州市张家港市高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省苏州市张家港市高二（下）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省苏州市张家港市高二（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）函数在区间，上的平均变化率为　　
A．1 B．2 C． D．
2．（5分）“”高考方案中，“3”是指统一高考的语文、数学、外语3门科目，“1”是指考生在物理、历史两门选择性考试科目中所选择的1门科目，“2”是指考生在思想政治、地理、化学、生物4门选择性考试科目中所选择的2门科目．小明同学非常喜欢化学，所以必选化学，那么他的选择方法数有　　
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
3．（5分）若函数的图象在点，（2）处的切线方程是，则（2）（2）　　
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称其有性质．下列函数中具有性质的是　　
A． B． C． D．
5．（5分）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
6．（5分）5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有　　
A．60种 B．90种 C．150种 D．240种
7．（5分）若曲线在点，处的切线与曲线相切于点，，则　　
A． B．1 C．0 D．
8．（5分）若且，且，且，则　　
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有　　
A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法
10．（5分）若，，，则下列等式中正确的有　　
A． B．
C． D．
11．（5分）若函数，则　　
A．在上单调递增
B．有两个零点
C．在点，处切线的斜率为
D．是奇函数
12．（5分）若函数，，则　　
A．当时，有两个零点 B．当时，有三个零点
C．当时，有一个零点 D．当时，有四个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）写出一个满足条件：①，②的函数　　．
14．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中恰有3个阴爻，则该重卦可以有　　种．（用数字作答）

15．（5分）如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成角为，传输带以的速度送煤，则关于时间的函数是　　，当半径为时，对时间的变化率为　　．

16．（5分）已知函数，若存在，使得，则实数的值是　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）若，求；
（2）已知，求的展开式中的系数．（用数字表示结果）
18．（12分）用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；
（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
19．（12分）已知函数，．
（1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（2）若，且，
①求；
②求的最大值．
20．（12分）已知函数．
（1）当时，求曲线上过点，（1）的切线方程；
（2）若f（x）___，求实数的取值范围．
①在区间上是单调减函数；
②在，上存在减区间；
③在区间上存在极小值．
21．（12分）已知函数，，．
（1）当时，求的最值；
（2）若，求实数的取值范围．
22．（12分）已知函数，，是的导函数．
（1）讨论函数在的单调性；
（2）若函数在区间内有两个不同的零点，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省苏州市张家港市高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）函数在区间，上的平均变化率为　　
A．1 B．2 C． D．
【分析】根据题意，由平均变化率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，，
在区间，上，有△，△，
则其平均变化率，
故选：．
【点评】本题考查平均变化率的计算，注意平均变化率的计算公式，属于基础题．
2．（5分）“”高考方案中，“3”是指统一高考的语文、数学、外语3门科目，“1”是指考生在物理、历史两门选择性考试科目中所选择的1门科目，“2”是指考生在思想政治、地理、化学、生物4门选择性考试科目中所选择的2门科目．小明同学非常喜欢化学，所以必选化学，那么他的选择方法数有　　
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
【分析】根据题意，分2步进行分析：①小明在思想政治、地理、生物中再选出一门，②小明在物理、历史两门选出一门，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①小明必选化学，需要在思想政治、地理、生物中再选出一门，有种选法，
②小明在物理、历史两门选出一门，有种选法，
则有种选择方法，
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
3．（5分）若函数的图象在点，（2）处的切线方程是，则（2）（2）　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由导数的几何意义和切点满足切线的方程，可得（2），（2），可得所求和．
【解答】解：函数的图象在点，（2）处的切线方程是，
可得（2），（2），
则（2）（2）．
故选：．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
4．（5分）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称其有性质．下列函数中具有性质的是　　
A． B． C． D．
【分析】分别求得函数的导数，判断导数的符号，结合导数的几何意义和两直线垂直的条件，即可得到具有性质的函数．
【解答】解：由的导数为，由，可得切线的斜率大于0，不存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直；
由的导数，由，，可得存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直；
由的导数为，由，可得不存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直；
由的导数为，由，可得不存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直．
故选：．
【点评】本题考查导数的几何意义，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
5．（5分）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
【分析】求出函数的导数，得到在恒成立，结合三角函数的性质求出的取值范围即可．
【解答】解：在恒成立，
故在恒成立，
在递减，
故的最大值小于，故，
故选：．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及三角函数问题，是基础题．
6．（5分）5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有　　
A．60种 B．90种 C．150种 D．240种
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5名同学分为3组，②将分好的三组安排到3个小区，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5名同学分为3组，
若分为1、2、2的三组，有种分组方法，
若分为1、1、3的三组，有种分组方法，
则有种分组方法，
②将分好的三组安排到3个小区，有种情况，
则有种不同的安排方法，
故选：．
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意正确的分组，属于基础题．
7．（5分）若曲线在点，处的切线与曲线相切于点，，则　　
A． B．1 C．0 D．
【分析】求得和的导数，可得切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，可得，的关系，整理化简可得所求和．
【解答】解：的导数为，可得曲线在点，处的切线方程为，
的导数为，可得在点，处的切线的方程为，
由两条切线重合的条件，可得，且，
则，即有，
可得，
则．
故选：．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及两直线重合的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
8．（5分）若且，且，且，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据已知中三个等式两边取对数变形特点，可构造函数解决此题．
【解答】解：令，则．
由得：．
函数在上单调递增，在上单调递减．
，，，，，，
（4）（a），（5）（b），（6）（c）．
，（6）（5）（4），（c）（b）（a），
又，，，，，都小于，．
故选：．
【点评】本题考查函数的单调性、导数应用、构造法、函数思想、数形结合思想，考查运算及建模能力，属于中档偏难题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有　　
A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有种选法，女生的选法有种选法，
则4人中男生女生各有2人选法有种选法，错误；
对于，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，
有种选法，正确；
对于，在10人中任选4人，有种选法，甲乙都不在其中的选法有，
故种男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内选法有种，正确；
对于，在10人中任选4人，有种选法，只有男生的选法有种，只有女生的选法有种，
则4人中必须既有男生又有女生的选法有种，错误；
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
10．（5分）若，，，则下列等式中正确的有　　
A． B．
C． D．
【分析】由题意利用排列数公式的计算公式，可得结论．
【解答】解：，，，由做合数的性质可得，故正确；
，而，
故，故正确；
，，故错误；

；
而，
故，故错误，
故选：．
【点评】本题主要考查排列数公式的应用，属于中当题．
11．（5分）若函数，则　　
A．在上单调递增
B．有两个零点
C．在点，处切线的斜率为
D．是奇函数
【分析】求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间，判断，解方程判断，计算的值判断，根据奇函数的定义判断．
【解答】解：，，
函数的定义域是，
对于，时，
，，故，在单调递增，故正确；
对于：令，即，解得：或，
故函数有2个零点，故正确；
对于：斜率，故正确；
对于：函数的定义域是，不关于原点对称，故错误；
故选：．
【点评】本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用，函数的奇偶性，是中档题．
12．（5分）若函数，，则　　
A．当时，有两个零点 B．当时，有三个零点
C．当时，有一个零点 D．当时，有四个零点
【分析】由题意知，再结合导数和余弦函数的性质，推出的单调性和值域，然后作出函数的草图，根据函数与的交点个数，即可得解．
【解答】解：，
当时，恒成立，在上单调递减，
，，
当时，为偶函数，在，上单调递增，在，上单调，
（1），，即，，，
当时，恒成立，在上单调递增，
（1），
由此作出函数的草图如下所示，

由图可知，当时，函数与有两个交点，即有两个零点，即选项正确；
当时，函数与有三个交点，即有三个零点，即选项正确；
当或时，函数与没有交点，即没有零点，即选项和均错误，
故选：．
【点评】本题主要考查函数的零点，还涉及利用导数判断函数的单调性，理解函数的零点与两个函数的交点之间的联系是解题的关键，考查转化与化归思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）写出一个满足条件：①，②的函数　　．
【分析】由题意可知满足条件的是一个单调递增的奇函数，从而可写出一个满足题意的函数．
【解答】解：由条件：①，②，可知满足条件的是一个单调递增的奇函数．
根据此分析可知函数满足条件，
故答案为：．
【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性、导数应用，考查学生的分析推理及运算能力，属于基础题．
14．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中恰有3个阴爻，则该重卦可以有　20　种．（用数字作答）

【分析】根据题意，该问题是组合问题，由组合数公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，
假设有6个位置，在其中任选3个，安排三个“阳爻”，有种情况，
即该重卦可以有20种情况，
故答案为：20．
【点评】本题考查排列组合的应用，注意正确理解题意，转化为排列或组合问题，属于基础题．
15．（5分）如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成角为，传输带以的速度送煤，则关于时间的函数是　　，当半径为时，对时间的变化率为　　．

【分析】由题意可得，从而可得，利用圆锥的体积公式即可求解关于时间的函数，对求导，由可得对应的时刻，代入导函数中即可求解变化率．
【解答】解：由题意值，，所以，
设时煤堆的体积为，
则，①
所以，②
对求导可得，③
当时，对应的时刻为，
由①得，
代入③式可得．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查圆锥体积公式，变化率，导数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）已知函数，若存在，使得，则实数的值是　　．
【分析】问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，得到关于的方程，解出即可．
【解答】解：，
函数可看作动点与动点之间距离的平方，
动点在的图像上，在的图像上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由，得，则，
故曲线上的点，到直线距离的最小值是，
则，根据题意若存在，使得，
则，此时恰为垂足，
由，故，解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）若，求；
（2）已知，求的展开式中的系数．（用数字表示结果）
【分析】（1）直接利用排列数以及组合数的运算性质求解即可，
（2）直接利用二项式定理求解即可．
【解答】解：（1），
舍），
即为5，
（2）由题意可得：展开式中的系数为：．
展开式中的系数：330．
【点评】本题考查二项式系数的性质，考查二项式定理以及排列数，组合数的应用，是对知识的综合考查．
18．（12分）用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；
（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：①三位偶数的个位必须是2或4，②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百位、十位，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，分2步进行分析：①要求四位数大于2000，其千位数字必须为2、3、4、5，有4种情况，②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百位、十位、个位，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2步进行分析：①选出1个偶数，夹在两个奇数之间，②将这个整体与其他2个数字全排列，排除其中有2个偶数夹在奇数之间的情况，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：
①三位偶数的个位必须是2或4，有2种情况，
②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百位、十位，有种情况，
则有个三位偶数，
（2）根据题意，分2步进行分析：
①要求四位数大于2000，其千位数字必须为2、3、4、5，有4种情况，
②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百位、十位、个位，有种情况，
则有个符合题意的四位数；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①选出1个偶数，夹在两个奇数之间，有种情况，
②将这个整体与其他2个数字全排列，有种情况，其中有2个偶数夹在奇数之间的情况有2种，
则有种恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的情况，
故有个符合题意的五位数．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
19．（12分）已知函数，．
（1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（2）若，且，
①求；
②求的最大值．
【分析】（1）由已知写出的关系式，再根据二项式系数的性质即可求解；（2）①求出的展开式的通项公式，再根据已知即可求出的值，进而可以求出的通项公式，由此即可求解；②设为中的最大值，则，利用组合数的性质求出的值，进而可以求解．
【解答】解：（1）当时，，的展开式共有8项，
二项式系数最大的项为第四项或第五项，
所以或；
（2）①，的通项公式为，
且，所以的系数为，解得，
所以的通项公式为，
所以，当时，，
令，，
②设为中的最大值，则，
解得，即，，所以，
所以．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，涉及到组合数的运算性质，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数．
（1）当时，求曲线上过点，（1）的切线方程；
（2）若f（x）___，求实数的取值范围．
①在区间上是单调减函数；
②在，上存在减区间；
③在区间上存在极小值．
【分析】（1）使用函数导数的几何意义，即可求出切线方程；（2）选择其中一个条件，然后利用函数导数判断函数的性质，从而求解得出结果．
【解答】解：（1）当时，，所以（1），
则有①当点，（1）为切点时，（1），
根据函数导数的几何意义可得，函数在点处的切线方程即为：；
②当不是切点时，设切点为，，则可得切线方程为：，
因为，，
所以切线方程即为：，
代入点化简可得，，
解之可得，，切线方程为：，
综上可得，过点的切线方程为，或．
（2），
若选①函数在区间上是单调减函数，则有：
在区间上恒成立，即在上恒成立，
，解之可得；
若选②函数在，上存在减区间，则有：在区间，上有解，
即得在区间，上有解，
此时令，因为在区间，上单调递减，
所以，故有；
若选③函数在区间上存在极小值，则有：函数的极小值点应落在；
令，求得，，
此时可得，在，，上单调递增；在，上单调递减；
所以是函数的极小值点，
即得，
所以当时，不等式恒成立，
当时，，解之可得，
综上可得，．
【点评】本题主要考查函数导数的综合使用，同时考查学生逻辑推理和计算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数，，．
（1）当时，求的最值；
（2）若，求实数的取值范围．
【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可；
（2）问题转化为对，恒成立，令，求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的最值确定的取值范围即可．
【解答】解：（1）当时，，，，，
令，得，，，解得：，
，，的变化如下：

0


，




0




递减
极小值
递增

而，，，
故，．
（2）即对，恒成立，
令，，令，
则，在，上单调递增，
故，；
①当即时，即，
在，上单调递减，，不合题意，舍；
②当，即时，
存在，使得，又在，上单调递增，
故时，即，单调递减，
，时，，即，单调递增，
故，不合题意，舍，
③当即时，，即，
在，上单调递增，，符合题意，
综上，实数的取值范围是，．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．
22．（12分）已知函数，，是的导函数．
（1）讨论函数在的单调性；
（2）若函数在区间内有两个不同的零点，求实数的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，根据函数的零点个数求出的取值范围即可．
【解答】解：（1），
当时，在上恒成立，则在上单调递增，
当时，令，则，
①△即时，在上恒成立，则在上单调递增，
②△即时，令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在，递减，，递增；
综上：时，在上单调递增，
时，在递增，在，递减，，递增；
（2），，显然，令，
（1），，
①当即时，，，递增，且，
，，单调递减，故在至多1个零点，与题意不符，
②当即时，，，递减，且，
，，单调递增，故在至多1个零点，与题意不符，
③当即时，，递减，性质至多1个零点，与题意不符，
④当即时，，，单调递减，且，
，，单调递增，，，递减，
要使有2个零点，只需满足：
，即，故，
⑤当即时，，，递减，且，
，，递增，，，递减，
要使有2个零点，则需满足：
即，
记函数，，，故在递增，
故（1），又，故，
故不等式无解，
综上，时，在区间内有2个不同的零点．
【点评】本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．
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日期：2021/12/1 15:57:34；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394