2020-2021学年江苏省常州市教育学会高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省常州市教育学会高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．（5分）函数的最小正周期是　　

A． B． C． D．

2．（5分）在中，已知，那么最小内角的余弦值为　　

A． B． C． D．

3．（5分）把函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式是　　

A． B． 

C． D．

4．（5分）欧拉公式为虚数单位，为自然对数的底数）是由瑞士著名数学家欧拉给出的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，表示的复数在复平面中对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．（5分）已知向量与向量共线，则　　

A． B．3 C． D．

6．（5分）若，且，（其中，则　　

A． B． C．2 D．

7．（5分）边长为2的菱形中，为边的中点，若，则　　

A．1 B．3 C． D．

8．（5分）在中，，为边上一点，，，，则　　

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．（5分）设向量，，则下列命题中正确的有　　

A．的最小值为3 B．的最小值为3 

C．若，则 D．若，则

10．（5分）设，是复数，则下列命题中正确的有　　

A．若，则 

B．若，则 

C．若，则 

D．若，，则

11．（5分）若函数，则　　

A．的最大值是4 

B．的最小正周期是 

C．的图象关于直线对称 

D．在区间，上单调递减

12．（5分）设，，分别为的内角，，的对边，下列条件中，可以判定一定为等腰三角形的有　　

A． B． 

C． D．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．（5分）在平面直角坐标系中，角，的始边均为轴的正半轴，若点，分别在，的终边上，则实数的值是　　．

14．（5分）在平面四边形中，，，，，，则　　．

15．（5分）笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标．若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，当　　时，．

16．（5分）用表示，则　　；利用该等式并结合，可得　　．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知平面向量，满足，，，的夹角为．

（1）求；

（2）求．

18．（12分）已知定义在上的函数，，在时取到最大值，的最小的正的零点为．

（1）求的解析式；

（2）若关于的方程在区间，上有实根，求实数的取值范围．

19．（12分）已知虚数满足，为虚数单位．

（1）若是纯虚数，求；

（2）求证：为纯虚数．

20．（12分）在中，，，分别为的内角，，的对边，．

（1）求；

（2）若，求．

21．（12分）如图，在直角梯形中，，，，，点，分别在线段，上（均不与重合），且，．

（1）求；

（2）求边的长．

22．（12分）已知有半径为，圆心角为（其中为给定的锐角）的扇形铁皮，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形．

方案1：如图1，裁剪出的矩形的顶点，在线段上，点在弧上，点在线段上；

方案2：如图2，裁剪出的矩形的顶点，分别在线段，上，顶点，在弧上，并且满足，其中点为弧的中点．

（1）按照方案1裁剪，设，用表示矩形的面积，并求出其最大面积；

（2）按照方案2裁剪，求矩形的最大面积，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形．

2020-2021学年江苏省常州市教育学会高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．【分析】直接利用正弦函数的周期公式求解即可．

【解答】解：由正弦函数的周期公式可得：；

故选：．

2．【分析】由正弦定理可得，进而可用表示，，可求为三角形的最小内角，代入余弦定理化简即可得解．

【解答】解：，

由正弦定理可得，

，，为三角形的最小内角，

由余弦定理可得．

故选：．

3．【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．

【解答】解：由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，

可得的图象，

故选：．

4．【分析】由题意可得，再根据3的范围即可求解．

【解答】解：由题意可得，

因为，所以，，

所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，

故选：．

5．【分析】由题意利用两个向量平行的性质求得，再利用二倍角的正切公式，计算求得结果．

【解答】解：向量与向量共线，，，

则，

故选：．

6．【分析】由已知结合两角和与差的正弦公式及同角基本关系进行化简即可求解．

【解答】解：因为，且，（其中，

所以，

所以，

即，

则．

故选：．

7．【分析】首先将，分别用向量，表示，然后进行数量积的运算即可．

【解答】解，，

，

故选：．

8．【分析】在中，先由余弦定理求，然后结合诱导公式及同角基本关系求，在中由正弦定理代入即可求解．

【解答】解：，为边上一点，，，，

中，由余弦定理可得，，

，

中，由正弦定理，可得．

故选：．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．【分析】根据条件可得出，，从而可判断选项错误，正确；时，可得出，从而判断正确；时，可得出，从而判断正确．

【解答】解：，，，，

的最小值为1，的最小值为3，

若，则，，

若，则，．

故选：．

10．【分析】利用复数的概念和复数的模长定义求解．

【解答】解：对于选项：设，，，，，若，则，所以，所以，，即，故选项正确，

对于选项：令，，则，而，，所以，故选项错误，

对于选项：令，，则，而，，故选项错误，

对于选项：由题意可知，表示以原点为圆心，1为半径的圆上的点，表示以点为圆心，2为半径的圆上的点，

所以表示，的距离，

，，

，故选项正确，

故选：．

11．【分析】利用倍角公式可得，利用余弦函数的性质对、、、四个选项逐一分析可得答案．

【解答】解：，

的最大值是，故错误；

的最小正周期，故正确；

当时，，

的图象关于直线对称，故正确；

，，，

在区间，上单调递增，故错误，

故选：．

12．【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简检验各选项即可判断．

【解答】解：因为，

由正弦定理得，即，

所以或，

所以或，为等腰三角形或直角三角形，不符合题意；

因为，

由正弦定理得，即，

所以，即一定为等腰三角形，符合题意；

因为，

由正弦定理得，即，

所以，一定为等腰三角形，符合题意；

因为，

所以，

所以，

所以，即，

所以，一定为等腰三角形，符合题意．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．【分析】根据任意角的三角函数定义分别求出和，然后利用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值得到一个关于的方程，进而可求出的值．

【解答】解：由题意得，，

而，

解得．

故答案为：．

14．【分析】设，，在中利用勾股定理可求，可求，由余弦定理，由，可得，解得的值，进而可求的值．

【解答】解：设，，在中，，

所以，

在中，由余弦定理，

由于，

所以，即，整理可得，

解得或（舍去），即，

所以．

故答案为：9．

15．【分析】根据题意，得到，，再利用数量积的法则，把式子展开即可求出．

【解答】解：由题意得，，，

，

，．

故答案为：．

16．【分析】将化简为，利用两角和差的公式和二倍角公式化简即可得解；利用三角函数恒等变换的应用转化为即可求的值．

【解答】解：．

，

，，

，

，

可得，

可得，

可得，

可得，

解得，（负值舍去）．

故答案为：，．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【分析】（1）利用数量积的定义即可求解．

（2）利用已知条件，通过向量的模以及数量积的运算法则，转化求解即可．

【解答】解：（1），，，的夹角为，

，

（2），

，

．

18．【分析】（1）由函数的最大值求出，由周期求出，由最值点求出的值，可得函数的解析式．

（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得的值．

【解答】解：（1）定义在上的函数，，在时取到最大值，的最小的正的零点为，

，，．

再根据，，，，

．

（2）关于的方程 在区间，上有实根，

即 在区间，上有实根，

当，，，，，，

故，，

故的取值范围为，．

19．【分析】（1）设，，，，由，可得．由是纯虚数，可得，，解得，即可得出．

（2）由在为虚数，得，利用，代入化简即可证明结论．

【解答】解：（1）设，，，，，．

是纯虚数，

，，

又，解得：，或．

，；

（2）证明：由在为虚数，得，

，，

，为纯虚数．

20．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可得，结合，可求的值．

（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求，可求范围，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据，利用两角和的余弦函数公式即可计算得解的值．

【解答】解：（1）因为，

所以由正弦定理可得，

由余弦定理可得，

又，

所以．

（2）因为由（1）可得，又，

所以，

又，可得，

所以，

由，可得，

可得，

所以．

21．【分析】（1）利用向量数量积的定义可以求出，进而可求，最后求出．

（2）在两个直角三角形中，求出和，利用可求出．

【解答】解：（1）设，则，，

则，

为锐角，，

．

（2）过作于，则，，，

设，则在中，，

在中，，

，

，，即，

解得或（舍去），．

22．【分析】（1）分别用含有的三角函数表示，，写出矩形面积，利用三角函数求最值；

（2）在图2中，设与边，分别交于，，则利用（1）的结论，可以得到矩形的最大面积为，根据对称性，矩形的最大面积为．然后利用作差法比较大小．

【解答】解：（1）在图1中，，，，，

，

，

当时，矩形的最大面积为；

（2）在图2中，设与边，分别交于，，则利用（1）的结论，

可以得到矩形的最大面积为，根据对称性，矩形的最大面积为．

为锐角，，于是．

因此，．

故按照方案1可以裁剪出面积最大的矩形，其最大面积为．

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日期：2022/3/11 19:11:09；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367